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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流华科线性代数复习重点【精品文档】第 11 页第一部分 行列式重点：1 排列的逆序数（P.5例4；P.26第2、4题）2 行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题）3 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） ； （8） （其中为阶方阵，为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特
2、点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。4、会计算简单的阶行列式。5、知道并会用克莱姆法则。第二部分 矩阵1 矩阵的运算性质2 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题）3 伴随阵的性质（P.41例9；P.56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116）4 矩阵的秩的性质（P.69至71；P.100例13、14、15）【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义
3、、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。4、阶矩阵可逆为非奇异(非退化)的矩阵。为满秩矩阵。只有零解有唯一解的行（列）向量组线性无关的特征值全不为零。可以经过初等变换化为单位矩阵。可以表示成一系列初等矩阵的乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。6、矩阵秩的概念及其求法（1）定义法；（2）初等变换法）。7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方
4、阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分 线性方程组1 线性方程组的解的判定，带参数的方程组的解的判定2 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）3 非齐次线性方程组的解的结构（通解）【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量，向量组：，向量组：，则（1）向量可被向量组线性表示（2）向量组可被向量组线性表示（3） 向量组与向量组等价的充分必要条件是：（4）基本题型：判断向量或向量组是否可由向量组线性表示
5、？如果能，写出表达式。解法：以向量组：以及向量或向量组:为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。2、向量组的线性相关性判别向量组的线性相关、线性无关的常用方法：方法一：（1）向量方程只有零解向量组 线性无关；（2）向量方程有非零解向量组 线性相关。方法二：求向量组的秩（1）秩小于个数s向量组线性相关（2）秩等于个数s 向量组线性无关。（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，则向量组线性无关以向量组为列向量的矩阵的行列式非零；向量组线性相关以向量组为列向量的矩阵的行列式为零。3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其
6、求法。基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。4、了解向量空间及其基和维数的概念第四部分 向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1向量组的线性表示2向量组的线性相关性3向量组的秩【主要内容】1、齐次线性方程组只有零解系数矩阵的秩未知量个数n；2、齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩
7、未知量个数n.3、非齐次线性方程组无解增广矩阵秩系数矩阵的秩；4、非齐次线性方程组有解增广矩阵秩系数矩阵的秩 特别地，1）增广矩阵的秩系数矩阵的秩未知量个数n非齐次线性方程组有唯一解；2）增广矩阵的秩系数矩阵的秩 未知量个数n非齐次线性方程组有无穷多解。【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分 方阵的特征值及特征向量1施密特正交化过程2特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）3矩阵的相似对
8、角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题）【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。（1）特征值求法：解特征方程；（2）特征向量的求法：求方程组的基础解系。5、相似矩阵的定义（）、性质(相似、有相同的特征值)。6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P使得为对角矩阵。7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）（1）写出二次型的矩阵.（2）求出的所有特征值（3）解方程组（）求对应于特征值的特征向量（4）若特征向量
9、组不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组，记，对二次型做正交变换,即得二次型的标准形8、正定二次型的定义及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定义法（2）特征值全大于零（3）顺序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。线性代数要注意的知识点1、行列式1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2.
10、代数余子式的性质：、和的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；3. 代数余子式和余子式的关系：4. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积；、拉普拉斯展开式：、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值 5. 证明的方法：、反证法；、构造齐次方程组，证明其有非零解；、利用秩，证明；、证明0是其特征值；2、矩阵是阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解；，
11、总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵；6. 对于阶矩阵： 无条件恒成立；7. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；8. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：若，则：3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若；2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1；、每行首个非0元素所在列的其他元素必须
12、为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、 若，则可逆，且；、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、对调两行或两列，符号，且，例如：；、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；、倍加某行或某列，符号,且，如：；5. 矩阵秩的基本性质：、若，则；、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（）、的列向量全部是齐次方程组解
13、（转置运算后的结论）；、若、均为阶方阵，则；6. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如的矩阵：利用二项展开式、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：；、伴随矩阵的特征值：；8. 关于矩阵秩的描述：、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）、，中有阶子式全部为0；、，中有阶子式不为0；9. 线性方程组：，其中为矩阵，则：、与方程的个数相同，即方程组有个方程；、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；10. 线性方程组的求解：、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解
14、；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）、（全部按列分块，其中）；、（线性表出）、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)4. ；(例15)5. 维向量线性相关的
15、几何意义：、线性相关；、线性相关坐标成比例或共线（平行）；、线性相关共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若线性相关，则必线性相关；若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则；向量组能由向量组线性表示，则； 向量组能由向量组线性表示有解；向量组能由向量组等价8. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解、矩阵列等价：（
16、右乘，可逆）；、矩阵等价：（、可逆）；9. 对于矩阵与：、若与行等价，则与的行秩相等；、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵的行秩等于列秩；10. 若，则：、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；12. 设向量组可由向量组线性表示为： 其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：；充分性：反证法）注：当时，为方
17、阵，可当作定理使用；13. 、对矩阵，存在，、的列向量线性无关； 、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；14. 线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；16. 若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关； 5、相似矩阵1. 正交矩阵或（定义），性质：、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；、若、正交阵，则也是正交阵；注意：求解单位正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；