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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流几何与线性代数习题册20140123【精品文档】第 25 页习题一 几何向量及其运算姓名 学号 班级 一、填空题1 下列等式何时成立：1）， 当 ；2），当 ；3）， 当 ；4），（为非零向量），当 ；5）， 当 。2指出下列向量组是线性相关还是线性无关：1）是 ； 2）不平行，是 ；3）共面，是 ；4）不共面，是 。3在空间直角坐标系中，点关于关于平面的对称点是 ；关于原点的对称点是 ；关于轴的对称点是 ；在平面上的投影点坐标是 ；在轴上的投影点是 ；到平面的距离是 ；到原点的距离是 ；到轴的距离是 。二、设为线段上任一点，证明存在数，使得。三、已知向
2、量，证明共面。 四、判断题1若，且，则。 （ ）2共面的充分必要条件是。 （ ）3。 （ ）4 。 （ ）五、填空题1已知向量，则1）= ；2） = ；3）= 。2已知，其中，则三角形的面积 。六、已知 。问1）为何值时，与平行； 2）为何值时，与垂直。七、已知与垂直，且，计算：(提示: )1）； 2）； 3）。 习题二 向量及其运算的坐标计算姓名 学号 班级 一、填空题1平行于轴的向量一般表示式是 。2向量，它们的夹角 。3向量，当= 与= 时，与平行。4设三力，作用于一质点，使质点产生的位移向量，则合力所做的功 。5三角形的三个顶点为，其面积 。6和向量都垂直的单位向量是 。二、已知向量，
3、求的方向余弦及与平行的单位向量。三、证明向量在上的投影向量为，并求向量在向量上的投影向量。四、向量是否共面？若不共面，试计算以这三个向量为棱所作的平行六面体体积。五、设向量共面，且求。习题三 平面与直线 姓名 学号 班级 一、填空题1 平行于平面且与此平面的距离为3的平面方程是 。2 如果平面与平行，则 ；若垂直，则 。3 过三点的平面方程是 。4过轴且垂直于平面的平面方程是 。5点A(2,3,1)到平面的距离是 。6通过点和且平行于轴的平面方程为 。7过点的直线方程是 。8过点且垂直于直线的平面方程是 。9过点且垂直于平面的直线方程是 ，点在此平面上的投影点坐标是 ；点关于此平面的对称点坐标
4、是 。二、求满足下列条件的平面方程1过原点引平面的垂线，垂足是点的平面方程。2通过点且平行于向量的平面方程。三、求过点且通过直线的平面方程。四、求点到直线的距离。五、求两异面直线之间的距离。习题四 线性方程组姓名 学号 班级 一、用加减消元法求解下列线性方程组 1) .2) 二、对非齐次线性方程组，当a，b为何值时无解？何值时有无穷多解？三、液态苯在空气中可以燃烧。如果将一个冷的物体直接放在燃烧的苯上部，则水蒸气就会在物体上凝结，同时烟灰（碳）也会在物体上沉积.这个化学反应的方程式为求变量以配平该方程。习题五 矩阵的运算姓名 学号 班级 一、 填空题1设，则当且仅当 时，。2的充分必要条件是
5、。3设，则 ； 时，。4。5；二、设，计算：；及（为正整数）。（提示：用矩阵乘法的结合律）三、设验证是否成立？四、若A, B满足，则称B和A可交换。设求所有与可交换的矩阵。五、设，记为方阵的多项式，即，若，计算。六、把向量方程改写成方程组的形式和矩阵乘积的形式。习题六 对称矩阵与分块矩阵姓名 学号 班级 一、1）设、为阶方阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵。2）设、均为阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是。二、设为维列向量，且，设证明是对称矩阵且 三、设，计算。四、设，按照不同的分块方式计算乘积：（1）不分块，按列分块；（2）按行分块，不分块；（3）按行分块，按列分块。 习题七 行列式的
6、性质与计算姓名 学号 班级 一、 填空题1设，则 。2设，则 ， 。二、选择题1设为阶方阵，若经过若干次初等变换变成矩阵，则下面的结论正确的是（ ）。； 若则必有； 若则必有。2若A，B为同阶方阵，则有（ ）三、计算下列行列式：（1） （2）(3) （提示：按一行或一列展开，求递推公式）四、用数学归纳法证明：习题八 逆矩阵（一） 姓名 学号 班级 一、填充题1设为3阶方阵，且，则 ， ， 2设，则；=。3设，则。4如分别是阶和阶可逆矩阵，为阵，则。5设A，且，则。二、选择题1设阶方阵满足，则下面的结论正确的是（ ）。2 设为阶方阵，则 （ ）若都可逆，则必可逆； 若都不可逆，则必不可逆；若可逆
7、，则都可逆； 若不可逆，则都不可逆。3已知为n阶方阵，若有n阶方阵B使 则（ ）（A）B为单位矩阵；（B）B为零方阵；（D）不一定。4若为同阶方阵，且满足，则有（）（A）或； （B）|A|0或|B|0；（C）； （D）A与B均可逆；三、求下列矩阵的逆矩阵（1） （2）四、解矩阵方程 。 习题九 逆矩阵(二)姓名 学号 班级 一、设矩阵满足如下关系式，其中，求矩阵。二、设阶矩阵和满足，证明1）为可逆矩阵；2）。三、设n阶方阵A满足方程，求。四、用克莱姆法则求解线性方程组习题十 秩与初等变换 姓名 学号 班级 一、选择题1若是阶可逆矩阵，则（ ）（A）若，则 （B）总可以经过初等行变换化。（C）对
8、矩阵实施若干次初等变换，当变为时，相应地正变为。（D）对矩阵实施若干次初等变换，当变成时，相应地变为。2设， ，则恒有（ ）（A） （B） （C） （D）3设均为n阶非零矩阵，且，则和 满足（ ）。（A）必有一个等于零； （B）都等于n；（C）一个小于n，一个等于n； （D）都小于n。4设阶矩阵的秩为r，则下列结论错误的是（ ）。（A）有r阶子式非零； （B）的所有r+1阶子式为零；（C）没有r阶子式为零； （D）。5方程组必（ ）。（A）无解； （B）仅有零解；（C）有非零解； （D）以上都不对。二、填空题1。2。3如，其中，则= 。4设为3阶方阵，且满足，则 。5已知矩阵 的秩是1，则a
9、= 。三、用初等变换求矩阵的秩并给出A的一个最高阶非零子式。四、用行初等变换求矩阵的逆矩阵习题十一 方程组解的判断 姓名 学号 班级 一、填空题1设是矩阵，则齐次线性方程组只有零解的充要条件是 ，有非零解的充要条件是 。2设是矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是 ，有无穷多解的充要条件是 ，无解的充要条件是 。3. 设A为n阶方阵，则非齐次方程组有唯一解的充要条件为|A| ；齐次线性方程组有非零解的充要条件为|A| ；只有零解的充要条件为|A| 。二、求解线性方程组三、取何值时，方程组有非零解。四、设有非齐次线性方程组 ，为何值时，此方程组有唯一解、无解或无穷多解？习题十二 线性相关与
10、线性无关 姓名 学号 班级 一、填空题1设线性无关，则它的任何一个部分组线性 。2设线性相关，则线性 。3设有维列向量组，记矩阵，则线性相关的充分必要条件是 （用矩阵的秩表示）。4若向量组线性相关，则t =_。二、选择题1已知可由线性表示，不能由线性表示，则下面结论正确的是（ ）。（A）能由 线性表示，也能由线性表示； （B）能由 线性表示，但不能由线性表示； （C）不能由 线性表示，也不能由线性表示； （D）不能由 线性表示，但能由线性表示。2设线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。三、写出向量组对应的矩阵，并把式子写成矩阵乘积的形式。四、设,。 当a
11、,b为何值时，1）不能由线性表示；2）可以由唯一地线性表示；3）可以由线性表示，但表示法不唯一。五、证明设向量线性无关，则向量组也线性无关。习题十三 极大无关组与秩 姓名 学号 班级 一、填空题1能互相线性表示的两个向量组，称为 向量组。2在向量组中，若存在个向量，它们满足 ， 则称为向量组的极大无关组。3向量组的极大无关组所含向量个数，称为 。4任一向量组与其极大无关组是 向量组。5设向量组可由向量组线性表示，则向量组的秩 向量组的秩；若向量组与向量组等价，则它们的秩 。二、已知向量组证明向量组能由线性表示，但向量组不能由线性表示。三、设有向量组，求该向量组的秩及其一个极大无关组，并将其余向
12、量组用这个极大无关组线性表示。四、已知，及， 证明：秩=秩。习题十四 线性相关性（补充） 姓名 学号 班级 一、证明题1）设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关。2）设是一组维向量，则线性无关任一维向量可用它们线性表示。3）设是矩阵，且，则。4）设 是一组维列向量，则线性无关行列式。习题十五 向量空间、基和维数 姓名 学号 班级 一、填空题1设是实数域上的向量空间，是中一组向量，如果满足 ； 。则称是的一组基，基中所含向量的个数称为 。2设是向量空间的一组基，对于任意的，可以用唯一地线性表示为，称有序数组为在基下的 。3设与是向量空间中的两组基，若它们满足 （其中），
13、称阶矩阵为 。4设与是向量空间的两组基，由前一组基到后一组基的过渡矩阵为，且在旧基与新基下的坐标分别为： 和则 。二、检验下列集合对于向量加法与数乘运算是否是实数域上的向量空间：（1）；（2）。三、试证明向量，构成的一组基，并求出在基下的坐标。四、在中取两组基，； ， ,。求由基到基的过渡矩阵和坐标变换公式。习题十六 方程组解的结构 姓名 学号 班级 一、选择题1 设是所对应的齐次线性方程组 ，则下面结论正确的是（ ）。（A）若仅有零解，则有唯一解；（B）若有无穷多组解，则只有零解；（C）若有无穷多组解，则有非零解；（D）若有非零解，则有无穷多组解。2若是某非齐次线性方程组的两解向量，则（）（
14、A） 是它的解向量 （B） 是它的解向量（C） 是其对应齐次方程组的解向量 （D） 是其对应齐次方程组的解向量3若是齐次方程组的基础解系，则下列答案中也是基础解系的为（）（A） （B） 的任意三个线性组合（C） （D） 二、求齐次线性方程组的一个基础解系，并写出相应的通解。三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是其三个解向量，且 ，求该方程组的通解。四、求解非齐次线性方程组。五、设是非齐次线性方程组的一个解，是其对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：1）线性无关； 2）线性无关。习题十七 内积、特征值与特征向量 姓名 学号 班级 一、选择题1以下说法正确的是（）A正交向量组必定
15、线性无关；B线性无关向量组必定正交；C正交向量组不含零向量；D线性无关向量组不含零向量。2正交矩阵的行列式为（ ）A； B； C； D或。3 设A为正交矩阵，则下列矩阵中，不是正交矩阵（其中k是不为1的正整数）的是（）A； B； C；D 。二、填空题1阶方阵的不同特征值所对应的特征向量 ；若是阶方阵的个特征值，则 ， 。2已知三阶矩阵的三个特征值分别为，则 ， 。3设为阶方阵，有非零解，则必有一特征值为 。4若矩阵与相似，则与的特征值 ；阶矩阵与对角阵相似的充要条件是 。5设是矩阵的一个特征值，是的对应于的一个特征向量，是矩阵的一个多项式矩阵，则的特征值是 ，其相应的一个特征向量是 。6已知是
16、的逆矩阵的特征向量，则 。三、设是中一组标准正交基，证明：，也是中一组标准正交基。四、用Schmidt正交化方法，将下列的基，化为标准正交基，并求向量在此标准正交基下的坐标。五、求矩阵的特征值和特征向量。六、如果n阶矩阵满足，证明矩阵的特征根只能是0或1。 习题十八 相似矩阵与对角化 姓名 学号 班级 一、选择题1如果矩阵与相似（），则（）A存在可逆矩阵，使得；B存在正交矩阵，使；C存在可逆矩阵，使； D存在可逆矩阵，使。2设n阶矩阵有n个线性无关的特征向量，则下面说法正确的是（ ）A存在正交矩阵，使为对角矩阵；B不一定存在正交矩阵，使为对角矩阵；C不存在正交矩阵，使为对角矩阵；D只有当矩阵A
17、为实矩阵时，存在正交矩阵，使为对角矩阵。二、判断矩阵是否与对角阵相似。三、设3阶方阵的特征值为，对应的特征向量依次为，求。四、设矩阵与矩阵相似，其中，。求和的值。习题十九 实对称矩阵的性质 姓名 学号 班级 一、填空题1实对称矩阵的特征值一定是 ，其不同的特征值所对应的特征向量 。2已知，是三阶实对称阵的三个不同特征值所对应的特征向量，则 ， 。3设三阶实对称矩阵的特征值为，对应于的特征向量，则属于特征值的所有特征向量为 。二、设为三阶实对称矩阵，是其特征值，已知对应的特征向量为，对应的一个特征向量为，试求参数及的另一个与正交的特征向量和矩阵。三、对实对称矩阵，求正交矩阵和对角阵，使得。四、设
18、阶实对称矩阵的特征值，证明存在特征值非负的实对称矩阵，使得。习题二十 二次型及其标准形 姓名 学号 班级 一、填空题1矩阵对应的二次型是 ，二次型所对应的矩阵是 。2二次型的秩为2，则 。3阶矩阵与正交矩阵合同，则其秩 。4已知二次型的矩阵为，且此二次型的正惯性指数为3，则的取值范围是 。5二次型的秩为 ，正惯性指数为 ，负惯性指数为 。6设是正定矩阵，则满足条件 。7设阶实对称矩阵的特征值分别为，则当 时，为正定矩阵。8实对称矩阵正定的充要条件是其特征值全部 。二、把变量代换 写成矩阵形式并求由变量到变量的变量代换。三、已知变量代换 和，求由变量到变量的变量代换。四、用正交变换将二次型化为标
19、准形。习题二十一 正定二次型与正定矩阵 姓名 学号 班级 一、已知二次型的秩为2，求系数及此二次型所对应矩阵的特征值。二、已知二次型，通过正交变换化为标准形，求参数及所用正交变换矩阵。三、判断二次型的正定性.四、设是阶正定矩阵，证明。五、设是阶实对称矩阵，试分别确定实数的取值范围，使得是（1）正定矩阵；（2）负定矩阵；（3）不定矩阵；（4）可逆矩阵。试卷一一、选择题（每小题3分，共15分） 1设是阶方阵，且满足，则下列结论正确的是（）若，则不可逆； （）可逆；（）若，则可逆； （）可逆。2设向量组线性无关，线性相关，则（）能被线性表示； （）不能被线性表示；（）能被线性表示；（）不能被线性表示
20、。3为阶矩阵，则4齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（）的任意两个列向量线性相关；（）中必有一列向量是其余列向量的线性组合；（）的任意两个列向量线性无关；（）中任一列向量都是其余列向量的线性组合。5. 设为矩阵，且，则线性方程组（）有唯一解； （）有无穷多解； （）无解； （）可能无解。二、填空题（每小题3分，共15分）1已知垂直，且，则 。2. 设是非齐次线性方程组的解，则是的解的充分必要条件为 ，是齐次线性方程组的解的充分必要条件为 。3.设矩阵相似于对角矩阵，则 ， 。4.设为阶方阵，且，则的特征值可能取值为 。5设为正整数，则= 。三、计算题（共58分） 1（6分）求通过点且在轴上
21、截距相等的平面方程。2（6分）求过点且与直线和都垂直的直线方程。3（8分）已知，且，求。4（8分）计算阶行列式。5（8分）设向量组，试求这个向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。6（10分）已知线性方程组，问：取何值时方程组有无穷多解，并求其通解。7（12分）已知三元二次型经正交变换化为标准形，且已知对应特征值有一个特征向量，试求正交变换。四、证明题（共12分）1（6分）设是一组维向量，则线性无关任一维向量可用它们线性表示。2（6分）设为维列向量，且，矩阵。证明：行列式。试卷 二一、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1已知垂直，且，则=_。2设是三阶非零
22、矩阵，的每一列向量都是方程组的解,则=_。3设3阶方阵的三个特征值为1，2， 则_ 。4设矩阵相似于矩阵，则_ ，_ 。5二次型的秩为_。二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 设A为矩阵，把A按行分块为，其中是A的第j行，则行列式值为( )。A6； B.-6 ； C.-54； D. 542.设向量组的秩为,的秩为,的秩为,则下列不正确的是（ ）。A若(1)可由(2)线性表示，则； B. 若(2)可由(1)线性表示，则；C. 若 ，则； D. 若 ，则。3设是三阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再将的第2列加到第3列得，则满足的可逆矩阵为（ ）。 A； B. ；C. ：D 4设
23、矩阵的行向量线性无关，则下列错误的是（ ）A只有零解； B. 必有无穷多解；C. 有唯一解； D. 总有无穷多解。5阶矩阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（ ）。A充分必要条件； B. 充分而非必要条件； C. 必要而非充分条件； D. 既非充分也非必要条件。三、计算题（共58分） 1（6分）求过点且垂直于平面的直线方程。2（6分）求垂直平面，并通过从点的垂线的平面方程。3（8分）设阶矩阵和满足，已知，求矩阵。4（8分）计算行列式：。 5（10分）已知；问为何值时：（1）可由线性表示，且表示法唯一；（2）不可由线性表示；（3）可由线性表示，且表示法不唯一，并写出一般表示式。6（10分）设求该
24、向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示。7（10分）已知3阶实对称矩阵的特征值为，且属于的特征向量为,属于的特征向量。（1）求k的值；（2）求属于特征值 的另一个与正交的特征向量；（3）求正交矩阵，使得为对角矩阵。四、证明题（共12分）1（6分）设是矩阵，是矩阵，其中，若，证明：的列向量线性无关。2（6分）设是矩阵，试证明：正定的充分必要条件是。 试卷 三一、 填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1 已知向量满足，则_2 设，则 3 设3阶方阵的三个特征值为2，3， 若行列式，则=_ _ 4 设，为矩阵和矩阵 若,则 二、选择题（本题共5小题，每小
25、题3分，满分15分） 1. 一个阶方阵的行列式，其值不为零，经过若干次矩阵的初等变换后，其行列式的值 ( ) A保持不变； B. 保持不为零； C. 可以变成任何值； D. 保持相同的正负号2. 设向量组：可由向量组：线性表示下列命题正确的是（ ）A若向量组线性无关，则； B. 若向量组线性相关，则；C. 若向量组线性无关，则； D. 若向量组线性相关，则3设为矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，那么（ ）A若只有零解，则有唯一解；B. 若有非零解，则无穷多组解；C. 若无穷多组解，则只有零解；D. 若无穷多组解，则有非零解4阶方阵相似于对角阵的充分必要条件是有个（ ）A互不相同的
26、特征值； B. 线性无关的特征向量； C. 互不相同的特征向量； D. 两两正交的特征向量5. 已知二次型正定，则实数的取值范围是A； B. ； C. ； D. 三、计算题（共34分） 1（本题满分6分）求直线 与平面的夹角2（本题满分6分）求过点与直线平行的直线方程3（本题满分6分）设 ，求4（本题满分8分）计算行列式： 5（本题满分8分）向量组求该向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示四、（本题满分12分）设 已知线性方程组至少存在两个不同的解（）求（）求方程组的通解五、（本题满分12分）设求正交矩阵，使得为对角矩阵六、证明题（共12分）1（本题满分7分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足 证明线性无关2（本题满分5分）证明两个正定矩阵的和仍是正定矩阵