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1、课时作业(十一)一、选择题1等轴双曲线的一个焦点是F1(6,0)，则它的标准方程是()A.1 B.1C.1 D.1【解析】设等轴双曲线方程为1(a0)，a2a262，a218，故双曲线方程为1.【答案】B2(2014天水高二考试)已知双曲线方程为x21，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l()A4条 B3条 C2条 D1条【解析】因为双曲线方程为x21，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】B3(201
2、4大纲全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()A2 B2 C4 D4【解析】由已知得e2，所以ac，故bc，从而双曲线的渐近线方程为yxx，由焦点到渐近线的距离为，得c，解得c2，故2c4，故选C.【答案】C4(2014广东高考)若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等 B虚半轴长相等 C离心率相等 D焦距相等【解析】若0k0,16k0，故方程1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e；同理方程1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e.可知两曲线的焦距相等
3、，故选D.【答案】D二、填空题5(2014南京高二检测)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_【解析】c2mm24，e25，m24m40，m2.【答案】26(2013辽宁高考)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_【解析】由双曲线方程知，b4，a3，c5，则虚轴长为8，则|PQ|16.由左焦点F(5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上由双曲线的定义可知|PF|PA|2a，|QF|QA|2a，两式相加得，|PF|QF|(|PA|QA|)4a，
4、则|PF|QF|4a|PQ|431628，故PQF的周长为281644.【答案】447(2014浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_【解析】由得点A的坐标为，由得点B的坐标为，则AB的中点C的坐标为，kAB，kCP3，即3，化简得a24b2，即a24(c2a2)，4c25a2，e2，e.【答案】三、解答题8双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线为yx，求双曲线的标准方程和离心率【解】由椭圆1，知c2641648，且焦点在y轴上，双曲线的一条渐近线为yx，设双曲线方程为1.又c22a24
5、8，a224.所求双曲线的方程为1.由a224，c248，得e22，又e0，e.9(2014玉溪高二检测)已知双曲线1的右焦点为(2,0)(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x2围成的三角形的面积【解】(1)双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为1，c2a2b23b24，b21，双曲线的方程为y21.(2)a，b1，双曲线的渐近线方程为yx，令x2，则y，设直线x2与双曲线的渐近线的交点为A、B，则|AB|，记双曲线的渐近线与直线x2围成的三角形面积为S，则S2.1(2014山东省实验中学高二检测)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均与C：x2y26x50相切，则该双
6、曲线离心率等于()A. B. C. D.【解析】圆的标准方程为(x3)2y24，所以圆心坐标为C(3,0)，半径r2，双曲线的渐近线为yx，不妨取yx，即bxay0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d2，即9b24(a2b2)，所以5b24a2，b2a2c2a2，即a2c2，所以e2，e，选A.【答案】A2(2014北京市东城区)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0 B3x5y0C5x4y0 D4x3y0【解析】由题意可知|PF2|F1
7、F2|2c，所以PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|24b，又|PF1|PF2|2a，所以4b2c2a，所以2bac，两边平方可得4b24aba2c2a2b2，所以3b24ab，所以4a3b，从而，所以该双曲线的渐近线方程为4x3y0，故选D.【答案】D3过双曲线x21的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A、B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为_【解析】双曲线的左焦点为F1(2,0)，将直线AB方程y(x2)代入双曲线方程，得8x24x130.显然0，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，x
8、1x2，x1x2，|AB| 3.【答案】34(2014安徽师大)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2，其中O为原点，求k的取值范围【解】(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，由已知得a，c2.又因为a2b2c2，所以b21，故双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21中，得(13k2)x26kx90，由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2且k22得xAxByAyB2，而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)2，于是2，解此不等式得k23.由得k21.故k的取值范围是.