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1、初中数学二次根式及计算编稿老师董志臣一校安宁二校黄楠审核宋树庆考点考纲要求分值考向预测二次根式及计算1. 理解二次根式定义，理解最简二次根式、同类二次根式含义并能加以区分；2. 能够进行二次根式的有关加减乘除运算，以及化简求值；3. 掌握二次根式的特殊求值方法，能够运用二次根式的性质解决问题。510分主要考查内容：二次根式有意义的条件；二次根式性质的运用；（）2与的化简；二次根式的计算。一、二次根式的基本概念：1. 定义一般地，形如（a0）的代数式叫作二次根式。“”称为二次根号。（当a0时，表示a的算术）【要点诠释】（1）形如（a0）的式子也叫作二次根式；（2）二次根式中的被开方数，可以是数，
2、也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足0。2. 二次根式的性质 非负性，表示的算术平方根，因此（0）是一个非负数； (0)； =； 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；=（a0，b0） 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。=（a0，b0）3. 最简二次根式必须同时满足下列条件 被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母中不含根式。【规律总结】在判断最简二次根式的过程中要注意： 在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； 在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果
3、幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式。【随堂练习】（长宁区二模）下列二次根式中，最简二次根式是（）A. B. C. D. 答案：A. =3，可化简；C. =，可化简；D. =|a|，可化简；因此只有B是最简二次根式，故选B。思路分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。4. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。二、二次根式的计算：1. 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式。2. 二次根式的乘除法： 二次根式的乘法法
4、则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 （a0，b0） 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=（a0，b0）【要点诠释】（1）不是同类二次根式的不能合并，如：；（2）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用进行化简，即将根号内能够开得尽方的数移到根号外；（3）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简；（4）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算。【随堂练习】（白银）下列计算错误的是（）A. B. C. D. 答案：B例题1 （巴中）要使式子有意义，则m的取值范围
5、是（）A. m1 B. m1 C. m1且m1 D. m1且m1思路分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围。答案：根据题意得：m+10, m10，解得：m1且m1。故选D。技巧点拨：本题考查的知识点为：分式有意义的条件，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数。例题2 （吉林）若ab，且a，b为连续正整数，则b2a2= 。思路分析：因为321342，所以34，求得a、b的数值，进一步求得问题的答案即可。答案：321342，34，即a=3，b=4，b2a2=7。故答案为7。技巧点拨：此题考查无理数的估算。利用平方估算出根号下的数值的取值，进一步得
6、出无理数的取值范围，是解决这一类问题的常用方法。例题3 （荆门）（1）计算：4（1）0；（2）先化简，再求值：（+），其中a，b满足+|b|=0。思路分析：（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=41=2，然后合并即可；（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b=0，解得a=1，b=，然后把a和b的值代入计算即可。答案：解：（1）原式=41=2=；（2）原式=（=，+|b|=0，a+1=0，b=0，解得a=1，b=，当a=1，b=时，原式=。技巧点拨：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式
7、化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式。也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值。【易错警示】 一、考虑问题不全面如：代数式中，的取值范围是_。易错点：根据题意，得0，解得2，故填2。分析：整体观察式子的特点，存在分母，应满足分母不为0的条件；又存在二次根式，应满足被开方数为非负数。错解只注意被开方数的非负性，而忽略了分式中分母不为0的条件。正解：根据题意，得0，解得2，故填2。二、理解性质出错如：求的值。易错点：3。分析：表示的算术平方根，应为正数。错解由于对二次根式的性质理解不透而犯错。正解：3。三、忽略运算顺序如：计算。易错点：原式。分析：由于乘除是同一级
8、运算，应按照从左到右的顺序进行。正解：原式。四、对最简二次根式判断不准如：下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.易错点：选C。分析：最简二次根式的被开方数中既不含开得尽方的因式或因数，也不含分母，满足条件的只有B。错解只看表面形式，不求甚解，C中被开方数是小数形式，化为分数后，可继续化简。正解：选B。（答题时间：30分钟）1. 在式子，中，x可以取2和3的是（）A. B. C. D. 2. 设n为正整数，且nn+1，则n的值为（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 83. y=+3，则xy=（）A. 15 B. 9 C. 9 D. 154. 已知a、b、c是ABC三边的长，
9、则+|a+bc|的值为（）A. 2a B. 2b C. 2c D. 2（a一c）5.（德州）若y=2，则（x+y）y= 。6. 把（2x）根号外的因式移到根号内，得 。7. 计算：（1）（+1）（）2+|1|（2）0+。8. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2。善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn。a=m2+2n2，b=2mn。这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法。请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数
10、时，若a+b=(m+n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=_，b=_；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：_+_=（_+_）；（3）若a+4=(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值。1. C 解析：A. 的分母不可以为0，即x20，解得：x2，故A错误；B. 的分母不可以为0，即x30，解得：x3，故B错误；C. 被开方数大于等于0，即x20，解得：x2，则x可以取2和3，故C正确；D. 被开方数大于等于0，即x30，解得：x3，x不能取2，故D错误。故选C。 2. D 解析：，89，nn+1，n=8，故选D。 3. D 解析：y=+3，x5且153x0，
11、x=5，y=0+0+3=3，xy=53=15。故选D。 4. B 解析：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，abc0，a+bc0+|a+bc|=b+ca+a+bc=2b。故选B。 5. 解析：由题意得，x40且4x0，解得x4且x4，x=4，y=2，（x+y）y=（42）2=。故答案为。6. 解析：有意义，x20，即x2，2x0，原式=。7. 解：原式=519+11+2=7+3。8. 解：（1）a+b=(m+n)2，a+b=m2+3n2+2mn，a=m2+3n2，b=2mn。故答案为m2+3n2，2mn。（2）设m=1，n=1，a=m2+3n2=4，b=2mn=2。故答案为4、2、1、1。（3）由题意得：a=m2+3n2，b=2mn4=2mn，且m、n为正整数，m=2，n=1或者m=1，n=2，a=22+312=7，或a=12+322=13。