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1、不等式选讲复习建议：华师附中 叶巧卡 一、不等式证明选讲考试说明具体要求如下：()理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式|a+b| |a|+|b| |ab| |ac| +|cb| （2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|c、|ax+b|c、|xc|+|xb|a （3）会用不等式和 证明一些简单问题。能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值。（4）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。删去（2）了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明。 柯西不等式向量形式：|a |b |a b |+（通常称作平面三角不
2、等式）（3）会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。二、思维总结1不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。2不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等。换元法
3、主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点。3几个重要不等式（让学生理解并记忆，能直接套用公式及其变式） 若a R，则| a |0 , a20. 若a、b R，则a2+b22ab （或a2+b22| ab |2ab）（当且仅当a=b时取等号） 如
4、果a,b都是正数，那么 （当且仅当a=b时取等号）变式：x+ 2 (x0) ; + 2 (ab0,当且仅当a=b时取等号) a3+b3+c33abc（a,b,c R+）, （当且仅当a=b=c时取等号）； (a1+a2+an)(ai R+,i=1,2,，n)，当且仅当a1=a2=an取等号；变式：a2+b2+c2ab+bc+ca; ab( )2 (a,b R+) ; abc( )3(a,b,c R+)a b.(0ab) 浓度不等式： bn0,m0;题型讲解一、 含绝对值不等式的求解记熟公式： 当a0时 | x |a axa；| x |a xa或xa1、（上海卷）不等式| x1 |1的解集是（0
5、，2）2、不等式组 的解集为( )C (A) (0,)；(B) (,2)；(C) (,4)；(D) (2,4)。3、（广东卷16）若不等式3xb4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围是 。（5，7）.4、（08广东卷14）（不等式选讲选做题）已知a R，若关于x的方程x2+x+|a|+|a|=0有实根，则a的取值范围是 0, 5、若对任意x R,不等式| x |ax恒成立，则实数a的取值范围是 ( ) B (A)a1 (B)| a |1 (C) | a |1 （D）a1 6、（山东卷）0a2 （B）| log(1+a) (1a)| | log(1a) (1+a)|（C）| log(
6、1+a) (1a)|+ | log(1a) (1+a)| | log(1+a) (1a)|+| log(1a) (1+a)|（D）| log(1+a) (1a)| log(1a) (1+a)| | log(1+a) (1a)| log(1a) (1+a)|7、（江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是( C )（A）| ab | ac |+| bc |（B）a2+ a+ （C）| ab |+ 2（D）8、（北京文科15）记关于x的不等式 0的解集为P，不等式| x1 |1的解集为Q（I）若a=3，求P；（II）若Q P，求正数a的取值范围解：（I）由 0，得P=x|1x0
7、，得P=x|1x2，即a的取值范围是(2,+)9、(上海卷)三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+| x35x2 |ax在1，12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 解：由x2+25+| x35x2 |ax , 1x12 ax+ +| x25x |，而x+ 2=10，等号当且仅当x=5 1,12时成立；且| x25x |0，等号当且仅当x=
8、5 1,12时成立；所以，a x+ +| x25x |min=10，等号当且仅当x=5 1,12成立。10. 设a R, 函数f(x)= ax2+xa (1x1).(1)若| a |1,证明| f(x) | ;（2）求使函数f(x)有最大值 的a的值.解：(1) 1x1 | x |1,又 | a |1,| f(x) |=| ax2+xa |=| a(x21)+x | a(x21) |+| x | x21 |+| x |=1x2+x=（x）2+ .(2) 由（1）可知| a |1, 当a1时,f(x)的最大值在端点取得，又f(1)=1, f(1)=1，所以不合题意，舍去；当a1时, f(x)的最
9、大值在顶点取得，fmax(x)= = ,解得a=2或a=,因为a1，所以a=2.二、含参数问题：对于含有字母参数的问题,要求能够合理分类,用分类讨论的思想解决问题,有时也通过分离参数来转化.1、设a是实数，若M不是N的子集，则a的取值范围是 答案：(2,1)2、对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_答案：3、已知二次函数（R，0）（1）当0ax 答案：当a1时, 解集为R；当11时，解集为(, )( ,+).三.通过基本不等式求极值（一）.通过不等式性质变形1.（北京理科7）如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4，那么（A）abc+d，且等号成立时a,b,c,d的取值唯一abc+d
10、，且等号成立时a,b,c,d的取值唯一abc+d，且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一abc+d，且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一2. （福建卷）下列结论正确的是（ B ）A当x0且x1时,lgx+ 2B当x0时,+ 2C当x2时,x+ 的最小值为2D当00且a(a+b+c)+bc=42 所以a2+ab+ac+bc=42，42= a2+ab+ac+bc= (4a2+4ab+4ac+2bc+2bc) (4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2), (22)2(2a+b+c)2，则(2a+b+c)22，选D. 5. （江西卷9）若0a1a2,0b10且a2+2ab+2ac+4bc=12，
11、则a+b+c的最小值是 ( A )（A）2 （B）3 （C）2 （D）解：（abc）2a2b2c22ab2ac2bc12（bc）212，当且仅当bc时取等号，故选A7. （上海理科6）已知x,y R+，且x+4y=1，则xy的最大值为 。（上海春）已知8.直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为 .49.（江苏卷11）已知x,y,z R+，x2y+3z=0,，则 的最小值为 310.(山东理科16)函数y=loga(x+3)1(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn0,则 + 的最小值为 .8
12、四、 不等式的证明比较法（基本方法）1.已知x,y R，求证：sinx+siny1+sinxsiny.2.设a0，b0,求证：aabb. 综合法、分析法（联系基本不等式）1.设a,b,c为正实数，求证：+ + +abc2.2.求证：a4+b4+c4abc(a+b+c).3.已知a,b,c为正非负实数，求证：+(a+b+c).4.已知a,b,c为正实数，求证：a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).5.若| a |1,| b |1,求证：ab+1.反证法（正难则反）：关注所证结论的特点1.已知x0，y0，且x+y2，求证：与 中至少有一个小于2.2.设f(x)=x2+ax+b，求证
13、：| f(1) |、| f(2) |、| f(3) |中至少有一个不小于 .3.已知a0，f(x)=x3ax在1,+)上是一个单调函数，(1)求实数a的取值范围；(2)设x01，f(x0)1，且ff(x0)=x0，试证明：f(x0)=x0.解：（I） 0x0或f(x0) x0，又x01，f(x0)1，且由（）可知f(x)在1,+)上为单调增函数，若1x0f(x0)，则f(x0) f(f(x0)=x0矛盾， 若1f(x0)x0，则f(f(x0) f(x0)，即x0f(x0),矛盾， 故假设不成立，即f(x0)=x0成立.4. 已知函数f(x)=alnxbx2图象上一点P(2,f(2)处的切线方程
14、为y=3x+2ln2+2(1）求a,b的值；（2）若方程f(x)+m=0在 ,e内有两个不等实根，求m的取值范围（其中为自然对数的底数）；（3）令g(x)=f(x)kx，若g(x)的图象与轴交于A(x1,0),B(x2,0)， (其中x1x2)，AB的中点为C(x0,0)，求证：g(x)在x0处的导数解：（1）解得（2） 1m2+ (3）g(x)=2lnxx2kx，g(x)= 2xk假设结论不成立，则有 ，得2ln (x12x22)k(x1x2)=0 k=2 2x0由得k= 2x0，= 即= ，即ln = 令t=，u(t)=lnt(0t1)， 则u(t)= 0u(t)在0t1上增函数， u(t
15、)u(1)=0， 式不成立，与假设矛盾g(x0)05. （2009重庆卷理）设个不全相等的正数依次围成一个圆圈（）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；（）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：； 解：（I）（II）由题意an2=an12an+12, (1n6又m=6k，由和得a72+am2=(a72+a122)+(a6k-52+a6k2)=（k-1）(a12+a62)=(k-1) (a12+a22+a32+)6(k-1)+因此由得a1+a2+a3+a6+ a72+am26+6(k-1)=6k=m=ma1a2a3am导数法：若题目中有函数形式，特别
16、是对数函数与其他函数组合1. 已知x0，求证：ln(1+x)xx2.2. 证明不等式 lnx ,其中x13. 已知定义在正实数集上的函数f(x)= x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同。（1） 用a表示b，并求b的最大值；（2） 求证：f(x)g(x) (x0) .(1) b= a23a2lna , bmax= 放缩法【类似数列求和，当不可以运用常见方法(公式法、分组求和法、列项求和法、倒序求和法、错位相减法)求和时，考虑适当放缩，转化为可以求和再比较大小】放缩目标分式分子分母同加减一个值1、09广东理21已知曲线
17、从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.解：（1），（2）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即. 数列求和式取最大最小放缩1、求证：5 + + + 10.1;+ + =1;+ + + + + =1+ + + + =1上述式子相加得右边成立没有求和公式的放缩为有求和公式的数列目标：等差等比数列等差1.已知数列an 中，an=，Sn为其前n项和，求证：Sn 分母放大或缩小：n=n+ 等比（关于指数式）1.（06福建22）已知数列an 满足a=1,a=2a+1(nN)（）
18、求数列an的通项公式；（）若数列bn满足= (nN*),证明:bn是等差数列;（）证明:(nN*).解：（I）an+1=2n即an=2n-1(n N*)（II）略（III）证明： (分母缩小)分母放大拆项求和式（如分母为根式的分式，分母为二次式的分式）1.已知n N*,求证：2（1）1+ + 2.+2 2.数列，是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。设，证明：当时，. 略 证明：由得 ，故 （裂项求和） 现证.当，故时不等式成立 当得，且由， 注意：有些放缩是不是从开始进行，是从某一项之后1. 设函数,若(1)求函数f(x)的解析式；(2)设,求证:；解：
19、（1） (2)由， 易知n=1,2时成立当时, =（裂项求和）对于指数式又可拆项分解的复合式，可优先考虑拆项分解1.（06全国1理22）设数列an的前项的和，（）求首项与通项；（）设，n=1,2,3，证明：解：（I）a1=2 , ，n=1,2,3，因而，n=1,2,3,，（II）将代入得= (2n+11)(2n+12)= (2n+11)( 2n1)= = ( )所以，= (1)1时，(1+x)m1+mx；（）对于n6，已知(1)n ，求证(1)n 1，且x0时，m2, (1+x)m1+mx. (i)当m=2时，左边1+2x+x2,右边1+2x，因为x0,所以x20，即左边右边，不等式成立；（i
20、i）假设当m=k(k2)时，不等式成立，即（1+x）k1+kx,则当m=k+1时，因为x-1,所以1+x0.又因为x0,k2,所以kx20.于是在不等式（1+x）k1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以（1+x）k+11+(k+1)x,即当mk+1时，不等式也成立.综上所述，所证不等式成立.2. (06江西22)已知数列an满足：a1 ，且an (n2,n N*) （1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an 显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个nN*,(1)(1)(1)
21、1（ + + ） 用数学归纳法证明式：1n=1时，显然式成立，2设n=k时，式成立,即(1)(1)(1)1（ + +）,则当n=k+1时,(1)(1)(1)(1)1（+ +）( 1)=1（+ +）+(+ +)1 (+ +).即当n=k+1时，式也成立.故对一切nN*,式都成立.利用得，(1)(1)(1) 1（ + + ）=1=1(1)= + ( )n .故式成立，从而结论得证.证明充要条件问题1. 设a,b为正数，求证：不等式+1成立的充要条件是对于任意实数x1，有ax+ b.分析：ax+ = a(x1)+a+ =a(x1)+ +a+12+a+1=(+1)22. （2002江苏，22）已知a0
22、，函数f（x）axbx2。（1）当b0时，若对任意xR都有f（x）1，证明a2；（2）当b1时，证明：对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2；（3）当0b1时，讨论：对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件。（）证明：依题意，对任意xR，都有f（x）1，f（x）b(x)2+ ，f()=1，a0，b0，a2（）证明：必要性：对任意x0，1，|f（x）|11f（x），据此可以推出1f（1），即ab1，ab1；对任意x0，1，|f（x）|1f（x）1，因为b1，可以推出f（ ）1，即a11，a2；b1a2 充分性：因为b1，ab1，对任意x0，1，可以推出：axbx2b（xx2）xx1，
23、即axbx21；因为b1，a2，对任意x0，1，可以推出axbx22xbx21，即axbx21。1f（x）1。综上，当b1时，对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2（）解：因为a0，0b1时，对任意x0，1：f（x）axbx2b1，即f（x）1；f（x）1f（1）1ab1，即ab1，ab1f（x）（b1）xbx21，即f（x）1。所以，当a0，0b1时，对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是ab1.解：原式（xa）（xa2）0，x1a，x2a2。当a=a2时，a=0或a=1，x，当aa2时，a1或a0，axa2，当aa2时0a1，a2xa，当a0时axa2，当0a1时，a2xa
24、，当a1时，axa2，当a=0或a=1时，x。综合问题A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：对任意，都有 ； 存在常数，使得对任意的，都有（1）设，证明：（2）设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;（3）设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式。解：(1)对任意,所以对任意的，所以0,令=L， ，所以(2)反证法：设存在两个使得,。则由，得，所以，矛盾，故结论成立。(3)，所以+。创新题1（06湖南文，20）在m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆
25、序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数。（）求a4、a5，并写出an的表达式；（）令，证明，n=1,2,。解（）由已知得，。（）因为，所以.又因为，所以 =。综上，。点评：该题创意新，知识复合到位，能很好的反映当前的高考趋势。2. （2009江苏卷）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品
26、的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA= mB时，求证：h甲=h乙； (2)设mA= mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。(1)h甲=, h乙=，mA 3,
27、12, mB 5,20当mA= mB时，h甲= =,h乙= =, h甲=h乙w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）当mA= mB时，h甲=由mB 5,20 得 , ，故当 = 即mB=20, mA=12时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 。（3）（方法一）由（2）知：h0=由h甲=h0= 得： ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 =x, =y 则x, y ,1，即：(1+4x)(1+y) .同理，由h乙h0=得：(1+x)(1+4y) 另一方面，x, y ,1 ,1+4x、1+4y 2,5, 1+x、1+y ,2. (1+4x)(1
28、+y),(1+x)(1+4y), 当且仅当x=y= ，即mA=mB时，取等号。所以不能适当选取mA、mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立。方法二：由（2）知h0= ，因为h甲h乙= .所以,当h甲 ,h乙 时，有h甲=h乙=.因此不能取到mA,mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3. （2009湖南卷文）对于数列,若存在常数M0,对任意的，恒有 , 则称数列为数列.（）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;（）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：A组：数列是B-数列, 数列不是B-数列;B组
29、：数列是B-数列, 数列不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；()若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。解: （）设满足题设的等比数列为,则.于是 =所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .（）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.事实上设=1，易知数列是B-数列，但=n， .由n的任意性知，数列不是B-数列。命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有 , 即.于是,所以数列是B-数列。（注：按题中要求组成其
30、它命题解答时，仿上述解法） ()若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有 .因为 .记，则有 .因此.故数列是B-数列.附放缩法的练习1.证明不等式：1+ + + 2 (n3)当n3时, = (等比数列求和)或者n3, = （裂项求和）2.已知n N*，求证：2(1+ )n3.(1+ )n=1+Cn1 + Cn2 ()2+ Cnk ()k+（ ）nCnk ()k= ()k= ()k = (等比数列求和)3.已知n N*，求证： 0且b1,b, r均为常数的图像上.所以得Sn=bn+r,当n=1时,a1=S1=n+r,当n2时,an=SnSn1=bn+r(bn1+r)=bnbn1=(b1)bn
31、1,又因为an 为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边= ,右边=,因为 ,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由、可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.4.（06浙江理，20）已知函数f(x)=x+ x2，数列x (x0)的第一项x11，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.求证：当n时，()x（）。证明：（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（II）因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令则因为所以因此故点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。