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1、一方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体。与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过
2、作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径。二解题策略类型一 构造法（补形法）【答案】 【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解。长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。【例2】一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）【答案】A【解析】【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体
3、，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可。【举一反三】1、如图所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且ABAC，若ADR(R为球O的半径)，则球O的表面积为()A B2 C4 D8【答案】D【解析】因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，ABAC，所以AE，ADR，DE2R，则有R26(2R)2，解得R，所以球的表面积S4R28.故选D。2、如图所示，已知三棱锥ABCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC平面BCD，BCCD，且AC，BC2，CD，则球O的表面积为()A12 B7 C
4、9 D8【答案】A【解析】由AC平面BCD，BCCD知三棱锥ABCD可以补成以AC，BC，CD为三条棱的长方体，设球O的半径为R，则有(2R)2AC2BC2CD234512，所以S球4R212.故选A。3、在三棱锥ABCD中，ABCD6，ACBDADBC5，则该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】43【解析】依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则得a2b2c243，即(2R)2a2b2c243，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4R243. 类型二 正棱锥与球的外接【例
5、3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A B C D【答案】A【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径。【举一反三】1、在三棱锥PABC中，PAPB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A B. C. 4D.【答案】D2、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，平面SAB平面ABC，则棱锥SABC的体积的最大值为()A. B. C2 D4【答案】A【解析】 (1)由于平面
6、SAB平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥SABC的体积最大因为ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径rOCCH2.在RtSHO中，OHOC，所以SH1，故所求体积的最大值为221.3、把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A. B. C. D. 【答案】B 类型三 直棱柱的外接球【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。【答案】【解析】在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,
7、设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. 【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径。【举一反三】1、已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12，BAC90，则该球的体积等于_【答案】4【解析】设该球的球心为O，ABC所在圆面的圆心为O1，则OO1平面ABC且OO11.在ABC中，因为ABAC2，BAC90，所以ABC外接圆的半径rBC，所以该球的半径R，所以该球的体积VR34. 2、已知三棱柱的6个顶点都在球
8、的球面上,若,则球的半径为（）ABCD 【答案】C【解析】由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径R=,选C.3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .【答案】大 三强化训练1、矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是( )A. B. C. D.【答案】 C2、棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A B CD【答案】 D 3、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水
9、深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （）ABCD【答案】A 【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心如图设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R2）2+42，解出R=5，所以根据球的体积公式，该球的体积V=故选A4、如图是一个几何体的三视图， 则这个几何体外接球的表面积为()A8 B16 C32 D64【答案】C【解析】 该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半径为2，表面积为4(2)232.故选C。5、已知四棱锥S ABCD的所有顶点在同一球面上，底面A
10、BCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于1616，则球O的体积等于()A. B. C. D.【答案】D 6、将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )A. B. 2+ C. 4+ D. 【答案】C球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍。7、 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。【答案】8、【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SA=AC，S
11、B=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_【答案】因为平面平面所以平面设所以，所以球的表面积为9、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，平面SAB平面ABC，则棱锥SABC的体积的最大值为()A. B. C2 D4【答案】A 10、矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是( )A. B. C. D.【答案】 C11、在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球的半径的最大值为（ ）【答案】12、如图K3816所示，ABCDA1B1C1D1是边长为1的正方体，SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为()图K3816A. B. C. D.【答案】D【解析】 如图所示作辅助线，易知球心O在SG1上，设OG1x，则OB1SO2x，同时由正方体的性质知B1G1，则在RtOB1G1中，由勾股定理得OBG1BOG，即(2x)2x2，解得x，所以球的半径R2，所以球的表面积S4R2.