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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第十讲 几种常用的随机过程10.1 马尔可夫过程10.1.1马尔可夫序列马尔可夫序列是指时间参数离散，状态连续的马尔可夫过程。一个随机变量序列（n=1,2,）,若对于任意的n有 （10.1） 或 （10.2）则称为马尔可夫序列。的联合概率密度为 （10.3）马马尔可夫序列有如下性质：（1） 一个马尔可夫序列的子序列仍为马尔可夫序列。（2） （10.4） （3） （10.5）（4） 在一个马尔可夫序列中，若已知现在，则未来与过去相互独立。即，nrs （10.6）（5） 若条件概率密度与n无关，则称马尔可夫序列是齐次的。（6） 若一个马尔可夫序列是齐
2、次的，且所有的随机变量具有同样的概率密度，则称该马尔可夫序列为平稳的。（7） 马尔可夫序列的转移概率满足切普曼柯尔莫哥洛夫方程，即，nrs (10.7)10.1.2马尔可夫链马尔可夫链是指时间参数，状态方程皆为离散的马尔可夫过程。1 马尔可夫链的定义 设为离散时间随机过程，其状态空间。如果过程在时刻为任一状态的概率，只与过程在时刻的状态有关，而与过程在时刻以前的状态无关，即 则称该过程为马尔可夫链，或简称马氏链。2 马氏链的转移概率及有限维分布 马氏链的转移概率定义为如果与m无关，则称该马氏链为齐次的。下面我们仅研讨齐次马氏链，并习惯上省去“齐次”二字。 马氏链的一步转移概率及其矩阵分别定义为
3、 （10.11）一步转移概率矩阵P有以下两个性质 （10.12） （10.13）马氏链的高阶转移概率及其矩阵分别定义为n步转移概率矩阵P(n)具有如下的性质：此外，还规定马氏链的n步转移概率及其矩阵具有如下的切普慢柯尔摩哥洛夫方程的离散形式，即当n为任意正整数时，则有式（7.18），若n=k+1,则有 由上可知，以一步转移概率为元素的一步转移概率矩阵P决定了马氏链状态转移过程的概率法则。但是，P决定不了初始概率分布，必须引入初始概率并称=（）为初始分布，显然有若绝对概率，则有马氏链的有限维分布可表示为3遍历性及平稳分布（1）遍历性 设为齐次马氏链，若对于一切状态i与j，存在不依赖于i的极限则称
4、马氏链X（n）具有遍历性。定理 （有限马氏链具有遍历性的充分条件）对有限状态的齐次马氏链X（n），若存在正整数m，使则此链是遍历的。而且，式（10.36）中的是方程组 在满足条件下的惟一解。（2）平稳分布 马氏链的一个概率分布 则称它为该链的平稳分布。并有10.1.3马尔可夫过程 这里论及的马尔可夫过程是指时间，状态皆连续的马尔可夫过程。扩散过程就是这类马尔可夫过程的一个特例。设有一随机过程：则称此类过程为马尔可夫过程，简称马氏过程。 马氏过程的转移概率分布定义为： 转移概率分布是关于x的分布函数，故有：马氏过程的转移概率密度定义为故有它也满足切普曼柯尔莫哥洛夫方程如果马氏过程X（t）有则称它
5、为为齐次马尔可夫过程。马氏过程X（t）的n维概率密度可写成10.2 独立增量过程10.2.1独立增量过程设有一个随机过程，若对任意的时刻，过程的增量是相互独立的随机变量，则称为独立增量过程或可加过程。 若参数集，则像马尔可夫过程一样，独立增量过程的有限维分布可由它的初始概率分布及一切增量的概率分布唯一地确定。 如果独立增量过程的增量的分布仅与有关，而与本身无关，则称为齐次的。10.2.2泊松过程 实际上，泊松过程就是一个纯不连续的马尔可夫过程，而且也是一个独立增量过程。1. 泊松过程（1） 定义 设随机过程的状态只取非负整数值，若满足下列三个条件： X(t)为均匀独立增量过程； 对任意时刻对应
6、的随机变量的增量服从数学期望为的泊松分布，即对于k=0,1,2有则称X(t)为泊松过程。 对于式（10.57），若 时，则有（2）数字特征 泊松过程X(t)的均值、均方差、方差、自相关函数分别为：2. 泊松增量（1） 定义 由泊松过程X(t)在给定的时间间隔内的增量与之比，我们构成一新过程：称它为泊松增量。显然，若k是间隔内的随机点数，则Y(t)=k/t。故（2） Y(t)的均值、自相关函数分别为：3过滤的泊松过程与散粒噪声 泊松过程X(t)对t 求导，就能得到与时间轴上随机点相对应的冲激序列，称此离散随机过程为泊松冲激序列。即 （10.67）（1） 过滤的泊松过程 设有一泊松冲激脉冲序列经过
7、一线性时不变滤波器，则此滤波器输出是一随机过程X(t)，如图：式中，h(t)为滤波器的冲激响应；为第i个冲激脉冲出现的时间；N(t)为在内输入到滤波器的冲激脉冲的个数，它服从泊松分布。我们称此为过滤的泊松过程。（2） 散粒噪声 在电子管、晶体管中，由散粒效应引起的散粒噪声电流皆为过滤的泊松过程。因此，散粒噪声X(t)可表示成类似式（10.72）的形式。而且，不难证明此X(t)也是平稳的。10.2.3 维纳过程 维纳过程是另一个最重要的独立增量过程，有时也称它为布朗运动过程，还可以将它看成是随机游动X(t)的极限形式。1.定义 设随机过程满足下列条件： （1） （2） 为均匀独立增量过程，且对任意时刻及具有与相同的正态分布函数，其概率密度为式中，为正常数。（3） 对任意时刻，具有均值EW(t)=0的正态分布函数，其概率密度为2. W(t)的均值与自相关函数分别为 3. W(t)与正态白噪声N(t) 维纳过程W(t)的形式导数就是正态白噪声N(t)，N(t)的自相关函数为令，则有换言之，W(t)可表示为N(t)的积分，即4 扩散方程 维纳方程W(t)满足下列扩散方程式中，为在之下随机变量的条件概率密度。实际上，此式是柯尔莫格洛夫方程的特例。 可以证明，下列条件概率密度式是式（10.85）具有初始条件为的惟一解。【精品文档】第 12 页