《自动控制原理教案-自控学习与解题指导.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理教案-自控学习与解题指导.doc（88页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、课程学习指导与解题指导理工学院自动化系 二零零三年七月第一章 自控理论基本概念本章作为绪论，已较全面地展示了控制理论课程的全貌，叙述了今后在课程的学习中要进行研究的各个环节内容和要点，为了今后的深入学习和理解，要特别注意本章给出的一些专业术语及定义。1、基本要求（1）明确什么叫自动控制，正确理解被控对象、被控量、控制装置和自控系统等概念。 （2）正确理解三种控制方式，特别是闭环控制。（3）初步掌握由系统工作原理图画方框图的方法，并能正确判别系统的控制方式。（4）明确系统常用的分类方式，掌握各类别的含义和信息特征，特别是按数学模型分类的方式。（5）明确对自控系统的基本要求，正确理解三大性能指标的
2、含义。2内容提要及小结（1） 几个重要概念 自动控制 在没有人直接参与的情况下，利用控制器使被控对象的被控量自动地按预先给定的规律去运行。自动控制系统 指被控对象和控制装置的总体。这里控制装置是一个广义的名词，主要是指以控制器为核心的一系列附加装置的总和。共同构成控制系统，对被控对象的状态实行自动控制，有时又泛称为控制器或调节器。自动控制系统负反馈原理 把被控量反送到系统的输入端与给定量进行比较，利用偏差引起控制器产生控制量，以减小或消除偏差。（2） 三种基本控制方式实现自动控制的基本途径有二：开环和闭环。实现自动控制的主要原则有三： 主反馈原则按被控量偏差实行控制。 补偿原则按给定或扰动实行
3、硬调或补偿控制。 复合控制原则闭环为主开环为辅的组合控制。（3）系统分类的重点重点掌握线性与非线性系统的分类，特别对线性系统的定义、性质、判别方法要准确理解。线性系统非线性系统（4）正确绘制系统方框图绘制系统方框图一般遵循以下步骤：搞清系统的工作原理，正确判别系统的控制方式。正确找出系统的被控对象及控制装置所包含的各功能元件。确定外部变量（即给定值、被控量和干扰量），然后按典型系统方框图的连接模式将各部分连接起来。（5）对自控系统的要求对自控系统的要求用语言叙述就是两句话：要求输出等于给定输入所要求的期望输出值；要求输出尽量不受扰动的影响。恒量一个系统是否完成上述任务，把要求转化成三大性能指标
4、来评价： 稳定系统的工作基础； 快速、平稳动态过程时间要短，振荡要轻。 准确稳定精度要高，误差要小。解题示范例1-1 图11为液位自动控制系统示意图。在任何情况下，希望液面高度C维持不变。试说明系统工作原理，并画出系统原理方框图。图11液位自动控制系统解：1、工作原理：闭环控制方式。当电位器电刷位于中点位置时，电动机不动，控制阀门有一定的开度，使水箱中流入水量和流出水量相等，从而液面保持在希望高度上。当进水或出水量发生变化，例如液面下降，通过浮子和杠杆检测出来，使电位器电刷从中点位置上移，从而给电动机提供一定的控制电压，驱动电动机通过减速器开大阀门开度，使液位上升，回到希望高度。电位器电刷回到
5、中点，电动机停止。2、被控对象是水箱，被控量是水箱液位，给定量是电位器设定位置（代表液位的希望值）。主扰动是流出水量。系统的方框图如图12所示。图12 液位自动控制系统方框图。例12 图13为自动调压系统。试分析系统在负载电流变化时的稳压过程，并绘出系统方框图。 图 13 自动调压系统解：1、工作原理：顺馈控制。当负载电流IF变化时，发电机G的电枢绕组压降也随之改变，造成端电压不能保持恒定，因此，负载电流变化对稳压控制来说是一种扰动。采用补偿措施，将电流IF在电阻RF上的压降检测出来，通过放大，来改变发电机的励磁电流IF，以补偿电枢电压的改变，使其维持恒定。2、被控对象是发电机G，被量是电枢端
6、电压UF，给定值是励磁电压UF，扰动量是负载电流IF。系统方框图为14所示。 图14自动调压系统方框图例13 直流稳压电源原理图为图15所示，试画出方框图，分析工作原理。图15 直流稳压电源原理图解：1、工作原理：反馈控制实际输出电压U2由R3和R4组成分压器检测出来，与给定值Uw进行比较，产生的偏差电压BG1进行放大，作用于BG2。由BG2对输出电压进行调整，这里的偏差电压仅随U2变化。由BG1反相放大后产生Uc，这是系统的控制量。通过BG2进行输出电压自动调节，维持U2恒定。假如U2，Ua，Ib1, Uc，Ib2，UED，U2。若U2UaIb1UcIb2UEDU2图16 稳压电源方框图U1
7、是系统的供电输入电压，若电网波动，也会使U1变化。因此，对系统来说，U1的变化是造成U2电压波动的干扰因素，属于扰动信号，也可以通过反馈回路加以抑制。2控对象不是一个具体的设备，而是一个稳压过程，被控量是输出电压U2，给定值是Uw，扰动量是U1。当然，当系统输出接负载后，负载的变化，将对输出电压产生直接的影响，是主扰动。例1-4 角位置随动系统原理图如图17所示。系统的任务是控制工作机械角位置Qc，随时跟踪手柄转角Qr。试分析其工作原理，并画出系统方框图。图17 角位置随动系统原理图解：1、工作原理：闭环控制。只要工作机械转角c与手柄转角r一致，两环形电位器组成的桥式电路处于平衡状态，无电压输
8、出。此时表示跟踪无偏差。电动机不动，系统静止。如果手柄转角r变化了，则电桥输出偏差电压，经放大器驱动电动机转动。通过减速器拖动工作机械向r要求的方向偏转。当c=r时，系统达到新的平衡状态，电动机停转,从而实现角位置跟踪目的。2、系统的被控对象是工作机械，被控量是工作机械的角位移。给定量是手柄的角位移。控制装置的各部分功能元件分别是：手柄完成给定，电桥完成检测与比较，电动机和减速器完成执行功能。系统方框图见图18。图1-8 位置随动系统方框图。第二章自控系统的数学模型本章讲述的内容很多,牵扯到数学和物理系统的一些理论知识,有些需要进一步回顾,有些需要加深理解，特别是对时间域和复频率域的多种数学描
9、述方法，各种模型之间的对应转换关系，都比较复杂。学习和复习好这些基础理论，对下一步深入讨论自控理论具体方法至关重要。1、基本要求（1）确理解数字模型的特点，对系统的相似性、简化性、动态模型、静态模型、输入变量、输出变量、中间变量等概念，要准确掌握。（2）了解动态微分方程建立的一般方法及小偏差线性化的方法。（3）掌握运用拉氏变换解微分方程的方法，并对解的结构，运动模态与特征根的关系，零输入响应，零状态响应等概念，有清楚的理解。（4）会用MATLAB方法进行部分方式展开。对低阶的微分方程，能用部分分式展开法或留数法公式进行简单计算。（5）正确理传递函数的定义、性质和意义，特别对传递函数微观结构的分
10、析要准确掌握。（6）正确理解由传递函数派生出来的系统的开环传递函数，闭环传递函数，前向传递函数的定义，并对重要传递函数如：控制输入下闭环传递函数，扰动输入下闭环传递数函数，误差传递函数，典型环节传递函数，能够熟练掌握。（7）掌握系统结构图和信号流图两种数学图形的定义和组成方法，熟练地掌握等效变换代数法则，简化图形结构，并能用梅逊公式求系统传递函数。（8）正确理解两种数学模型之间的对应关系，两种数学图型之间对应关系，以及模型和图形之间的对应关系，利用以上知识，熟练地将它们进行相互转换。2、内容提要及小结本章主要介绍数学模型的建立方法，作为线性系统数学模型的形式，介绍了两种解析式和两种图解法，对于
11、每一种型式的基本概念，基本建立方法及运算，用以下提要方式表示出来。（1）微分方程式 (2)传递函数 （3）结构图 注意几点：1、相加点与分支点相邻，一般不能随便交换。2、3、直接应用梅逊公式时，负反馈符号要记入反馈通路中的方框中去。另外对于互不接触回路的区分，特别要注意相加点与分支点相邻处的情况。4、结构图可同时表示多个输入与输出的关系，这比其它几种解析式模型方便的多，并可由图直接写出任意个输入下总响应。如：运用叠加原理，当给定输入和扰动输入同时作用时，则有C(s)Gr(s)R(s)Gd(s)D(s) （4）信号流图 重要公式梅逊公式 梅逊公式注意两点：1、搞清公式中各部分含义； 2、公式只能
12、用于等输入节点与较出节点之间的传播，不能等不含输入节点情况下，任意两混合节点之间的传较。 四种模型之间的转换关系可用图281表示 微分方程传递函数结构图信号流图 图281 模型转换图2-1 机械位移系统 解题示范例2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。解：(1) 设输入为yr，输出为y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。(2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足，则对于A点有 其中，Ff为阻尼摩擦力，FK1，FK2为弹性恢复力。(3) 写中间变量关系式 (4) 消中间变量得 (5) 化标准形 其中:为时间常数，单位秒。 为传递
13、函数，无量纲。例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。(1) 写出运动方程式(2) 求取线性化方程解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角q ，摆球质量为m。（2）由牛顿定律写原始方程。图2-2 单摆运动 其中，l为摆长，lq 为运动弧长，h为空气阻力。（3）写中间变量关系式 式中，为空气阻力系数为运动线速度。（4）消中间变量得运动方程式 （2-1)此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化由前可知，在q 0的附近，非线性函数sinq q ，故代入式（2-1）可得线性化方程为 例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。图2-3 机械旋转系统 解：（1）设输入量作用力矩Mf，
14、输出为旋转角速度w 。（2）列写运动方程式 式中， fw为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为 此为一阶线性微分方程，若输出变量改为q，则由于 代入方程得二阶线性微分方程式 例2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。图2-4 倒立摆系统 倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。解：(1) 设输入为作用力u，输出为摆角q 。(2) 写原始方程式，设摆杆重心A的坐标为（XA，yA）于是 X
15、AXlsinq Xy = lcosq画出系统隔离体受力图如图25所示。图2-5 隔离体受力图 摆杆围绕重心A点转动方程为： （22）式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。摆杆重心A沿X轴方向运动方程为：即 （23）摆杆重心A沿y轴方向运动方程为： 即 小车沿x轴方向运动方程为： 方程（22），方程（23）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sinq 和cosq 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3) 当q 很小时，可对方程组线性化，由sinq q，同理可得到cos1则方程式(22)式（23）可用线性化方程表示为： 用的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、X得 将微
16、分算子还原后得 此为二阶线性化偏量微分方程。例2-5 RC无源网络电路图如图26所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。图2-6 RC无源网络 解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即： 如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z(s)分别是R、1/C s或L s 。(1) 用复阻抗写电路方程式： (2) 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图26（a）。(3) 用结构图化简法求传递函数的过程见图26（c）、(d)、(e)。（a）（b）（c）（d）图2-6 RC无源网络结构图
17、(4) 用梅逊公式直接由图26(b) 写出传递函数Uc(s)/Ur(s) 。独立回路有三个：回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则 由上式可写出特征式为： 通向前路只有一条由于G1与所有回路L1，L2， L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为1=1代入梅逊公式得传递函数图2-8 PI调节器 例2-6 有源网络如图27所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图28所示PI调节器，写出传递函数。图2-7 有源网络 解：图2-7中Zi和 Zf表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，假设A点为虚地，即UA0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是：I1
18、 = I2则有： 故传递函数为 （24）对于由运算放大器构成的调节器，式（24）可看作计算传递函数的一般公式，对于图2-8所示PI调节器，有故例2-7 求下列微分方程的时域解x（t）。已知。 解：对方程两端取拉氏变换为： 代入初始条件得到 解出X（s）为： 反变换得时域解为： 图2-10 系统结构图的简化 图2-9 系统结构图 例2-8 已知系统结构图如图2-9所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。 解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图2-10（a）所示。（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图2-10（b）。（3）最后将两个方框串联相乘得图2
19、-10（c）。例2-9 已知系统结构图如图2-11所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。图2-11 系统结构图 解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2-12（a）的形式。（2）将小前馈并联支路相加，得图2-12（b）。图2-12 系统结构图 （3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2-12（c）。例2-10 已知机械系统如图2-13（a）所示，电气系统如图2-13（b）所示，试画出两系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。（b）电气系统（a）机械系统图2-13 系统结构图 解：（1）若图2-13（a）所示机械系统的运动方程，遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加
20、，平行移动，位移相同，串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为： 取拉氏变换，并整理成因果关系有： 画结构图如图214： 图2-14 机械系统结构图 求传递函数为： （2）写图2-13（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出：整理成因果关系： 图2-15 电气系统结构图 画结构图如图2-15所示：求传递函数为： 对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。
21、机一电系统之间相似量的对应关系见表2-1。 表2-1 相似量机械系统xix0yFF1F2K11/K2f1f2电气系统eie0ec2iii1/RRC1C2例2-11 RC网络如图2-16所示，其中u1为网络输入量，u2为网络输出量。（1）画出网络结构图；图2-16 RC网络 （2）求传递函数U2(s)/ U1(s)。解：（1） 用复阻抗写出原始方程组。输入回路 输出回路 中间回路 （3）整理成因果关系式。即可画出结构图如图2-17 所示。图2-17 网络结构图 （4） 用梅逊公式求出：例2-12 已知系统的信号流图如图2-18所示，试求传递函数C(s)/ R(s)。图2-18 信号流图 解： 单
22、独回路4个，即两个互不接触的回路有4组，即三个互不接触的回路有1组，即于是，得特征式为从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为 因此，传递函数为第三章自控系统的时域分析1 基本要求通过本章的学习，希望能够做到：（1）正确理解时域响应的性能指标（Mp、tr、td、tp、ess等）、稳定性、系统的型别和静态误差系数等概念。（2）牢固掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数。（3）牢固掌握二阶系统的各种数学模型和阶跃响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼时域性能指标和结构参数。（4）正确理解线性定常系统的稳定条件，熟练地应用劳斯判据判定系
23、统的稳定性。（5）正确理解和重视稳态误差的定义并能熟练掌握essr、essn的计算方法。明确终值定理的使用条件。（6）掌握改善系统动态性能及提高系统控制精度的措施。2 内容提要（1） 时域分析法是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时间响应，来分析控制系统的稳定性和控制系统的动态性能及稳态性能。工程上常用单位阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标评价系统的优劣。 许多自动控制系统，经过参数整定和调试，其动态特征往往近似于一阶或二阶系统。因此一、二阶系统的理论分析结果，常是高阶系统分析的基础。（2）时域分析法的基本方法是拉氏变换法：结构图 C (s) = F(s)R (s) c (t)
24、 = L-1C (s)（3） 时域分析（i）一阶系统的时域分析一阶系统的动态特性应用一阶微分方程描述。一阶系统只有一个结构参数，即其时间常数T。时间常数T反应了一阶系统的惯性大小或阻尼程度。一阶系统的性能由其时间常数T唯一决定。一阶系统的时间常数T，也可由实验曲线求出。（ii）二阶系统的时域分析二阶系统的性能分析，在自动控制理论中有着重要的地位。二阶系统含有两个结构参数，即阻尼比和无阻尼振荡频率n。阻尼比决定着二阶系统的响应模态。 = 0时，系统的响应为无阻尼响应； =1时，系统的响应称为临界阻尼响应； 1时，系统的响应是过阻尼的；0 1时，系统的响应为欠阻尼响应。欠阻尼工作状态下，合理选择阻
25、尼比的取值，可使系统具有令人满意的动态性能指标。其动态性能指标有Mp、tr、td、tp，ts，一方面可以从响应曲线上读取；二是它们与、n有相应的关系，只要已知、n，就能很容易求出动态性能指标。（4）稳定性分析控制系统是否稳定，是决定其能否正常工作的前提条件。任何不稳定的系统，在工程上都是毫无使用价值的。稳定，是指系统受到扰动偏离原来的平衡状态后，去掉扰动，系统仍能恢复到原工作状态的能力。应当特别注意，线性系统的这种稳定性只取决于系统内部的结构及参数，而与初始条件和外作用的大小及形式无关。线性系统稳定的充分必要条件是：系统的所有闭环特征根都具有负的实部，或闭环特征根都分布在左半s平面。判别系统的
26、稳定性，最直接的方法是求出系统的全部闭环特征根。但是求解高阶特征方程的根是非常困难的。工程上，一般均采用间接方法判别系统的稳定性。劳斯判据是最常用的一种间接判别系统稳定性的代数稳定判据。应用闭环特征方程各项的系数列写劳斯表，劳斯表各行第一列元的符号变化次数，即为系统闭环不稳定的根的个数。应用劳斯判据时，应注意两种特殊情况下，劳斯表的列写方法。劳斯判据也可用来确定系统稳定工作时，或系统的闭环极点分布在某一特殊范围时，系统结构参数的允许变化范围。系统闭环特征多项式各项同号且不缺项，是系统稳定的必要条件（注意不是充分条件）。（5）稳态误差稳态误差是系统很重要的性能指标，它标志着系统最终可能达到的控制
27、精度。稳态误差定义为稳定系统误差信号的终值。稳态误差既和系统的结构及参数有关，也取决于外作用的形式及大小。稳态误差可应用拉氏变换的终值定理计算，步骤如下：（1）判别系统的稳定性。只有对稳定的系统计算其稳态误差才有意义。（2）根据误差的定义求出系统误差的传递函数。（3）分别求出系统对给定和对扰动的误差函数。（4）用拉氏变换的终值定理计算系统的稳态误差。要注意，终值定理的使用条件为，误差的相函数在右半s平面及虚轴上（原点除外）解析。系统稳定是满足终值定理使用条件的前提。如果误差函数在右半s平面及虚轴上不解析，只能应用定义计算稳态误差。对三种典型函数（阶跃、斜波、抛物线）及其组合外作用，也可利用静态
28、误差系数和系统的型数计算稳态误差。采用具有对给定或对扰动补偿的复合控制方案，理论上可以完全消除系统对给定或（和）扰动的误差，实现输出对给定的准确复现。但工程上常根据输入信号的形式实现给定无稳态误差的近似补偿。解题示范例3-1 系统的结构图如图3-1所示。已知传递函数 。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间ts减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数Kh和K0的数值。解 首先求出系统的传递函数（s），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。 一阶系统的过渡过程时间ts与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为即 比较系数得 解之得 、 解毕。例3-10 某系统在输入信号r
29、(t)=(1+t)1(t)作用下，测得输出响应为： （t0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数。解 因为故系统传递函数为 解毕。例3-3 设控制系统如图3-2所示。试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。解 由图得闭环传递函数为系统是一阶的。动态性能指标为因此，b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。h(t)t0.1034图3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为bs然后由响应的、及相
30、应公式，即可换算出、。（s）由公式得换算求解得： 、 解毕。例3-13 设系统如图3-35所示。如果要求系统的超调量等于，峰值时间等于0.8s，试确定增益K1和速度反馈系数Kt 。同时，确定在此K1和Kt数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。1+Kts图3-35C(s)R(s)解 由图示得闭环特征方程为即 ，由已知条件 解得于是 解毕。C(s)图3-36 例3-14 控制系统结构图H(s)R(s)例3-14 设控制系统如图3-36所示。试设计反馈通道传递函数H(s)，使系统阻尼比提高到希望的1值，但保持增益K及自然频率n不变。解 由图得闭环传递函数 在题意要求下，应取 此时，闭环特征方程为
31、：令： ，解出，故反馈通道传递函数为： 解毕。例3-15 系统特征方程为试判断系统的稳定性。解 特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s一次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。例3-16 已知系统特征方程式为试用劳斯判据判断系统的稳定情况。解 劳斯表为 1 18 8 16 由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。例3-17 已知系统特征方程为试判断系统稳定性。解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时
32、可用一个很小的正数来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。劳斯行列式为 由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数来代替；第四行第一列系数为（2+2/，当趋于零时为正数；第五行第一列系数为（4452）/（2+2），当趋于零时为。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以系统是不稳定的。解毕。例3-18 已知系统特征方程为试求：（1）在右半平面的根的个数；（2）虚根。解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部
33、为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。劳斯行列表为 由于行中各项系数全为零，于是可利用行中的系数构成辅助多项式，即求辅助多项式对s的导数，得原劳斯行列表中s3行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变为 1 8 20 2 12 16 2 12 16 8 24 6 16 2.67 16新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令 得到 和 解毕。例3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为试求： （1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；（2）当参考输入为，和时系统的稳态误差。解
34、 根据误差系数公式，有位置误差系数为 速度误差系数为加速度误差系数为对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。参考输入为，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为参考输入为，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为参考输入为，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为 解毕。例3-20 单位反馈控制系统的开环传递函数为输入信号为r（t）=A+t，A为常量，=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。解 实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下
35、式计算：对于本例，系统的稳态误差为本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以系统的稳态误差为 解毕。例3-21 控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为r(t)=at (为任意常数)。证明：通过适当地调节Ki的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。Kis+1图3-37 例3-21控制系统的结构图C(s)R(s)解 系统的闭环传递函数为即 因此 当输入信号为r(t)=at时，系统的稳态误差为要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即ess=0，必须满足所以 解毕。例3-22 设单位负反馈系统开环传递函数为。如果要求系统的位置稳态误差ess=0，单位阶跃响应的
36、超调量Mp%=4.3%，试问Kp、Kg、T，各参数之间应保持什么关系？解 开环传递函数显然 解得:由于要求故应有 0.707。于是，各参数之间应有如下关系本例为I型系统，位置稳态误差ess=0的要求自然满足。解毕。例3-23 设复合控制系统如图3-38所示。其中 ， ， 试求 时，系统的稳态误差。sK3C(s)图3-38 复合控制系统R(s)K1解 闭环传递函数等效单位反馈开环传递函数表明系统为II型系统，且当时，稳态误差为 解毕。例3-24 已知单位反馈系统的开环传递函数 。 试选择参数及的值以满足下列指标：（1）当r(t)= t时，系统的稳态误差ess0.02；（2）当r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标Mp%30%，ts0.3s (=5%)解 开环增益应取K50 。现取K=60 。因故有，于是 取% ，计算得此时(S)满足指标要求。最后得所选参数为：K=60 T=0.02 (s) 解毕。例3-25 一复合控制系统如图3-39所示。图3-39 复合控制R(s)C(s)G2(s)G1(s)Gr(s)E(s)图中：K1、K2、T1、T2均为已知正值。当输入量r(t)= t2/2时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数 a和b 。解 系统闭环传递函数为故 误差为