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1、数学思想 问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。 “纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里，长久的活跃于日常业务中。” 日本数学教育家米山国藏数学思想和数学方法数学思想和数学方法 两者具有不同的属性和功能 数学思想是对数学知识、方法、规律的一般本质认识，具有概括性和普遍性的特点，多靠理解、感悟获得，是数学方法的灵魂。 数学方法是应被看成是数学地提出问题、研究问题和解决问题的过程中，所采用的各种手段和途径。 数学方法相对“灵活”，而数学思想相对“固定”。 数学思想和数学方法的联系 数学知识是数学思想的源头和体现，又是数学方法的基础和载体。 一般性数
2、学方法容易上升为一种思想。 如转化方法常看成是转化思想。转化如转化方法常看成是转化思想。转化思想是各种问题解决中所体现出的转化方法思想是各种问题解决中所体现出的转化方法的概括。的概括。 案例：计算中转化、面积计算中转化等。案例：计算中转化、面积计算中转化等。 因此在小学阶段常常不严格区分，常因此在小学阶段常常不严格区分，常常统称为数学思想方法。常统称为数学思想方法。 一、研读教材，挖掘数学思想方法研读教材，挖掘数学思想方法 二、组织探究，感悟数学思想方法二、组织探究，感悟数学思想方法 三、引导反思，提炼数学思想方法三、引导反思，提炼数学思想方法 四、练习创造，运用数学思想方法四、练习创造，运用
3、数学思想方法 基本思想解读（史宁中）基本思想解读（史宁中） 1.核心思想：归纳和演绎核心思想：归纳和演绎2.重要思想：抽象和模型重要思想：抽象和模型3.其他思想：数形结合、方程、函数等思想其他思想：数形结合、方程、函数等思想一、研读教材，挖掘数学思想方研读教材，挖掘数学思想方法法课程标准：推理思想 推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。 演绎推理推理 归纳推理 合情推理 类比推理归纳推理分类归纳推理分类 传统上,根据前提所考察对象范围的不同,把归纳分为完全归纳完全归纳和不完全归纳不完全归纳. 完全归纳完全归纳考察了某类事物的
4、全部对象,如三角形内角和的学习。 不完全归纳不完全归纳则仅仅考察了某类事物的部分对象.并进一步根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系。一般，小学生学习的大多数是不完全归纳一般，小学生学习的大多数是不完全归纳 不完全归纳推理不完全归纳推理 归纳受人们的经验与行为的影响。归纳受人们的经验与行为的影响。 经验也影响动物的行为。经验也影响动物的行为。 波利亚举例说明：在我家邻近有一条讨厌的狗，人们波利亚举例说明：在我家邻近有一条讨厌的狗，人们并没有去惹它，它就狂吠扑人。然而我能够相当容易并没有去惹它，它就狂吠扑人。然而我能够相当容易找到一种保护自己的方法，如果我假装弯腰去拾一块找到一种保护自己的方法
5、，如果我假装弯腰去拾一块石头，狗就会吠着跑开。石头，狗就会吠着跑开。 我们能否得出所有的狗都有这样的行为呢？是什么我们能否得出所有的狗都有这样的行为呢？是什么经验给了狗这样的行为？经验给了狗这样的行为？ 简单枚举归纳推理是经常采用的简单枚举归纳推理是经常采用的 一个小故事 天文学家、物理学家和数学家坐着火车在苏格兰天文学家、物理学家和数学家坐着火车在苏格兰的大地上奔驰。他们向外眺望，看到田野里有一的大地上奔驰。他们向外眺望，看到田野里有一只黑色的羊。天文学家说：只黑色的羊。天文学家说：“多么有趣，所有的多么有趣，所有的苏格兰羊都是黑色的。苏格兰羊都是黑色的。”物理学家反驳道物理学家反驳道：“不
6、不!某些苏格兰羊是黑色的。某些苏格兰羊是黑色的。”数学家慢条斯理地说数学家慢条斯理地说：“在苏格兰，至少存在着一块田地，至少有一只在苏格兰，至少存在着一块田地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的。羊，这只羊至少有一侧是黑色的。” 演绎演绎 ：亚里士多德的三段论。他的基本思想有两个，第一个说话要有出发点，有公认的前题，后来演变到公理化体系。第二个，它的推理逻辑是有大前提、小前提。 大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论。又称从规律到现象的推理。是从普通回到特殊再回到个别。 演绎推理正确的条件：若大小前提正
7、确，则结论正确；若大前提或小前提错误，则结论错误。 演绎推理（三段论）演绎推理（三段论）演绎推理演绎推理 多边形： 多边形内角和的推导 面 积 ： 正方形面积公式的推导 平行四边形面积公式的推导 三角形面积公式的推导 梯形面积公式的推导 圆面积公式的推导 体 积: 正方体体积公式的推导 圆柱体体积公式的推导 圆锥体体积公式的推导推理思想教材梳理不完全归纳演绎推理演绎推理 平行四边形面积计算公式的推导运用了转化的思想方法，同时也是演绎思想方法的应用过程。 即：因为 长方形的面积 = 长宽 所以平行四边形的面积= 底高推理思想教材梳理 不完全归纳 找规律： 找数列和图形的规律 整数计算： 四则计算
8、法则的总结 运算定律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 除 法：商不变的规律 分 数 ：分数的基本性质 面 积 ：长方形面积公式的推导 体 积 ：长方体体积公式的推导 圆锥体积公式的推导完全归纳：完全归纳： 直角三角形内角和是180度; 锐角三角形内角和是180度; 钝角三角形内角和是180度; 直角三角形,锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形; 所以,一切三角形内角和都是180度。 这个例子从直角三角形,锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180度这些个别性知
9、识,归纳出了了“一切三角形内角和都是180度”这样的一般性结论,就属于完全归纳法。推理思想教材梳理思想方法思想方法知识点知识点应用举例应用举例类比推理整数读写法整数读写法亿以内及亿以上的数的读写，与万以内数的读写相类比亿以内及亿以上的数的读写，与万以内数的读写相类比整数的运算整数的运算四则计算的法则：多位数加减法与两位数加减法相类比，四则计算的法则：多位数加减法与两位数加减法相类比，多位数乘多位数与多位数乘一位数相类比，除数是多位数乘多位数与多位数乘一位数相类比，除数是多位数的除法与除数是一位数的除法相类比多位数的除法与除数是一位数的除法相类比小数的运算小数的运算整数的运算法则、顺序和定律推广
10、到小数整数的运算法则、顺序和定律推广到小数分数的运算分数的运算整数的运算顺序和运算定律推广到分数整数的运算顺序和运算定律推广到分数除法、分数除法、分数和比和比除法商不变的规律、分数的基本性质和比的基本性质进除法商不变的规律、分数的基本性质和比的基本性质进行类比行类比面积面积与平行四边形面积公式的推导方法相类比，三角形、梯与平行四边形面积公式的推导方法相类比，三角形、梯形面积公式的推导，也用转化的方法，把它们转化形面积公式的推导，也用转化的方法，把它们转化成平行四边形推导面积公式。成平行四边形推导面积公式。长度长度面积面积体积体积线、面、体之间的类比：线段有长短，用长度单位来计线、面、体之间的类
11、比：线段有长短，用长度单位来计量；平面图形有大小，用面积单位来计量；立体图量；平面图形有大小，用面积单位来计量；立体图形占的空间有大小，用体积单位来计量形占的空间有大小，用体积单位来计量问题解决问题解决数量关系相近的实际问题的类比，如分数实际问题与百数量关系相近的实际问题的类比，如分数实际问题与百分数实际问题的类比分数实际问题的类比鸡兔同笼鸡兔同笼不同素材的鸡兔同笼问题的类比不同素材的鸡兔同笼问题的类比抽屉原理抽屉原理不同素材的抽屉原理问题的类比不同素材的抽屉原理问题的类比一、研读教材，挖掘数学研读教材，挖掘数学思想方法。思想方法。 转化思想 转化思想即化归思想 化归不仅是一种重要的解题思想，
12、也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。 转化思想 总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的原则是： 生疏化成熟悉， 复杂化成简单， 抽象化成直观， 含糊化成明朗。 化归的实质：以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。六下六下626563+=2131+=542356=3
13、254=5321-=105101-=1066.40.32= 64032=20案例：案例：房小科、李金俊房小科、李金俊解决问题的策略解决问题的策略转化转化新知新知 旧知旧知案例：李金俊解决问题的策略转化板书：不规则板书：不规则 规则规则 =214181161214181161板书：数板书：数 图形图形 复杂复杂 简单简单河滨小学阳光体育“2+1”活动要举行乒乓球单打比赛，共有128人报名参加，如果比赛采用单场淘汰制（即每比赛一场淘汰一个人），一共要进行多少场比赛才能决出冠军？（房小科）参加比赛的人数得出冠军需要的场数需要淘汰的人数152143871615137解决问题的策略转化新新 知知 旧知旧
14、知不规则不规则 规则规则 数数 图形图形 复复 杂杂 简单简单用转化的思想方法解决问用转化的思想方法解决问题的过程就是学生建立数题的过程就是学生建立数学模型的过程。学模型的过程。分析：图3大多数学生都认为是9/16,为什么？学生一般认为只要旋转涂色部分，就可以得到边长是3的正方形，面积是9。转化的本质是什么？抓住不变量本题合适的转化策略：分割法 去空法全班56人，20人有错误原因分析：方法繁琐致错误 【题目】算一算涂色部分图形的周长。（每个小正方形的边长是1厘米）巧妙转化优算法第一题 56人，55人正确第二题 56人 53人正确题目：量一量，再算出图形的周长。 研读教材，感悟转化思想金坛市华罗
15、庚实验学校 王子华低年级教材中转化思想的梳理转化思想： 化复杂为简单 案例：把186拆分成两个自然数的和，怎样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积最大？187呢？ 分析：如果直接解答学生有困难，怎么办？ 从简单的想起：例如数10和1110： 19=9 28=16 37=21 46=24 55=25 规律： 两数的和一定，两数的差越小，积越大。11: 56=30得出结论的方法:不完全归纳法如果长方形和正方形的周长相等，哪个图形的面积大？分析：抽象问题具体化 长方形和正方形的周长都是20厘米 长宽=10厘米 长=宽=5厘米 时面积最大注意：三年级学生，所说的长方形是指长宽不等的情况。转化思想 ： 化
16、抽象为直观研读教材 感悟归纳与演绎思想 金坛市华城实验小学 沈婧 三下 归纳与演绎思想渗透教材梳理思考：思考：平均数为什么放在统计中教学？平均数是常用的统计量，不只教学平均数的算法，更要理解平均数的意义。用平均数比较，描述、分析一组数据的状况和特征。用数形结合的思想呈现，用移多补少的方法求出平均数，更有利于学生理解平均数的含义。二、组织探究，感悟数学二、组织探究，感悟数学思想方法。思想方法。 以渗透分类思想为例 在探究中，感悟分类思想 分类是根据教学对象的本质属性的异同将其划分为不同的种类，即根据教学对象的共同性和差异性，把具有相同属性的归为一类，把具有不同属性的归为另一类。分类是学生自主发现
17、的重要手段。 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。 渗透分类思想1.在探究中激发创新意识渗透分类思想 教材先让学生观察出示的三角形，这一过程是帮助学生建立分类的“序”，然后明确提出“三角形的分类”这一学习任务，再引导学生积极思考：三角形的分类与角的分类有什么不同？能否参照角的分类去进行三角形的分类？学生讨论、归纳与总结渗透分类思想 教师引导学生对分类方法的合理性作出具体分析和总结概括：是否可能出现交叉重复的情况？是否有遗漏？渗透分类思想 教材为学生提供了观察、操作、思考和讨论的空间，由“角的分类”过渡到“三角形的分类”，并且引导学生认识到通过辨
18、析三角形中最大的一个角，可以实现对三角形的正确分类。这一内容的学习和探究使学生在分类的科学性方面受到很好的训练，同时激发了学生的创新意识。渗透分类思想2.培养学生全面思考的习惯。案例一：五年级上册解决问题的策略渗透分类思想引导学生分类思考：先列举只订阅1本杂志的方法：3种再列举订阅2本杂志的方法： 3种最后列举订阅3本杂志的方法： 1种小华投中两次的情况首先要分类，而且关注所得的和要不相同。两次投中的环数相同：10+10=20 8+8=16 6+6=12 两次投中的环数不相同：10+8=18 10+6=16 8+6=14可能得到20、18、16、14、12环。分类思想 案例二：四年级上册找规律
19、两端都放花： 243+1=9（盆）一端放花 ： 243=8（盆）两端都不放花： 2431=7（盆）渗透分类思想2.培养学生全面思考的习惯。案例二：六年级上册分数乘法单元中在探究时：把钢管的长度分为 大于1米 等于1米 小于1米渗透分类思想3.培养学生灵活运算能力 四下“运算律”一课后，教材安排了如下练习： 10226 548+203 43152 9862 4825 4339 2837+37x22 1468-468 48101-48 9962+62 引导学生对算式进行分类，比较结合律和分配律。 这样的分类，不仅能培养学生形成认知、仔细的学校习惯，而且可以加深了知识间的联系和比较，培养学生灵活运算
20、的能力。4.发展学生数据分析观念 二下渗透分类思想 发展学生数据分析观念 教学时，教师通过不同的实际需要引出分类统计的必要性和实用性，让学生明确对于同样的数据可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。 渗透分类思想 案例二 “分数能否化成有限小数的规律”，教学过程如下：1.组织探究。 出示“把3/10，67/100，49/1000化成小数”，让学生归纳出分母 10，100，1000的分数化成小数的法则。潜移默化地渗透“归纳”和“演绎”的思想。 再出示“把3/4，7/25，9/40，2/9，5/14化成小数（除不尽的保留三位小数）”，引导学生研究以下问题： 分数化小数时，有哪几种情
21、况？（渗透“分类思想”） 一个分数能不能化为有限小数取决于它的哪一部分？怎样取决于分母呢？（渗透合情推理） 2.提出猜想。 通过以上引导讨论，学生提出如下猜想：一个分数如果分母中含有2和5，不含其他的质因数，那么这个分数就能化成有限小数。” 3.检验猜想并修改猜想。 一个最简分数，如果分母中除了2和5，不含其他的质因数，它就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，它就不能化成有限小数。 4.论证猜想。 以上的教学过程是以归纳推理为主要的形式得出猜想，具有或然性（如开始的“提出猜想”）。为此，教师向学生提出：“为什么分母只含有质因数2或5的最简分数能化成有限小数？而分母含有2和5以外的
22、质因数的最简分数，就不能化为有限小数？” 上述教学过程中，教师有意识地挖掘渗透在知识体系中的数学思想方法，运用数学思想方法展开知识的形成过程，帮助学生科学地思考问题，探索规律，发现解决问题的途径。这样处理教材，有利于学生更好地理解与掌握相关 数学内容，有助于学生形成良好的认知结构。以渗透函数思想为例 函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生变化。金坛市华罗庚实验学校 居云慧 三下函数思想渗透教材梳理渗透函数思想函数思想加法一个加数不变，和随着另一个加数的变化而变化，可表示为yb的形式，渗透一次函数的思想积的变化规律一个因数不变，积随着另一个因数的
23、变化而变化，可表示为yk，渗透正比例函数思想商的变化规律除数不变，商随着被除数的变化而变化，可表示为yk=x，渗透正比例函数思想；被除数不变，商随着除数的变化而变化，可表示为，kx=y渗透反比例函数思想正比例关系正比例关系改写成yk，就是正比例函数反比例关系反比例关系写成yx=k ，就是反比例函数 数列等差数列、等比数列、一般数列的每一项与序号之间的对应关系，都可以看作是特殊的函数关系。空间与图形长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式，长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积公式，圆的周长和面积公式等都渗透了函数的思想统计图表函数的列表法与统计表有相似之处渗透函数思想案例：圆的周长教学片断
24、圆的周长教学中数学思想方法的渗透。教学过程如下：1.复习： (1)什么是圆？圆的直径和半径的长度有什么关系？ （2）什么是正方形的周长？怎样计算正方形的周长？2.类比：围成圆的曲线的长叫作圆的周长。3.演绎：由正方形的周长意义，得出：正方形的边长越大，周长越长； 正方形的周长总是边长的4倍。4.类比猜想：圆的直径越大，圆的周长越长； 圆的周长是圆的直径的多少倍？5.实验：各人量出自己所带的物品上圆的周长和直径，记录圆的周长和直径，计算圆的周长是直径的多少倍。6.归纳：圆的周长总是直径的3倍多一些。这个倍数叫作圆周率。7.符号化：圆的周长公式C=d。三、引导反思，提炼数学三、引导反思，提炼数学思
25、想方法。思想方法。 解决同一个问题可以运用不同的数学思想方法。 二年级上册P6列表举例法： 芳芳一个一个给小军： 芳芳 12 11 10 小军 8 9 10 用算式表示： 4=2+2 或8+12=20 20=10+10 12-2=10 12-10=2图示法 引导反思，我们是怎样解决这个问题的？三、引导反思，提炼数学三、引导反思，提炼数学思想方法。思想方法。 解决同一个问题可以运用不同的数学思想方法。案例二：小明有36张画片，小红有28张画片，小明给小红几张画片，两人画片就同样多？学生可能的方法：一根一根地给，写在表格中用图来表示用算式写写看 学生解决问题的方法反馈方法一：列表学生1：一根一根地
26、给 学生2:2根2根地给给的次数小明（36根）小红（28根）第1次3529第2次3430第3次3331第4次3232给的次数小明（36根）小红（28根）第1次3430第2次3232小明小红方法2：数形结合的思想方法8张4张给小红小明小红小明小红方法2：数形结合的思想方法8张4张4张方法3：简单数学模型法学生1：36-28=8（张）小明比小红多8张8=44 小明给小红4张学生2：36+28=64（张）小明和小红一共有64张64=32+32 小明和小红有32张就同样多36-32=4（张） 小明给小红4张学习的难点知识基础： 学生学习了比较两个数的大小 相差关系， 一个数比另一个数多或少 相等关系，
27、两个数相同需要的知识：学生还没有学习平均分的知识（二上在第四单元才安排平均分的概念）更多地依赖经验解决，用直观操作或图示的方法张奠宙：张奠宙：数学模型一般地说，是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的数学结构。 数学概念、数学公式、运算律、典型应用题解法都是模型。 数学模型的构建是离不开数学符号的。符号是模型的外显形式。郑毓信：郑毓信：数学是模式的科学。 模型思想课程标准：数学是研究数量关系和空间形式的科学。渗透模型思想 义务教育数学课程标准（2011年版）指出： “模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界练习的基本途径。建立和求解
28、模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”渗透模型思想三上：分数的初步认识执教者：金坛市华罗庚实验学校 王子华 认识了1/2后，教师要求学生表示出1/4 生：一张长方形纸的、一张正方形纸的、一个圆形纸的 一条线段的、 一个正三角形的 师：为什么同样是1/4,会有这么多形状、大小不一样的表 示方法呢？ 1/4还可以表示生活中的哪些情况？ 学生经历了“现实情境”到“相同结构”的建模，并解释模型的过程，体验一个物体的分数
29、概念模型。 渗透模型思想三下：分数的初步认识执教者：金坛市河滨小学 孙菊情境： 把食物平均分给4个猴子，每个猴子分到总数的几分之几？复习： 一个面包的1/4 研究：4个桃子的1/4 8个草莓的1/4 12个草莓的1/4 一框草莓的1/4 师：分的数量和东西不一样，为什么都能用1/4来表示呢？ 1/4还可以表示什么？ 学生同样经历了“现实情境”到“相同结构”的建模、解释模型的过程。体验许多物体组成的整体的分数概念模型。渗透模型思想 学生学习数学模型有两种情况： 第一种是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的新知识，这个学习过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的理解过程； 第二种是利
30、用基本模型去解决各种问题，即利用学习的基本知识解决教材中丰富多彩的习题以及各种课外问题。渗透模型思想 数学建模是一个比较复杂和富有挑战性的过程，这个过程大致有以下几个步骤：o 理解问题的实际背景，明确要解决什么问题，属于什么模型系统。o 把复杂的情境经过分析和简化，确定必要的数据。o 建立模型，可以是数量关系式，也可以是图表形式。(1) 解答问题。 模型思想模型思想案例一：六上案例一：六上解决问题的策略解决问题的策略假设假设实际教学中的情况 数形结合的思想方法画图法一： 假设10只船全是小船,只能坐30人，少坐了12人，怎么办？实际教学中可能的情况 数形结合的思想方法画图法二： 假设10只船全
31、是大船列表法一：假设全是大船，根据人数调整大船只数小船只数总人数和42人比较100510=50多8人91593=48多6人825832=46多4人 学生在列表过程中一定会观察，学生在列表过程中一定会观察，“每减少一只大船就要增每减少一只大船就要增加一只小船，总人数就要减少加一只小船，总人数就要减少5-3=2。” 如果继续尝试如果继续尝试下去会有怎样的情况发生？学生带着观察结果，继续探下去会有怎样的情况发生？学生带着观察结果，继续探究究列表法一：假设全是大船，根据人数调整大船只数小船只数总人数和42人比较100510=50多8人91593=48多6人825832=46多4人735733=44多2
32、人645634=42正好列表法二：假设全是小船，根据人数调整。大船只数小船只数 总人数和42人比较010310=30少12人19395=32少10人283852=34少8人373753=36少6人463654=38少4人553555=40少2人643456=42正好优化列表策略：大船小船各一半大船只数 小船只数 总人数和42人比较553555=40 少2人643456=42 正好算式解法： 假设全是大船： 小船：（51042）（53）=4（只） 大船： 104=6（只） 假设全是小船： 大船：（42103）（53）=6（只） 小船： 106=4（只）模型思想解法： 画图法 列表法 列算式共同点
33、：假设法模型思想模型思想反思解法： 画图法 列表法 算式解答 渗透模型思想鸡兔同笼（假设问题）例1 鸡兔同笼：笼中有头35，有足94，问鸡、兔各有几只？ 特殊的转化法：特殊的转化法： 每只鸡有每只鸡有2 2只脚，每只兔有只脚，每只兔有4 4只脚。现在对问题中只脚。现在对问题中的已知成分进行变形：的已知成分进行变形：“一声令下一声令下”，要求每只鸡，要求每只鸡悬起一只脚（呈金鸡独立状），又要求每只兔悬起悬起一只脚（呈金鸡独立状），又要求每只兔悬起两只前脚（呈玉兔拜月状）。那么，笼中仍有头两只前脚（呈玉兔拜月状）。那么，笼中仍有头3535，而脚只剩下而脚只剩下4747只了，并且，这时鸡的头数与足数
34、相只了，并且，这时鸡的头数与足数相等，而兔的足数与兔的头数不等等，而兔的足数与兔的头数不等; ;有一头兔，就多出有一头兔，就多出一只脚，现在有头一只脚，现在有头3535，有足，有足4747，这就说明有兔，这就说明有兔1212只，只，有鸡有鸡2323只。只。渗透模型思想 第一，学习的过程可以经历类似于数学家建模的再创造过程。 例如利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，探索长方体中含有小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系，进而归纳出长方体的体积公式，建立模型Vabc，这是一个模型化的过程，也是一个再创造的过程。渗透模型思想第二，对于大多数人来说，在现实生活和工作中利用数学解决各种问题，基本
35、上都是根据对现实情境的分析，利用已有的数学知识构建模型。 例如物体运动的路程、时间和速度的关系为s=vt，利用这个基本模型可以解决各种有关匀速运动的简单的实际问题。 案例1：小明的家距离学校600米，每天上学从家步行10分钟到学校。今天早晨出门2分钟后发现忘记带学具了，立即回家去取。他如果想按原来的时间赶到学校，他从回家再到学校，步行的速度应是多少？（取东西的时间忽略不计）渗透模型思想解答过程如下：(1) 本题是日常生活中常见的行程问题，问题是要求小明步行的速度，是关于时间、速度和路程的问题。 (2) 这里需要明确所求的速度相对应的路程和时间是什么，因为取东西等时间忽略不计，因此剩余的时间就可
36、以确定为步行的时间；路程是从家出来2分钟后开始算，再回家的路程加上从家到学校的路程的和；时间是10分钟减去2分钟，只有8分钟的时间了。 (3) 根据基本的关系式s=vt， 可先求出s600+（60010）2720(米), t1028(分钟)。列式为：v=7208。 (4) v90，即小明步行的速度为90米分钟。渗透模型思想渗透极限思想 极限思想是微积分的基本思想，用以描述某个无限变化过程的终极状态，极限也是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，是事物转化的重要环节。因此，我们在日常数学教学中要积极挖掘体现极限思想的知识点，将极限思想很好地渗透于教学之中。根
37、据教学内容的差异，可以选择不同的渗透策略。渗透极限思想首先建立无穷思想123n 149m 伽利略：自然数和自然数的平方数的个数同样多？康托尔：自然数集合中的数和自然数的平方数集合中的数可以一一对应。（“一样多”）渗透极限思想根据一一对应原则，得出结论（1）所有偶数和所有自然数一样多（2）所有偶数和所有奇数一样多 （3）所有奇数和所有自然数一样多有穷集合：整体不会和部分一样多。有穷集合：整体不会和部分一样多。无穷集合：整体可以和自己的部分一样多。无穷集合：整体可以和自己的部分一样多。 小故事希尔伯特的“无穷旅店” 张景中院士张景中院士 数学与哲学数学与哲学=214181161214181161板
38、书：数板书：数 图形图形 =2141811611渗透极限思想 无限小数 圆面积公式的推导 渗透极限思想 无限概念的建立 想说爱你不容易我的无限教学之旅数形结合思想数形结合思想 “数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答。数形结合思想 案例一： 三人执教解决问题的策略画图金坛市河滨小学丁佳丽金坛市河头小学周群金坛市华城小学沈婧丁佳丽导入：任意选择一题解答，比一比谁最快？1.长方形菜地的长是8米， 2. 宽是7米，这块菜地的 面积是多少平方米？3.长方形菜地的面积是56 4.
39、平方米，长是8米，这块 菜地的宽是多少平方米？8米7米 8米?平方米56平方米？米 同学们，欢迎你们来到梅山小学。走进学校大门，大道的左边是花圃，花圃宽6米，占地面积大约是48平方米。花圃的左边是圆形的蘑菇亭，课间十分钟，同学们特别喜欢到这儿来玩。大道的右边是综艺楼。综艺楼的右边是图书馆，图书馆里陈列着许多精美的图书。沿着大道走大约10米就来到教学楼，梅山小学一共有24个班级。教学楼的后面是升旗台，每个星期一的早晨，同学们都会排着整齐的队伍来到操场举行升旗仪式。梅山小学的操场长大约80米，宽大约20米。升旗台的右边是食堂，食堂地面的长是30米，占地面积大约600平方米。听了我的介绍，你对梅山小
40、学有了一定的了解吧。操场操场教学楼教学楼图图书书馆馆食堂占地食堂占地600600平方米平方米花圃面积花圃面积是是4848平方米平方米蘑菇亭蘑菇亭升升旗旗台台综艺楼综艺楼8080米米2020米米3030米米6 6米米梅梅山山小小学学平平面面图图大门大门北北反思：体验数形结合思想的好处 刚才解决问题时，有的同学速度特别快？你有什么好办法？ 梅山小学有一块长方形花圃，长梅山小学有一块长方形花圃，长8 8米。在修建校园时，花圃的长米。在修建校园时，花圃的长增加了增加了3 3米，这样花圃的面积就增加了米，这样花圃的面积就增加了1818平方米。原来花圃的面积是平方米。原来花圃的面积是多少平方米？多少平方米
41、？增加的增加的面积是面积是18平平方米方米原来花圃的面积是？平方米原来花圃的面积是？平方米8米米3米米师：同学们，刚才解答这道题时，我们先根据条件和问题画出了图，你现在更喜欢看文字来思考还是看着图思考？ 梅山小学的东面是图书馆。如果图书馆的长增加梅山小学的东面是图书馆。如果图书馆的长增加6 6米，或者米，或者宽增加宽增加4 4米，面积都比原来增加米，面积都比原来增加4848平方米。你知道原来图书馆的面平方米。你知道原来图书馆的面积是多少平方米？积是多少平方米？如果图书馆的长增加如果图书馆的长增加6 6米，面积比原来增加米，面积比原来增加4848平方米。平方米。如果图书馆的宽增加如果图书馆的宽增
42、加4 4米，面积也比原来增加米，面积也比原来增加4848平方米。平方米。 梅山小学的东面是图书馆。梅山小学的东面是图书馆。如果图书馆的长增加如果图书馆的长增加6 6米，或者米，或者宽增加宽增加4 4米，面积都比原来增加米，面积都比原来增加4848平方米。平方米。你知道原来图书馆的面你知道原来图书馆的面积是多少平方米？积是多少平方米？6米米面积面积增加增加48平平方米方米4米米面积增加面积增加48平方米平方米原来图书馆的面原来图书馆的面积是？平方米积是？平方米原来图书馆的面原来图书馆的面积是？平方米积是？平方米 刚才解决问题时，开始感觉题目很难几乎无从下手，我们想到了什么办法，让我们顺利找到了解
43、决问题的办法？反思：体验数形结合思想的好处 梅山小学的图书馆长梅山小学的图书馆长1212米，宽米，宽8 8米，扩建校园时，图书馆的长米，扩建校园时，图书馆的长增加增加6 6米，宽增加米，宽增加4 4米，图书馆的面积增加了多少平方米米，图书馆的面积增加了多少平方米? ?面积增加了？平方米面积增加了？平方米12米米8米米6米米4米米画图前教师引导：想一想，扩建后的图书馆是什么形状？画图前教师引导：想一想，扩建后的图书馆是什么形状？ 生生1：应该是长方形。：应该是长方形。 生生2：是长方形：是长方形 生生3: 一定是长方形一定是长方形数形结合思想 案例二：房小科执教解决问题的策略画图（第2课时）数形
44、结合思想 案例三：袁爱华 执教五上探索与实践探索与实践探索与实践数形结合思想 师：能告诉老师你的身高是多少吗？ 1.44cm、1.35cm、1.41cm、1.42cm、1.56cm 师：能根据这几个同学身高的数据提一个数学问题吗？ 师：我们暂时不计算，都来估计一下，这几个人身高的平均数会在哪两个数之间？ 师：算出平均数，还可以怎样求?143251432514325143251432514325渗透数形结合思想1.在数的概念形成中渗透数形结合思想 认识整数、小数、分数时2.在解决实际问题中渗透数形结合思想四、练习创造，运用数学思想四、练习创造，运用数学思想方法。方法。案例一：“分数的初步认识”教
45、师：表示出长方形纸的1/2吗？学生折纸表示教师展示学生作品。 师：老师还有表示1/2的方法，你想知道吗？ 引导观察：刚才用不同的方法把这张纸平均分成了2份，每份都可以用1/2来表示，为什么折法不同，折出的形状也不同，却都可以用1/2来表示？四、练习创造，运用数学思想四、练习创造，运用数学思想方法。方法。 动手实践渗透数形结合思想 拓展延伸渗透极限思想 观察比较感悟辩证思想四、练习创造，运用数学思想四、练习创造，运用数学思想方法。方法。案例二：三角形内角和180四、练习创造，运用数学思想四、练习创造，运用数学思想方法。方法。案例二：三角形内角和180 第一层次：第一层次：按书上的要求组织学生作出
46、判断并说明理由。 第二层次：第二层次：探究不同三角形中两个锐角和的大小规律。四、练习创造，运用数学思想四、练习创造，运用数学思想方法。方法。师：我们已经知道不同的三角形中总有两个角是锐角，你能把两个锐角的度数和与90比一比吗？ 钝角三角形中的两个锐角和（ ）90 直角三角形中的两个锐角和（ ）90 锐角三角形中的任意两个锐角和（ ）90学生通过思考和讨论分别填写了小于、等于和大于。四、练习创造，运用数学四、练习创造，运用数学思想方法。思想方法。 第三层次：第三层次：根据三角形中的两个锐角和的大小规律判断。 师：你能根据每个三角形中已知的两个锐角度数，判断下列每个三角形各是什么三角形吗？ 多媒体
47、出示：41 3863 2765 55四、练习创造，运用数学四、练习创造，运用数学思想方法。思想方法。第四层次：第四层次：巧算直角三角形中未知锐角的大小。师：你知道哪一种三角形中的两个锐角和的度数是确定的吗？生：直角三角形中两个锐角的和是90。师：我们知道了在直角三角形中的两个锐角度数和是90，你能根据这个规律求直角三角形中一个锐角的度数吗？在直角三角形中，1和2是锐角。1=35 2=（ ）1=60 2=（ ）四、练习创造，运用数学四、练习创造，运用数学思想方法。思想方法。四、练习创造，运用数学四、练习创造，运用数学思想方法。思想方法。第五层次：第五层次：自主设计不同的三角形。 1123直角三角
48、形50钝角三角形50锐角三角形50四、练习创造，运用数学思想四、练习创造，运用数学思想方法。方法。 赏析：赏析：1.由看到的现象探究看不到的规律。由看到的现象探究看不到的规律。2.由不确定的变化感受确定的本质。由不确定的变化感受确定的本质。整体思想：整体思想：从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理 。四、练习创造，运用数学思想四、练习创造，运用数学思想方法。方法。案例：五下案例：五下圆的面积圆的面积p108p108整体思想，拓展思维 一题多变小正方形的
49、面积是8平方厘米 图中大正方形的面积是12平方厘米 求圆的面积整体思想下图中长方形的面积是12平方厘米，求圆的面积。上图中圆的面积是15.7平方厘米，求长方形的面积。 r=15.73.14=5 长方形的面积长方形的面积=52=10（cm）方程思想：方程思想：是运用方程的观点和方法解决问题的思想。 方程的本质是一种关系，描述的是现实世界中的等量关系。方程思想 列方程解决实际问题，需要降低学生思考的难度（顺向思考）的基础上，从复杂的问题情境中探寻未知量和已知量之间的相等关系，并将日常语言抽象成数学语言（数量关系式），进而转化成符号语言（方程）。 日常语言数学表达建立方程 （数学建模的过程）方程思想
50、 方程思想的孕育 一上：10以内的加减法P67、78 二上 表内乘法和表内除法（二）方程思想方程的价值：未知数量与已知数量一样参与到运算过程中，把算术解法中的逆向思考转化为方程解法中的正向思考。在学习列方程解应用题的过程中，要注意寻找等量关系的题组训练。题组训练如下 基本练习 商店运进苹果和梨子共200千克，其中苹果有150千克，运进梨子多少千克？ 苹果的千克数梨子的千克数=苹果和梨子一共的千克数 变式练习（可以引导学生思考条件的变化） 1.商店运进苹果和梨子共商店运进苹果和梨子共200千克，其中苹果的重量比梨子千克，其中苹果的重量比梨子的重量多的重量多100千克，运进的苹果和梨子各有多少千克