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1、第 1 页 共 3 页量子力学的矩阵形式(I) Hilbert空间3 维矢量空间基矢ne，n=1,2,3 基矢的正交归一iji je e完备性任意实矢量nnnAA e矩阵形式121233,AAAAAAAA分量nnAA e标积nnnA BA BA BHilbert 空间：3 维有限维，无限维，连续维常矢量复变函数矢量基矢n分离，1,2,3,n,q连续基矢的正交归一*nmmnd*,dqqqq完备性任意复变函数矢量,nnndqqq矩阵形式1212*,或者q分量*nnd*,qdq标积*nnnd1) 态和力学量的矩阵形式exeez名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
2、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 3 页a. 矢量空间的迭加原理：若,是矢量，其线性迭加仍是Hilbert 空间的矢量。态迭加原理：若,是状态，其线性迭加仍是系统的状态。Hilbert 空间的矢量量子力学的态b 任意力学量?F的本征态n的正交归一性，完备性任意力学量?F的本征态可构成Hilbert 空间的基矢。任意态在该 Hilbert空间?F 表象的矩阵表示：1122,=q ,q或或分量n的物理意义：系统处于态时，力学量?F取值为nF的几率为2n. 态的归一化：*1d2
3、11nn方程?G在?F表象的矩阵形式：*?nnnnnnmnnmnnnnmGdGd定义*mnmnGdGmnnmnG111211212222,GGGGG故在 Hilbert 空间中，态用一列矩阵表示；力学量用方阵表示，方阵的矩阵元*?mnmnGdG名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 3 页nm*?GnmnmdGdG表明力学量矩阵是厄密矩阵GG(转置复共轭 ) 例 1：算苻在自身表象的矩阵元力学量算苻?G基
4、矢n满足?nnnGg*?mnmnnmnnmnGdGgdg100ngGg为对角矩阵，对角元为本征值求力学量的本征值归结为将力学量矩阵对角化。例 2：算苻在坐标表象的矩阵元：坐标算苻的本征态xx?,?,xxGdxxxG xixxxxx G xiG xixxxx算苻在动量表象的矩阵元：动量算苻的本征态121,2ipxp xepp*?,ppGdxp xG xip xx?,?,ppGdpppGippppG ipppp名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -