《2022年高中数学备课精选第二章《数列求和》例题解析新人教B版 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学备课精选第二章《数列求和》例题解析新人教B版 .pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载专题研究：数列的求和例题解析【例 1】求下列数列的前n 项和 Sn：(1)(2)13(3)11111122143181223132313231323121214121412234562121，；，；， ， ， ，()nnnnn解 (1)S= 112= (123n)n2143181212141812 ()()nnn=n(n+1)2=1121121121212()()nnn n(2)S=13= (13+13+13) + (23+23+23)n32n-1242n2313231323234212nn=13()()()1131132311311358113222222nnn(3) 先对通
2、项求和a= 1 S= (222)(1+14+12)nnn-11214122121211nn= 2n(1+14+12)= 2n2n-112121n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载【例 2】求和：(1)11+123+134+(2)11(3)122115137159121 2351581811131 32n nnnnn()()()()()解 (1)1n(n +1)111111212131314111nnSnnn()()()()1111nnn(2)1(2n1)(2n + 3) S=n141211231411
3、513171519123121121123()nnnnnn=14113121123453 21 23()()()nnnnnn(3)1(3n1)(3n + 2) S=13n131311321215151818111131132()()()()()nnnn=13()1213264nnn【例 3】求下面数列的前n项和：1147(3n2) ， ， ，11121aaan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载分析将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以为公比的等1a比数列 ，另一个数组成以3n2 为通项的等差数列，分
4、别求和后再合并解设数列的通项为an，前 n 项和为 Sn则 a=1a(3n2) S=147(3n2)nn 1n()111121aaan当时，当 时，a = 1S= na1S=11a11annn()()()1322321322131221nnnnnnaaannnnn说明等比数列的求和问题，分q=1 与 q1 两种情况讨论【例4】a =k (kN*)aaak设，则数列，12357222123的前 n 项之和是 ABCD613161612nnnnnnnn()()解bb=nn设数列，的通项为则35721123aaanan又 a= 12n=n(n1)(2n1) b=6n(n + 1)= 6(1n1n +
5、1)n222n16数列 bn的前 n 项和 Sn=b1b2 bn= 6= 6=6nn +1(A)()()()1121311213111111选nnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载【例 5】求在区间 a ，b(b a，a，b N)上分母是3 的不可约分数之和解法一ab3a1a2b1区间，上分母为的所有分数是， ， ， ，它是以为首项，以为公差的等差数列33313323343353323313333313aaaaabbba项数为 ，其和3b3a1S =12(3b3a1)(ab)其中，可约分数是a，a
6、1，a2， b 其和 S=12(ba1)(ab)故不可约分数之和为SS=12(ab)(3b3a1)(ba1) =b2 a2解法二 S =3a +13+3a+ 23+3a + 43+3a+ 53+3b23+3b13而又有 S=(a)(a)(a)(a)(b)(b)S=(b)(b)(b)(b)(a)(a)132343532313132343532313两式相加： 2S=(ab) (ab) (a b) 其个数为以3 为分母的分数个数减去可约分数个数即 3(b a) 1(ba1)= 2(b a) 2S=2(b a)(a b) S=b2a2【例 6】求下列数列的前n项和 Sn：(1)a ，2a2，3a3，
7、 nan， (a 0、 1) ；(2)1 ，4，9， n2，；(3)1 ，3x，5x2， (2n 1)xn-1， (x 1) (4)1224382，nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载解 (1)Sn=a2a23a3 nan a 0 aSn=a2 2a33a4 (n 1)annan+1SnaSn=aa2a3 annan+1 a 1 ()()()()111111121a SaaanaSaaanaannnnnn(2)Sn=14 9 n2 (a1)3a3=3a23a1 2313=312311 3323=32
8、2321 4333=332331 n3(n 1)3=3(n 1)2 3(n1) 1 ( n1)3n3=3n23n1 把上列几个等式的左右两边分别相加，得(n 1)313=3(1222 n2) 3(1 2 n) n = 3(123n )n2222312n n() 1222 32 n2=(n1)1n=n3n3nn3321331213312 n nn n()()=n(2n3n1)=n(n1)(2n1)21616精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载(3) Sn=13x5x27x3 (2n 1)xn-1 xSn=
9、x3x25x3 (2n 3)xn-1 (2n1)xn两式相减，得(1 x)Sn=1 2x(1 xx2 xn-2) (2n 1)xn= 1(2n1)x=(2n1)x S=(2n1)xnn+1nn+12112111211112x xxnxxxnxxxnnn()()()()()()(4) S =12n22322121222322232341nSnnnn两式相减，得121212121221211211222311Snnnnnnn()112212211nnnnnn S= 2n说明求形如 anbn的数列的前n 项和，若其中 an 成等差数列， bn 成等比数列， 则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位
10、相减法， 此方法体现了化归思想【例7】a nSS=nnn设等差数列的前项和为，且，()an122nN*，若 bn=( 1)nSn，求数列 bn的前 n 项和 Tn分析求bn 的前 n 项和，应从通项bn入手，关键在于求an的前 n 项和 Sn，而由已知只需求an的 通项 an即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载解法一 a S=n = 1a = (a2)a = 1nn1121是等差数列，当时，解得()an1212当时，解得或当时，由，解得或n = 2aa= (a)a= 3a =1n = 3aaa= (
11、a)a= 3a = 5a =1222221233223312123，由 a2=1，解得 a3=1又 ， ， ，舍S=0 a=1a =3a = 1()n233()an122即 a1=1， a2=3，a3=5， d=2 an=12(n 1)=2n 1 Sn=135 (2n 1)=n2bn=( 1)nSn=(1)nn2Tn= 12223242 ( 1)n n2当 n 为偶数时，即n=2k，kN* Tn=( 1222) ( 3242) (2k 1)2(2k)2 =37 (4k 1) =3 +(4k1)k2= (2k1)k=n n()12当 n 为奇数时，即n=2k1，kN* Tn= 12223242
12、(2k 1)2=12223242 (2k 1)2 (2k)2(2k)2=(2k 1)k (2k)2=k(2k 1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载= T= (1)nN *nS=(a + a )n2annn1nn也可利用等差数列的前项和公式，求n nn n()()1212解法二n = 1a = (a) a= 1S=n(a + a )1121n1n取，则又可得：12212122()()anann an 1 an=2n1 以下同解法一说明本题以“等差数列”这一已知条件为线索，运用方程思想，求数列an的通项 an，在求数列 bn的前 n 项和中， 通过化简、 变形把一般数列的求和问题转化为等差数列的求和问题由于( 1)n的作用，在变形中对n 须分两种情况讨论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页