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1、1 1.4 绝对值三角不等式教学目标： 1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.掌握定理 1 的两种证明思路及其几何意义；3.理解绝对值三角不等式；4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。教学重点： 定理 1 的证明及几何意义。教学难点： 换元思想的渗透。教学过程：一、引入 ：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）baba（2）baba（3）baba（4）)0(bbaba请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质baba和)0(bbaba可以从正负数和零的乘法、
2、除法法则直接推出； 而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明baba对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和 a 哪个大？显然aa，当且仅当0a时等号成立（即在0a时，等号成立。在0a时，等号不成立）。同样，. aa当且仅当0a时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2
3、性质。二、典型例题 ：例 1、 证明 （1）baba，（2）baba。证明（ 1）如果, 0ba那么.baba所以.bababa如果,0ba那么).(baba所以babababa)()(（2）根据（1）的结果，有bbabba， 就是，abba。所以，baba。例 2、证明bababa。例 3、证明cbcaba。思考： 如何利用数轴给出例3 的几何解释？（设 A， B， C 为数轴上的 3 个点， 分别表示数 a， b， c， 则线段.CBACAB当且仅当 C 在 A，B 之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取 c0（即 C 为原点） ，就得到例 2 的后半部分。）探究：试利用绝对值的几
4、何意义，给出不等式baba的几何解释？定理 1 如果,a bR, 那么baba. 在上面不等式中 ,用向量,a br r分别替换实数,a b, 则当,a br r不共线时 , 由向量加法三角形法则 : 向量,a br r,abrr构成三角形 , 因此有 a+b a+b其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例 2 和例 3 的结果来证明。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - -
5、- 3 例 4、已知2,2cbycax，求证.)()(cbayx证明)()()()(byaxbayxbyax（1）2,2cbycax，cccbyax22（2）由（1） ， （2）得：cbayx)()(例 5、已知.6,4ayax求证：ayx32。证明6,4ayax，23,22ayax，由例 1 及上式，aaayxyx223232。注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。四、巩固性练习 ：1、已知.2,2cbBcaA求证：cbaBA)()(。2、已知.6,4cbycax求证：cbayx3232。作业：习题 1.2 2、3、5 1.4
6、绝对值三角不等式学案预习目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.了解定理 1 的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式。预习内容：1绝对值的定义 ：aR，|a2. 绝对值的几何意义 ：10. 实数a的绝对值|a，表示数轴上坐标为a的点 A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 20. 两个实数,a b，它们在数轴上对应的点分别为,A B，那么|ab的几何意义 是3.定理 1 的内
7、容是什么？其证法有几种？4.若实数,a b分别换成向量,a br r定理 1 还成立吗？5、定理 2 是怎么利用定理1 证明的？探究学习：1、绝对值的定义的应用例 1 设函数( )14f xxx1 解不等式( )2fx； 2 求函数( )yf x的最值2. 绝对值三角不等式： 探究|a，|b，|ab之间的关系 . 0a b时,如下图 , 容易得 ：|abab . 0a b时,如图, 容易得 ：| |abab . 0a b时,显然有 ：| |abab . 综上,得定理 1 如果,a bR, 那么 |abab . 当且仅当时, 等号成立 . 在上面不等式中 ,用向量,a br r分别替换实数,a
8、b, 则当,a br r不共线时 , 由向量加法三角形法则 : 向量,a br r,abrr构成三角形 , 因此有|abab它的几何意义就是 : 定理 1 的证明 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5 定理 2 如果, ,a b cR, 那么| |a ca bb c. 当且仅当时, 等号成立 .3、定理应用例 2 （1）, a bR证明baba，（2）已知2,2cbycax，求证.)()(cbayx。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -