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1、立体几何知识点和例题讲解（高二）一、知识点1. 夹角公式：设a123(,)a a a，b123( ,)b b b，则 cosa，b=1 1223 3222222123123aba ba baaabbb. 2异面直线所成角：cos|cos,|a b=121212222222111222| |x xy yz za babxyzxyz（其中（090oo）为异面直线a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量）3. 直线AB与平面所成角：sin|AB marcABm(m为平面的法向量 ). 4. 空间四点A、B、C、P共面OCzOByOAxOP，且 x + y + z = 1 5.
2、 二面角l的平面角cos|m narcm n或cos|m narcm n（m，n为平面，的法向量） . 6. 异面直线间的距离：|CD ndn (12,l l是两异面直线， 其公垂向量为n，CD、分别是12,l l上任一点，d为12,l l间的距离 ). 7. 点B到平面的距离：|AB ndn（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. 二温馨提示：1. 直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围？ 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次. 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是二、题型与方法【考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作
3、，二证，三算”的步骤来完成。求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点 1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 例 1 如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点（）求证：1AB 平面1ABD；x z A B C D 1A1C1BO F y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - -
4、 - - - - （）求二面角1AADB的大小；（）求点C到平面1ABD的距离解法二：（）取BC中点O，连结AOABC为正三角形，AOBC在正三棱柱111ABCA BC中，平面ABC平面11BCCB，AD 平面11BCC B取11BC中点1O， 以O为原点，OB，1OO，OA的方向为xyz， ，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(10 0)B ，( 11 0)D， ，1(0 23)A， ，(0 03)A ，1(12 0)B，1(123)AB，( 210)BD， ，1( 123)BA，考点 2 异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离
5、. 例 2 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求CD 与 SE 间的距离 . 思路启迪 ：由于异面直线CD 与 SE 的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离， 转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离 . 小结 ：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程. 考点 3 直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 例 3 如图，在棱长为2 的正方体1AC中， G 是1AA的中点，求BD 到平面11DGB的距离 . 思路启迪 ：把线面距离转
6、化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 小结 ：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. B A C D O G H 1A1C1D1B1O名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 考点 4 异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异
7、面直线所成的角是高考考查的重点 . 例 4、如图，在RtAOB中，6OAB，斜边4ABRtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角D是AB的中点1 求证：平面COD平面AOB（2）求异面直线AO与CD所成角的余弦值。 思路启迪 ：关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 建立空间直角坐标系Oxyz， 如图，则(0 0 0)O，(0 0 2 3)A ，(2 0 0)C， (013)D， ，(0 0 23)OA，( 213)CD， ，cosOA CDOACDOA CD，6642 3 2 2 考点 5 直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证
8、明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容 . 例 5. 四棱锥 SABCD 中，底面ABCD为平行四边形， 侧面SBC底面ABCD已知45ABC，2AB，2 2BC，3SASB（）证明SABC； （）求直线SD与平面SAB所成角的大小OCADBxyzDBCAS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 考点 6 二面角此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进
9、行求解 .二面角是高考的热点，应重视. 例 6如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAP，直线CA和平面所成的角为30（I）证明BCPQ；（II）求二面角BACP的大小命题目的 ：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 小结 ：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不
10、易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点 7 利用空间向量求空间距离和角众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性. 例 7 如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且（1）求证：四点共面；（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：平面；（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力小结 ：向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量
11、的坐标，再用公式求夹角；点面距离一般转化为AB在面 BDF 的法向量n上的投影的绝对值. 1111ABCDABC D3E1AAF1CC11AEFC1EBFD， ， ，GBC23BGM1BBGMBFHEM 11BCC B1EBFD11BCC BtanNMCBAA B C Q P O x y z CBAGHMDEF1B1A1D1CN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -