2022年排列组合解析 .pdf

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1、很好的排列组合讲解，供大家温习1 在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！C5取 3（543）/（321） C6 取 2（65）/ （21）通过这 2 个例子看出CM 取 N 公式是种子数 M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。以取值 N的阶层作为分母P53543 P66654321 通过这 2 个例子PMN 从 M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当 NM时 即 M的阶层排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中，任取m (mn) 个元素，有序和无序摆放的各种可能性”. 区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序

2、的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法” . 分类： “做一件事，完成它可以有n 类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类. 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两类的两种

3、方法是不同的方法. 分步： “做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤 . 分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算最终完成. 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关. 如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成 n 个步骤，缺一不可， 即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方名师资料

4、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：1有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. “不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. “在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位

5、置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. 元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 1

6、4 页 - - - - - - - - - 提供 10 道习题供大家练习1、三边长均为整数，且最大边长为11 的三角形的个数为（ C ）(A)25个(B)26个(C)36个(D)37 个【解析】根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可见最大的边是11 则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候因此我们以一条边的长度开始分析如果为 11， 则另外一个边的长度是11， 10， 9， 8， 7， 6， 。 。 。 。 。 。1 如果为 10 则另外一个边的长度是10，9，8。 。 。 。 。 。2，（不能为 1 否则两者之和会小于11，不能为 11，因为

7、第一种情况包含了11，10 的组合）如果为 9 则另外一个边的长度是 9 ，8，7， 。 。 。 。 。 。 。3 （理由同上，可见规律出现）规律出现总数是1197。 。 。 。1（ 111） 6236 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2、（1）将 4 封信投入 3 个邮筒，有多少种不同的投法？【解析】每封信都有3 个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1 封信，有 3 种可能性。接着再放第2 封，也有

8、3 种可能性，直到第4 封， 所以分步属于乘法原则即333334 （2） 3 位旅客，到 4 个旅馆住宿， 有多少种不同的住宿方法？【解析】跟上述情况类似对于每个旅客我们都有4 种选择。彼此之间选择没有关系不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4 种，再安排第2 个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4 种可能。根据分步原则属于乘法关系即 4 4443 （3）8 本不同的书，任选3 本分给 3 个同学，每人一本，有多少种不同的分法？【解析】分步来做第一步：我们先选出3 本书即多少种可能性 C8 取 356种名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

9、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 第二步：分配给3 个同学。 P33 6 种这里稍微介绍一下为什么是P33 ， 我们来看第一个同学可以有 3 种书选择，选择完成后，第2 个同学就只剩下2 种选择的情况， 最后一个同学没有选择。即 321 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1 ，2，3，4 四个数字可以组成多少4 位数？也是满足这样的分步原则。用 P来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择受到上一步的压缩。所以该题结果是566336 3、七个同学排成一横排照相. （

10、1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600）【解析】这个题目我们分2 步完成第一步： 先给甲排应该排在中间的5 个位置中的一个即C5取 15 第二步：剩下的 6 个人即满足P 原则 P66 720 所以总数是 72053600 （ 2） 某 乙 只 能 在 排 头 或 排 尾 的 不 同 排 法 有 多 少 种 ？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - （1440）【解析】第一步：确定乙在哪个位置排头

11、排尾选其一 C2 取 12 第二步：剩下的6 个人满足 P原则 P66720 则总数是 720 21440 （3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（3120）【解析】特殊情况先安排特殊第一种情况：甲不在排头排尾并且不在中间的情况去除 3 个位置剩下 4 个位置供甲选择 C4 取 14， 剩下 6个位置先安中间位置即除了甲乙2 人， 其他 5 人都可以即以 5 开始，剩下的5 个位置满足P 原则 即 5P555120600 总数是 46002400 第 2 种情况：甲不在排头排尾，甲排在中间位置则 剩下的 6 个位置满足P66720 因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之

12、和即 24007203120 （4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（1440）【解析】相邻用捆绑原则 2 人变一人， 7 个位置变成6 个位名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 置，即分步讨论第 1： 选位置 C6 取 16 第 2： 选出来的 2 个位置对甲乙在排即 P222 则安排甲乙符合情况的种数是2612 剩下的 5 个人即满足P55的规律 120 则 最后结果是 120 121440 （5）甲必须在乙的左边

13、（不一定相邻）的不同排法有多少种？（ 2520）【解析】这个题目非常好，我们发现一共是7 个位置。位置也是对称的 无论怎么安排。甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。所以我们不考虑左右问题则总数是P775040 根据左右概率相等的原则则排在左边的情况种数是504022520 4、用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的数. （1）能组成多少个四位数？（300）【解析】四位数从高位开始到低位高位特殊不能排 0。则只有 5 种可能性接下来 3 个位置满足P53原则 54360 即总数是 60名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

14、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 5300 （2）能组成多少个自然数？（1631）【解析】自然数是从个位数开始所有情况分情况 1 位数： C6 取 16 2 位数： C5 取 2P22C5取 1P1125 3 位数： C5 取 3P33C5取 2P222100 4 位数： C5 取 4P44C5取 3P333300 5 位数： C5 取 5P55C5取 4P444600 6 位数： 5 P555120600 总数是 1631 这里解释一下计算方式比如说 2 位数： C5 取 2P22C5取 1P11

15、25 先从不是 0 的 5 个数字中取2 个排列即 C5取 2P22 还有一种情况是从不是0 的 5 个数字中选一个和0 搭配成 2 位数即 C5取 1P11 因为 0 不能作为最高位所以最高位只有1种可能（3）能组成多少个六位奇数？（288）【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位即 3 4P441224288 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - （4）能组成多少个能被25 整除的四

16、位数？（21）【解析】能被 25 整除的 4 位数有 2 种可能后 2 位是 25： 3 39 后 2 位是 50： P42 4312 共计 91221 （5）能组成多少个比201345 大的数？（479）【解析】从数字 201345 这个 6位数看是最高位为 2的最小 6 位数 所以我们看最高位大于等于2 的 6 位数是多少？4P554120480 去掉 201345 这个数即比 201345 大的有 4801479 （6）求所有组成三位数的总和. （32640）【解析】每个位置都来分析一下百位上的和： M1=100 P52(5+4+3+2+1) 十位上的和： M2=4 410(5+4+3+

17、2+1) 个位上的和： M3=4 4(5+4+3+2+1) 总和 MM1+M2+M3=32640 5、生产某种产品100 件，其中有2 件是次品，现在抽取5件进行检查 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - （1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？（152096）【解析】也就是说被抽查的5 件中有 3 件合格的，即是从 98 件合格的取出来的所以即 C2取 2C98取 3152096 （ 2 ）“ 其 中 恰

18、有 一 件 次 品 ” 的 抽 法 有 多 少 种 ？（7224560）【解析】同上述分析，先从2 件次品中挑1 个次品，再从98件合格的产品中挑4 个C2取 1C98取 47224560 （3） “其中没有次品”的抽法有多少种？（67910864）【解析】则即在 98 个合格的中抽取5 个 C98 取 567910864 （ 4 ） “ 其 中 至 少 有 一 件 次 品 ” 的 抽 法 有 多 少 种 ？（7376656）【解析】全部排列然后去掉没有次品的排列情况就是至少有 1 种的C100取 5C98取 57376656 （ 5 ） “ 其 中 至 多 有 一 件 次 品 ” 的 抽 法

19、 有 多 少 种 ？（75135424）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 【解析】所有的排列情况中去掉有2 件次品的情况即是至多一件次品情况的C100取 5C98取 375135424 6、从 4 台甲型和5 台乙型电视机中任意取出3 台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1 台， 则不同的取法共有 （ C ）(A)140种(B)84种(C)70种(D)35 种【解析】根据条件我们可以分2 种情况第一种情况： 2

20、台甲 1 台乙 即 C4 取 2C5 取 16530 第二种情况： 1 台甲 2 台乙即 C4 取 1C5取 241040 所以总数是 30 4070 种7、在 50 件产品中有4 件是次品，从中任抽5 件，至少有3件是次品的抽法有_4186_种. 【解析】至少有3 件 则说明是 3 件或 4 件3 件： C4取 3C46取 24140 4 件： C4取 4C46取 146 共计是 4140 464186 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - -

21、 - - - - - - - 8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需 2 人承担 , 乙、丙各需1人承担 . 从 10 人中选派 4 人承担这三项任务, 不同的选法共有（ C ）(A)1260种(B)2025种(C)2520种(D)5040 种【解析】分步完成第一步：先从10 人中挑选 4 人的方法有： C10取 4210 第二步：分配给甲乙并的工作是C4 取 2C2 取 1C1 取 162112 种情况则根据分步原则乘法关系 210 122520 9、12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有_ C(4,12)C(4,8)C(4,4) _种【解析】每

22、个路口都按次序考虑第一个路口是C12取 4 第二个路口是C8取 4 第三个路口是C4取 4 则结果是 C12取 4C8取 4C4取 4 可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要P33 吗其名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 实不是这样的在我们从 12 人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。如果再 P33 则是重复考虑了如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口则情况又不一样因为我们

23、在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况所以在上述结果的情况下要P33 10、在一张节目表中原有8 个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？ 990 【解析】这是排列组合的一种方法叫做 2 次插空法直接解答较为麻烦， 故可先用一个节目去插9 个空位，有 P19种方法；再用另一个节目去插10 个空位，有P110种方法；用最后一个节目去插11 个空位，有P111方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为P19? P110? P111=990种。另解：先在11 个位置中排上新添的三个节目有P311种，再在余下的 8 个位置补上原有的8 个节目，只有一解，所以所有方法有 P3111=990 种。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -