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1、排列组合问题的基本模型及解题方法导语：解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列( 有序)还是组合 ( 无序) ，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：类与类必须互斥( 不相容 )，总类必须完备 (不遗漏 ) ；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类，以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（
2、组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。注意以下几点：1、解排列组合应用题的一般步骤为：什么事：明确要完成的是一件什么事（审题）；怎么做：分步还是分类，有序还是无序。2、解排列组合问题的思路（1） 两种思路：直接法，间接法。（2） 两种途径：元素分析法，位置分析法。3、基本模型及解题方法：(一)、元素相邻问题（1） 、全相邻问题，捆邦法例 1、6 名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。A、720 B 、360 C 、240 D 、120 说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某
3、几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。（2） 、全不相邻问题插空法例 2、要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将 6 个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！ ，这 6 个节目的空隙及两端共有七个位置中再排 4 个舞蹈节目有47A种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A种例 3、高三（一）班学要安排毕业晚会的4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是A、1800 B、3600 C、4320 D、5040 解
4、：不同排法的种数为5256A A3600，故选 B 说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。（3） 、不全相邻排除法，排除处理例 4、五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解：533235332372AA AA A222232或 3A A A例 5、有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是解法一：前后各一个，有8122192种方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎
5、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 前排左、右各一人：共有44232 种方法两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置：乙可坐 2个位置乙可坐 1 个位置224 112 此种情况共有 426 种方法因为两边都是 4 个位置，都坐右边亦有 6 种方法，所以坐在第一排总共有6612 种方法两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右甲左乙右总共有55102110128910种方法同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55 种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有5
6、52110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192 3212110346种解法二：考虑 20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4 号座位与 5 号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12 种。 ） ，7 号座位与 8 号座位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。 ） ，共有346)611(2220A种（二） 、定序问题缩倍法例 6、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3 面红旗、 2 面白旗，把 5 面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（） （用数字作答）。解：5 面旗全排列有55A种挂，由于 3 面红旗与 2 面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有55323
7、210AA A说明 : 在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题, 这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便 . 例 7、某工程队有 6 项工程需要单独完成， 其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6项工程的不同排法种数是。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5
8、个空中（插一个或二个），可得有22525AA30 种不同排法。解二：6!4!=30 例 8、由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的6 位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（）A、210个 B、300 个 C、464个 D、600 个解：155513002A A故选 B （三） 、多元问题分类法例 9某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教 ( 每地 1 人), 其中甲和乙不同去 , 甲和丙只能同去或同不去 , 则不同的选派方案共有种解析：某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教 ( 每地 1 人) ，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同
9、不去，可以分情况讨论，甲、丙同去，则乙不去，有2454CA=240种选法；甲、丙同不去，乙去，有3454CA=240种选法；甲、乙、丙都不去，有45120A种选法，共有 600 种不同的选派方案例 10、设集合1,2,3,4,5I。选择 I 的两个非空子集 A和 B，要使 B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 (B) A、50种 B、49种 C、48种 D、47种解析：若集合 A、B中分别有一个元素，则选法种数有25C=10种；若集合 A中有一个元素，集合 B中有两个元素，则选法种数有35C=10种；若集合 A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有45C=5 种；若集合
10、A 中有一个元素，集合B 中有四个元素，则选法种数有55C=1 种；若集合 A 中有两个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有35C=10种；若集合 A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有45C=5 种；若集合 A 中有两个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有55C=1 种；若集合 A 中有三个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有45C=5 种；若集合 A 中有三个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有55C=1 种；若集合 A 中有四个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有55C=1种；总计有49种，选 B. 解法二：集合 A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从
11、 5 个元素中选出 2 个元素，有25C=10种选法，小的给 A集合，大的给 B集合；从 5 个元素中选出 3 个元素，有35C=10 种选法，再分成1、2 两组，较小元素的一组给 A集合，较大元素的一组的给B集合，共有 210=20 种方法；从 5 个元素中选出 4 个元素，有45C=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1 两组，较小元素的一组给 A集合，较大元素的一组的给B集合，共有 35=15 种方法；从 5 个元素中选出 5 个元素，有55C=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有 41=4 种方法；总计为 10+20
12、+15+4=49种方法。选 B. 例 11、将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A、10 种B、20 种C 、36种D 、52 种解析：将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：1 号盒子中放 1
13、个球，其余 3 个放入 2 号盒子， 有144C种方法； 1 号盒子中放 2 个球， 其余 2 个放入 2号盒子， 有246C种方法；则不同的放球方法有10 种，选 A说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。（四） 、元素交叉问题集合法（二元否定问题，依次分类）例 12、从 6 名运动员中选出 4 名参加 4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？解：设全集 U=6 人中任选 4 人参赛的排列 ，A=甲跑第一棒的排列 ，B=乙跑第四棒 的 排 列 ， 根 据 求 集 合 元 素 的 个 数 的 公 式 可 得 参 赛
14、方 法 共 有 ：card(U)-card(A)-card(B)+card(AB)=252 例 13、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？（2）要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），有多少种不同的排课方法？例 14、同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种解：此题可以看成是将数字1、2、3、4 填入标号为 1、2
15、、3、4 的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将1 填入 2 至 4 的 3 个方格里有 3 种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它3 个方格，又有 3 种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有331=9 种填法。故选 B 说明：求解二元否定问题先把某个元素按规定排入，再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。例 15、安排 5 名歌手的演出顺序时， 要求某名歌手不第一个出场， 另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答 ) 。 （答： 78 种）说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个
16、数的公式来求解。（五） 、多排问题单排法例 16、两排座位，第一排有3 个座位，第二排有5 个座位，若 8 名学生入座（每人一座位） ，则不同的座法为（）A、5388C C B、153288A C C C、3588A A D、88A解：此题分两排座可以看成是一排座，故有88A种座法。选 D 说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（六） 、至多、至少问题分类法或 间接法（去杂处理）含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。例 17、从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，若这3 人中至
17、少有 1 名女生，则选派方案共有（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - A、108种 B、186 种C、216种 D 、270 种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有3374AA=186 种，选B. 例 18、5 名乒乓球队员中 , 有 2 名老队员和 3 名新队员 . 现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛 , 则入选的 3 名队员中至少有一名老队员, 且 1、2 号中至少
18、有 1 名新队员的排法有 _种.( 以数作答 ) 【解析】两老一新时 , 有112322C12C A种排法；两新一老时, 有123233C C36A种排法 ,即共有 48 种排法 . 例 19、将 5 名实习教师分配到高一年级的3 个班实习，每班至少1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有 A、30种B、90 种 C、180种D、270 种解析：将 5 名实习教师分配到高一年级的3 个班实习，每班至少1 名，最多 2 名，则将5 名教师分成三组，一组1 人，另两组都是 2 人，有12542215CCA种方法，再将 3 组分到 3个班，共有331590A种不同的分配方案，选B. （七） 、部分符
19、合条件淘汰法例 20、四面体的顶点各棱中点共有10 个点，在其中取4 个不共面的点，不同的取法共有（） A、150种 B、147 种 C、144 种 D、141 种解：10 个点取 4 个点共有410C种取法，其中面ABC 内的 6 个点中任取 4 个点必共面，这样的面共有6 个，又各棱中点共6 个点，有四点共面的平面有3 个，故符合条件不共面的平面有44106463141CC选 D 说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。（八） 、分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例 21、有 9 个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组
20、；（2）将其分成三组，每组个数 2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？分析： （1）此题属于分组问题：先取3 个为第一组，有39C种分法，再取 3 个不第二组， 有36C种分法， 剩下 3 个为第三组，有33C种分法， 由于三组之间没有顺序， 故有33396333C C CA种分法。 （2）同（ 1） ，共有234974C C C种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以33A。分配问题：定额分配，组合处理；随机分配，先组后排例 22、有 9 本不同的书：（1）分给甲 2 本，乙 3 本，丙 4 本； （2）分给三个人，分别得 2 本，3 本，4 本。上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题
21、是定额分配问题，先让甲选，有29C种；再让乙选，有37C种；剩下的给丙，有44C种，共有234974C C C种不同的分法（ 2）此题是随机分配问题：先将9 本书分成 2 本，3 本，4 本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有23439743.C C CA种不同的分法。例 23、对某种产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5 次测试时被全部发现， 则这样的测试方法有多少种可能? 解：第 5 次必测出一次品，余下3 件次品在前 4 次被测出，从 4 件中确定最后一件次品有14C种方法，前 4 次中应有 1 件正品、 3 件次品，有3316CC
22、种，前 4 次测试中的顺序名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 有44A种，由分步计数原理即得：14C（3316CC）44A576。本题涉及一类重要问题： 问题中既有元素的限制， 又有排列的问题， 一般是先选元素（即组合）后排列 . 练习：1、3 名教师分配到 6 个班里，各人教不同的班级，若每人教2 个班，有多少种分配方法？22264290C C C2、将 10 本不同的专著分成3 本，3 本，3 本和 1 本，分
23、别交给 4 位学者阅读，问有多少种不同的分法？3331107414!3!C C C C例 24、某外商计划在四个候选城市投资3 个不同的项目 , 且在同一个城市投资的项目不超过 2 个, 则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16 种 B.36种 C.42种 D.60种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1 个项目、 2 个项目，此时有123436CA，二是在在两个城市分别投资1，1，1 个项目，此时有3424A， 共有1234CA34A=60，故选（D）（九） 、相同元素入盒问题隔板法在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。例 2
24、5、求方程 x+y+z=10的正整数解的个数。 ( 即：10 个相同的小球分给三人，每人至少 1 个，有多少方法？ ) 分析：将 10 个球排成一排，球与球之间形成9 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板） ，规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x.y.z之值（如图）则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为2936C个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：（1） 、添加球数用隔板法例 26、求方程 x+y+z=10 的非负整数解的个数。分析：注意到 x 、y 、z 可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔
25、板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给 x 、 y 、z 各一个球。这样原问题就转化为求x+y+z=13 的正整数解的个数了，故解的个数为212C=66个。（2） 、减少球数用隔板法例 27、将 20 个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4 的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。分析 1：先在编号 1，2，3，4 的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有 1 种方法；再把剩下的 14 个球，分成 4组，每组至少 1 个，由例 25 知有313C =286 种方法。分析 2：第一步先在编号 1，2，3，4 的四个盒子内分别放1，2，3，4 个球，有 1 种方法；
26、第二步把剩下的10 个相同的球放入编号为1，2，3，4 的盒子里，由例26 知有313C =286 种方法。（3） 、先后插入用隔板法例 28、为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 4 个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2 个小品节目，则不同的排列方法有多少种？分析：记两个小品节目分别为A、B。先排 A节目。根据 A节目前后的歌舞节目
27、数目考虑方法数，相当于把4 个球分成两堆，由例26 知有15C种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B 节目前后的节目数，同上理知有16C种方法。故由乘法原理知，共有115630C C种方法。（十） 、数字问题（组成无重复数字的整数） 能被 2 整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2 整除的数的特征：末位数是奇数。能被 3 整除的数的特征：各位数字之和是3 的倍数；能被 9 整除的数的特征：各位数字之和是 9 的倍数。能被 4 整除的数的特征：末两位是4 的倍数。能被 5 整除的数的特征：末位数是0 或 5。能被 25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。能被 6 整除的数的
28、特征：各位数字之和是3 的倍数的偶数。例 29、在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有A、36 个 B、24个 C、18 个D 、6 个解：依题意，所选的三位数字有两种情况： （1）3 个数字都是奇数，有33A种方法（ 2）3 个数字中有一个是奇数，有1333C A，故共有33A1333C A24 种方法，故选 B 例 30、用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2 相邻的偶数有24 个. （十一） 、分球入盒问题例 30、将 5个小球放到 3 个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ 小球不同，盒子不同，盒子不空
29、解：将小球分成3 份，每份 1，1，3 或 1，2，2。再放在 3 个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有31223525332222CC(+)AAACC 小球不同，盒子不同，盒子可空解：53种小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要将 5 个不同小球分成 3 份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有312252532222CC+AACC=25种小球不同，盒子相同，盒子可空本 题 即 是 将5个 不 同 小 球 分 成1份 ， 2份 ， 3份 的 问 题 。 共 有312254352535552222CC()(+)41AACCCCC种小球相同，盒子不同，盒子不空解： （隔板法）。0 00 00 ，有
30、24C种方法小球相同，盒子不同，盒子可空解一：把 5 个小球及插入的2 个隔板都设为小球（ 7 个球） 。7 个球中任选两个变为隔名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 265431板 （可以相邻）。 那么 2块隔板分成 3份的小球数对应于相应的 3个不同盒子。故有27C=21.解：分步插板法。小球相同，盒子相同，盒子不空解：5 个相同的小球分成 3 份即可，有 3，1，1；2，2，1。共 2 种小球相同，盒子相同，盒
31、子可空解：只要将将 5 个相同小球分成1 份，2 份，3 份即可。分法如下： 5，0，0； 4 ，1，0； 3 ，2，0； 3 ，1，1； 2 ，2，1。例 31、有 4 个不同的小球，放入4 个不同的盒子内，球全部放入盒子内（1）共有几种放法？（答：44）（2）恰有 1 个空盒，有几种放法？（答：2344144C A）（3）恰有 1 个盒子内有 2 个球，有几种放法？（答：同上2344144C A）（4）恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？（答：3222444484C AC C）（十二）、涂色问题（1）用计数原理处理的问题，需要关注图形的特征：多少块？多少色？（2）以涂色先后分步，以色的种类
32、分类。例 32、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分（如下图）。现要栽种 4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？法 1：按对称区域颜色是否相同分类分析：四种不同的颜色涂在如图所示的6 个区域， 且相邻两个区域不能同色，只能选用 4 种颜色，要分四类：（1）与同色、与同色，则有44A；（2）与同色、与同色，则有44A；（3）与同色、与同色，则有44A；（4）与同色、与同色，则有44A；（5）与同色、与同色，则有44A；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A=120 。法 2: 转化法将其转化为空间图形如右图，转化为对点涂色。1 号
33、和其他 5 个区域都相邻，其他 5 个区域按逆时针顺序3 个 3 个相邻，因此对这个5 棱锥的涂色问题，可转化为用 3 种颜色对底面 5 边形进行涂色。第 1 步：对顶点 1 进行涂色，有14C种涂法；第 2 步：用剩余的 3 种颜色对平面 5 边形的顶点涂色，则必然有二组相对顶点同色，有如下五种分组方式：第一种： （2，4） ， （3，5） ，6；第二种： （2，4） ， （3，6） ，5；第三种： （2，5） ， （3，6） ，4；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
34、8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第四种： （2，5） ， （4，6） ，3；第五种： （3，5） ， （4，6） ，2. 每种分组方式的涂色方法有33A种，根据分类、分步计数原理有13435120CA种涂色方法。例 33、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色种数为 420 应该指出的是，上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一问题有时会有多种方法，这时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。（十三） 、不同元素进盒，先分堆再分配对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可
35、分批进入，必须先分堆再分配。例 34、 5个老师分配到 3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？解：先把 5位老师分 3堆，有两类：3,1,1分布有35C种和1,2,2分布有12254222C C CA种，再排列到 3个班里有33A种，故共有122335425322()C C CCAA种。注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位( 否则有重复计数 ) 。即“同一盒内的元素必须一次进入”。（十四） 、两类元素问题组合选位法例 35、10级楼梯，要求 7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？解：由题意知，有 4步跨单级， 3步跨两级，所以只要在7 步中任意选 3步跨两
36、级即可。故有37C种跨法。注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。例 36、沿图中的网格线从顶点A到顶点 B ， 最短的路线有几条？解：每一种最短走法，都要走三段“| ”线和四段“”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。故有37C或47C种走法。例 37、从 5个班中选 10人组成校篮球队 ( 无任何要求 ) ，有几种选法？解：这个问题与例 12有区别，虽仍可看成 4块“档板”将 10个球分成 5格(构成 5个盒子)， 是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球， 故 4块“档板”与 10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有414C种选法。（十五） 、特殊元素（位置）优
37、先法对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。例 38、0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一： ( 元素优先 )分两类 ：第一类：含 0 ， 0 在个位有24A种， 0在十位有1123A A种；第二类：不含 0 ，有1223A A种。 故共有2111242323(AA A )+A A30种。注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。解法二： ( 位置优先 )分两类 ：第一类： 0 在个位有24A种；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
38、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第二类 ： 0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有111233A A A种。故共有21114233A +A A A =30例 39、电视台连续播放6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间 4 个为不同的商业广告有A44种，从而应当填 A22A4448. 从而应填 48（十六）
39、 、“小团体”排列，先“团体”后整体对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。例 40、四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有2242A A种，把这个“女男男女”小团体视为 1人再与其余 2男进行排列有33A种，由乘法原理，共有2242A A33A种( 十七)、逐步试验法如果题中附加条件增多 , 直接解决困难 , 用试验法寻找规律也是行之有效的方法例 41、将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格
40、内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。解：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为复杂，可用试验法逐步解决第一方格内可填 2或3或 4 如填 2， 则第二方格内可填 1或 3或 4 若第二方格内填 1,则第三方格内只能填4 ，第四方格内填3若第二方格填3，则第三方格应填4 ，第四方格应填 1同理，若第二方格填4，则第三、四方格应分别填3，1。因而第一方格填 2共有 3种方法。同理，第一格填3或 4也各有 3种，所以一共有 9种方法。（十八）、探索规律法对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要仔细分析，探索出其中规律，再予以解决。例 42、从 1到100的自
41、然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于100，则不同的取法种数有种。解：此题的数字较多，情况也不一样，需要分析摸索其规律。为方便，两个加数中较小的为被加数， 1 100101100，1为被加数的有 1种；同理， 2为被加数的有 2种； 3为被加数的有 3种； 49为被加数的有 49 种； 50为被加数的有 50种；但 51为被加数的只有 49种； 52为被加数的只有48种； 99为被加数的只有 1种，故不同的区法有：(12350)(49481)2500种。（十九）、可重复元素问题住店法解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“
42、客”，能重复的元素看着“店” ，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法” 。例 43、 7名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是种。解：应同一学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将7名学生看着 7 家“店”，五项冠军看着 5名“客” ，每个客有 7 种住宿方法，由分步计数原理得5N=7种。（二十）、特征分析法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 有约束条件的排数问题，必须紧扣题中所提供的数字和结构特征
43、，进行推理，分析求解。例 44、由1,2,3,4,5,6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？解：分析数字的特征：6 的倍数的数既是 2的倍数，又是 3的倍数。其中 3的倍数又满足“各个数位上的数字之和是3的倍数”的特征。而且 12621是3的倍数，从 6个数字中取 5个，使之和还是 3的倍数，则所去掉的数字只能是3或 6 。因而可以分两类讨论：第一类，所排的五位数不含3，即由1,2,3,4,5,6作数码；首先从2,4,6三个中任选一个作个位数字有13A种，然后其余 4个数字在其他数位上的全排列有44A，所以11134NA A；第二 类， 所排 的五 位数 不含 6 ， 即 由1, 2
44、, 3, 4, 5作数 码， 依上 法有14224NA A，故12N=NN120种。（二十一）、元素成双问题先取后放例 45、从 6 双不同颜色的手套中任取4 只，其中恰有一双同色的取法有多少种？分析：先从 6 双中取 1 双组合成双，有16C种，再从剩下的5 双中任取 2 双，在每双手套中各取 1 只，有211522C C C种，再由分步计数原理可得，共有12116522240C C C C种取法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -