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1、第 66 课等差、等比数列在实际问题中的应用1. 能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应问题.2. 通过解决实际问题的过程，培养提出问题，分析问题，解决问题的能力.1. 阅读：必修5 第 4546 页，第 5859 页.2. 解悟：生活中的等差数列和等比数列模型；体会课本中从情境中提炼出等差数列和等比数列的方法；整理数列求和的常用方法.3. 践习：在教材空白处，做第58、59 页例题 .基础诊断1. 用火柴棒按下列图的方法搭.按图示的规律搭下去，则可推测第n 个图中所用的火柴棒数量an2n1.解析：由图可知，三角形的个数增加一个，则火柴棒的数量增加2，所以火柴棒数
2、量an是一个首项为3，公差为2 的等差列，所以an32(n 1)2n1.2. 某种细胞在培养过程中，每20 分钟分裂一次(1 个变成 2 个)，那么经过3 小时，这种细胞由1 个可以分裂成512个.解析： 36020 9(次)，29512(个 )，故经过 3 小时，这种细胞由1 个可以分裂成512个.3. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则这座塔的顶层共有灯3盏.解析： 设塔的顶层有a 盏灯 .由题意可知， 各层的灯数构成一个首项为a
3、，公比为 2的等比数列，所以a1271 2381，解得 a3，故塔的顶层共有灯3 盏.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页4. 一个梯形两底边的长分别是12cm 与 22cm，将梯形的一条腰10 等分， 过每个分点作平行于梯形底边的直线，这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和为153cm.解析：因为是10 等分，所以设上底a1，下底a11，根据梯形的中位线定理可知a1a112a6， a2a102a6，a3 a9 2a6， a4a82a6， a5a72a6，所以 a2a3a4 a109a6，a6a1a1121222217
4、，所以a2 a3 a4 a10917153，故夹在梯形两腰间的线段的长度的和为153cm.范例导航考向 ?等差数列模型例 1流行性感冒 (简称流感 )是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11 月份曾发生流感，据资料记载，11 月 1 日，该市新的流感病毒感染者有20 人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50 人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30 人，到 11 月 30 日止，该市在这30 天内感染该病毒的患者共有8 670 人，问 11 月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人
5、数.解析：由题意知11 月 1 日到 n 日，每天新感染者人数构成等差数列an，a120，d150，所以 11 月 n 日新感染者人数an50n30.从 n1 日到 30 日，每天新感染者人数构成等差数列bn，b150n60，d2 30，所以 这30天 内 感 染 该 病 毒 的 患 者 人 数 为2050n30n2 (30 n)(50n 60) 30n 29n2(30)8 670，化简得 n261n5880，解得 n12 或 n49(舍)，即 11 月 12 日这一天感染此病毒的新患者人数最多有570 人.考向 ?等比数列模型例 2某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，
6、本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页(1) 设 n 年内 (本年为第1 年)总投入 An万元，旅游业总收入Bn万元，求An和 Bn；(2) 至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(lg 2 0.301)解析：(1) 第一年投入800 万元， 第二年投入800 115万元，第 n 年投入 800(115)n1万元，所以n 年内的总投入为An 800 8
7、00 115 800 115n 1 4 000 4 00045n；第一年旅游业收入为400 万元，第二年旅游业收入为400 114万元，第n 年旅游业收入为400 114n1万元，所以n 年内的旅游业总收入为Bn 400 400 (114) 400(114)n1 1 600(54)n1 600.(2) 设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，则BnAn0，即 1 60054n1 600 4 0004 00045n0，化简得 254n545n7 0.设54nx，代入上式得2x27x 50，解得 x52或 x1(舍去 )，即54n52，两边取对数得nlg54lg52，所以 n1 2lg21
8、3lg24.103，即 n5.故至少经过5 年，旅游业的总收入才能超过总投入.考向 ?分期付款模型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页例 3某工厂更新设备，在1993 年初贷款100 万元，从该年度末开始，每年度末归还一定的金额，计划在10 年内还清，年利率为13%，那么每年需归还金额多少万元？解析：方法一：设每年归还金额为x 万元，则第一年末贷款余额为100(113%)x；第二年末贷款余额为100(113%)x(1 13%)x100(113%)21(113%)x ；第三年末贷款余额为100(1 13%)x(1 13%
9、) x(1 13%)x100(113%)3 1(113%)(1 13%)2x ，所以第 10 年末贷款余额为100(113%)101(113%)(113%)2 (113%)9x，所以 100(113%)101(1 13%)(113%)2 (113%)9x0，解得 x10013% 113%10113%101错误 ! 18.4，故每年需归还金额18.4 万元 .方法二： 10 年内，借款的本利和为100(113%)10万元，设每年归还金额为x 万元，则还款的本利和为x(113%)9(113%)8 (113%)1万元，由借款本利和等于分期付款的本利和，可得100(113%)10 x(113%)9(1
10、13%)8 (113%)1，所以 x10013% 113%10113%101错误 ! 18.4，故每年需归还金额18.4 万元 .【注】理解、记忆分期付款中建立方程的依据.自测反馈精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页1. 有一个细胞集团，每小时死亡2 个，余下的各个分裂成2 个，设最初有细胞7 个， n小时后细胞总数为32n4.解析：设 n 小时后的细胞总数为an， 则 a07， 且 an12(an2)， 即 an14 2(an 4)，所以数列 an4 是首项为 a0 43， 公比为 2 的等比数列， 所以 an32n
11、4(nN).因此，n 小时后的细胞总数为(3 2n4)个.2. 植树节某班20名同学在一段直线公路的一侧植树，每人植一棵， 相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为2 000m.解析： 设放置在第x 个树坑旁边， 则 s 102(x 1)(x 2) 21012(20 x) 201x1 x12120 x 20 x220(x221x210)，由对称轴方程为x10.5，知当 x10 或 11 时， s 取得最小值2 000.3. 某人为了购买商品房，从2008 年起，每年1 月 1 日到银行存入a 元一年定期
12、储蓄.假设年利率为p，每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款，到2016 年 1 月 1 日(当日 不 存 只 取 ) 将 所 有 的 存 款 及 利 息 全 部 取 回 ( 不 计 利 息 税 ) ， 则 可 取 人 民 币 总 数 为a1p1p81p元.解析：到2016 年 1 月1 日可取回钱的总数为a(1 p)8 a(1 p)7 a(1p)a1p1p81p.4. 现有一根 n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm， 第 6 节的长度是首节与末节长度的等比中项，则 n16.解析：由题意得每节竹竿的长度构成等差数列an
13、，公差为 d(d0).由题意知 a1 10，an an1an2114，a26 a1an，则 3an1 114，解得 an138，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页所以 (a15d)2a1(an1d)，即(105d)2 10(38d)，解得 d2，所以 an110 2(n2)38，解得 n16.1. 数列应用题的一般思路：(1) 读题分析，明确哪些量成等差数列，哪些成等比数列，哪些量给出的是递推关系；(2) 应用相关数列知识解答.2. 你还有那些体悟，写下来：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页