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1、数学归纳法(1)数学归纳法的基本形式设 P(n)是关于自然数n 的命题，若1P(n0)成立 (奠基 ) 2假设 P(k)成立 (kn0)，可以推出P(k+1)成立 (归纳 )，则 P(n)对一切大于等于n0的自然数 n 都成立典型题例示范讲解例 3 是否存在a、b、c 使得等式122+232+n(n+1)2=12)1(nn(an2+bn+c) 解假设存在 a、b、 c 使题设的等式成立，这时令 n=1,2,3,有101133970)24(2122)(614cbacbacbacba于是，对n=1,2,3 下面等式成立122+232+n(n+1)2=)10113(12)1(2nnnn记 Sn=12
2、2+232+n(n+1)2设 n=k 时上式成立，即Sk=12)1(kk(3k2+11k+10) 那么 Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=2)1(kk(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=12)2)(1(kk(3k2+5k+12k+24) =12)2)(1(kk 3(k+1)2+11(k+1)+10也就是说，等式对n=k+1 也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10 时，题设对一切自然数n均成立学生巩固练习1已知 f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使 m 整除 f(n)，则最大的 m 的值为 ( ) A30 B26 C36 D6 2用数学归纳
3、法证明412n+3n+2能被 13 整除，其中 nN*精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页3已知数列 bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145(1)求数列 bn 的通项公式bn; (2)设数列 an 的通项 an=loga(1+nb1)(其中 a0 且 a1)记 Sn是数列 an的前 n 项和，试比较 Sn与31logabn+1的大小，并证明你的结论4设实数 q 满足 |q|1,数列 an 满足a1=2,a20,anan+1=qn,求 an表达式，又如果limnS2n3,求 q 的取值范围参考答案1解析f(
4、1)=36,f(2)=108=3 36,f(3)=360=10 36 f(1),f(2),f(3)能被 36 整除，猜想f(n)能被 36 整除证明n=1,2 时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9 能被 36 整除，则n=k+1 时，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2) f(k+1)能被 36 整除f(1)不能被大于36 的数整除，所求最大的m 值等于 36答案C 2 证明(1)当 n=1 时， 421+1+31+2=91 能被 13 整除(2)假设当 n=k
5、 时， 42k+1+3k+2能被 13 整除，则当n=k+1 时，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+1 3 =42k+113+3(42k+1+3k+2) 42k+113 能被 13 整除， 42k+1+3k+2能被 13 整除当 n=k+1 时也成立由知，当nN*时， 42n+1+3n+2能被 13 整除3(1)解设数列 bn的公差为d, 由题意得311452)110(10101111dbdbb,bn=3n2 (2)证明由 bn=3n2 知Sn=loga(1+1)+loga(1+41)+loga(1+231n) =loga (1+1)(1+41) (
6、1+231n)而31logabn+1=loga313n,于是，比较Sn与31logabn+1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页比较 (1+1)(1+41)(1+231n)与313n的大小取 n=1，有 (1+1)=33311348取 n=2，有 (1+1)(1+33312378)41推测(1+1)(1+41)(1+231n)313n(*) 当 n=1 时，已验证 (*)式成立假设 n=k(k1)时 (*)式成立，即 (1+1)(1+41)(1+231k)313k则当 n=k+1 时，)1311(13)2)1(311)
7、(2311()411)(11(3kkkk3131323kkk333222333331)1(343)23(13130)13(49)13() 13)(43()23()43()131323(kkkkkkkkkkkkkkk31) 1(3)1311)(2311()411)(11(kkk从而, 即当 n=k+1 时， (*)式成立由知， (*)式对任意正整数n 都成立于是，当a 1时， Sn31logabn+1, 当 0a1 时， Sn31logabn+14解a1a2=q,a1=2,a20, q0,a2=29, anan+1=qn,an+1an+2= qn+1两式相除，得qaann12,即 an+2=qa
8、n于是， a1=2,a3=2q,a5=2qn猜想a2n+1=21qn(n=1,2,3,) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页综合，猜想通项公式为an=)(221)(1221NNkknqkknqkk时时下证(1)当 n=1,2 时猜想成立(2)设 n=2k1 时， a2k1=2qk1则 n=2k+1 时，由于a2k+1=qa2k1a2k+1=2qk即 n=2k 1成立可推知 n=2k+1 也成立设 n=2k 时， a2k=21qk,则 n=2k+2 时，由于a2k+2=qa2k, 所以 a2k+2=21qk+1,这说明
9、 n=2k 成立，可推知n=2k+2 也成立综上所述，对一切自然数n,猜想都成立这样所求通项公式为an=)(221)(1221NNkknqkknqkk时当时当S2n=(a1+a3+a2n1)+(a2+a4+a2n) =2(1+q+q2+qn-1)21(q+q2+qn) )24)(11()1()1(211)1(2qqqqqqqqnnn由于 |q|1,nnnnSq2lim,0lim故=)24)(11(qqqn依题意知)1(24qq3, 并注意 1q0,|q| 1 解得 1q0 或 0q52、示范性题组：例1. 已知数列223118，22)12()12(8nnn，。 Sn为其前 n 项和，求 S1、
10、S2、S3、S4，推测 Sn公式，并用数学归纳法证明。（93 年全国理）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页【解】 计算得 S189，S22425，S34849，S48081，猜测 Sn22)12(1)12(nn (n N)。当 n1 时，等式显然成立；假设当 nk 时等式成立，即： Sk22)12(1)12(kk，当 nk1 时，S1kSk22)32()12()1(8kkk22) 12(1)12(kk22)32() 12()1(8kkk22222)32()12()1(8)32()32()12(kkkkkk22222)
11、32()12()12()32()12(kkkkk22)32(1)32(kk, 由此可知，当 nk1 时等式也成立。综上所述，等式对任何nN都成立。【注】 把要证的等式Sk1()()2312322kk作为目标，先通分使分母含有(2k3)2，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k3）21。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 猜想 证明。【另解】
12、用裂项相消法求和：由 an22)12() 12(8nnn2)12(1n2)12(1n得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页Sn （1231） （231251） 2)12(1n2)12(1n12)12(1n22)12(1)12(nn。此 种 解 法 与 用 试 值 猜 想 证 明 相 比 ， 过 程 十 分 简 单 ， 但 要 求 发 现22)12()12(8nnn1212()n1212()n的裂项公式。 可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。例 2. 设 an2132) 1(nn (nN), 证明：12n(n1
13、)an12 (n 1)2。【分析】与自然数n 有关，考虑用数学归纳法证明。n1 时容易证得， nk1 时，因为 ak 1ak()()kk12 , 所以在假设 nk 成立得到的不等式中同时加上()()kk12 ，再与目标比较而进行适当的放缩求解。【解】 当 n1 时，an2，12n(n+1) 12，12 (n+1)22 ， n 1 时不等式成立。假设当 nk 时不等式成立，即：12k(k 1)ak12 (k 1)2，当n k 1 时 ，12k(k 1) )2)(1(kkak 112k(k 1) (k 1) 12(k 1)(k 3)12(k 1)(k 2)，12(k 1)2)2)(1(kk12(k
14、 1)2232kk12(k 1)2(k 32) 12(k 2)2，所以12(k 1)(k 2) ak12(k 2)2，即 nk1 时不等式也成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页综上所述，对所有的nN ，不等式12n(n1)ann可得， an123 n12n(n 1)；由n n() 1 n12可得， an123 n12n12n(n 1) 12n12(n22n)12(n1)2。所以12n(n1)ann (n1且 nN)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页