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1、1 高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系:UxAxC A,UxC AxA.AA2 集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有21n个；非空子集有21n个；非空的真子集有22n个. 3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式2( )(0)f xaxbxc a; (2) 顶点式2( )()(0)hf xaakx; 当已知抛物线的顶点坐标( , )h k时，设为此式(3) 零点式12( )()()(0)f xa xxxax； 当已知抛物线与x轴的交点坐标为12(,0),(,0)xx时，设为此式4切线式：02( )()(),0 xkxdf xa xa。 当已知抛物线与直线ykxd相切
2、且切点的横坐标为0 x时，设为此式4 真值表：同真且真，同假或假5 常见结论的否认形式; 原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有1n个小于不小于至多有n个至少有1n个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立p且qp或q6 四种命题的相互关系( 下列图 ): 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 原命题互逆逆命题假设则假设则互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题假设非则非互逆假设非则非充要条件：(1) 、pq，则 P 是 q 的充分条件，反之，q 是 p 的必要条件；2 、pq，且
3、q p，则 P 是 q 的充分不必要条件；(3) 、p p ，且qp，则 P是 q 的必要不充分条件；4、p p ，且 q p，则 P是 q 的既不充分又不必要条件。7 函数单调性 : 增函数： (1) 、文字描述是：y 随 x 的增大而增大。2 、数学符号表述是：设 fx在 xD 上有定义， 假设对任意的1212,x xDxx且，都有12()()f xf x成立，则就叫fx在 xD 上是增函数。 D 则就是 fx的递增区间。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2 减函数： (1) 、文字描述是：y 随 x 的增大而
4、减小。2 、数学符号表述是：设fx在 xD 上有定义，假设对任意的1212,x xDxx且，都有12()()f xf x成立，则就叫fx在 xD 上是减函数。 D 则就是 fx的递减区间。单调性性质： (1) 、增函数 +增函数 =增函数；2 、减函数 +减函数 =减函数；(3) 、增函数 -减函数 =增函数； (4) 、减函数 -增函数 =减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数单调单调性内层函数外层函数复合函数等价关系：(1) 设1212,x xa bxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,
5、)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导， 如果0)(xf， 则)(xf为增函数；如果0)(xf， 则)(xf为减函数 .8 函数的奇偶性： 注： 是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称奇函数：定义： 在前提条件下，假设有()( )()( )0fxf xfxf x或，则 fx就是奇函数。性质 ： 1 、奇函数的图象关于原点对称；2 、奇函数在x0 和 x0 和 x0 上具有相反的单调区间；奇偶函数间的关系：(1) 、奇函数偶函数=奇函数；2 、奇函数
6、奇函数=偶函数；(3) 、偶奇函数偶函数=偶函数；(4) 、奇函数奇函数=奇函数也有例外得偶函数的(5) 、偶函数偶函数=偶函数；(6) 、奇函数偶函数=非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数9 函数的周期性：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3 定义： 对函数 fx ，假设存在T0，使得 fx+T=fx ，则就叫f x是周期函数，其中，T 是 fx的一个周期。周期函数
7、几种常见的表述形式：(1) 、 fx+T= - f x ，此时周期为2T ；2 、 fx+m=f x+n ，此时周期为2mn；(3) 、1()( )f xmf x，此时周期为2m 。10 常见函数的图像：11 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是2bax; 两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称 . 12 分数指数幂与根式的性质：(1)mnmnaa0,am nN，且1n. 211mnmnmnaaa0,am nN，且1n. 3()nnaa. 4当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 13 指数式
8、与对数式的互化式:logbaNbaN(0,1,0)aaN. 指数性质：(1) 1、1ppaa；2 、01a0a； (3) 、()mnmnaa(4) 、(0, ,)rsrsaaaar sQ；(5) 、mnmnaa；指数函数：(1) 、(1)xyaa在定义域内是单调递增函数；2 、(01)xyaa在定义域内是单调递减函数。注：指数 函数图象都恒过点0，1对数性质：(1) 、logloglog ()aaaMNMN； 2 、logloglogaaaMMNN；k0y=kx+boyxa0y=ax2+bx+coyx0a11y=axoyx0a11y=logaxoyx精选学习资料 - - - - - - - -
9、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4 (3) 、loglogmaabmb；(4) 、loglogmnaanbbm；(5) 、log 10a(6) 、log1aa；(7) 、logabab对数函数：(1) 、log(1)ayx a在定义域内是单调递增函数；2 、log(01)ayxa在定义域内是单调递减函数；注：对数 函数图象都恒过点1，0(3) 、log0,(0,1),(1,)axa xa x或(4) 、log0(0,1)(1,)axax则或(1,)(0,1)ax则14 对数的换底公式 :logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N
10、). 对数恒等式：logaNaN(0a, 且1a,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0N). 15 对数的四则运算法则: 假设 a0， a1，M 0， N0，则(1)log ()loglogaaaMNMN; (2) logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR; (4) loglog( ,)mnaanNN n mRm。16 平均增长率的问题负增长时0p ：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp. 17 等差数列：通项公式：11(1)naand，其中1a为首项， d 为公差， n 为项数，na为
11、末项。2推广：()nkaank d31(2)nnnaSSn注：该公式对任意数列都适用前 n 项和：11()2nnn aaS；其中1a为首项， n 为项数，na为末项。21(1)2nn nSnad31(2)nnnSSan注： 该公式对任意数列都适用412nnSaaa注： 该公式对任意数列都适用常用性质：1 、假设 m+n=p+q ，则有mnpqaaaa；注： 假设,mnpaaa是的等差中项，则有2mnpaaan、m、p 成等差。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页5 2 、假设na、nb为等差数列，则nnab为等差数列
12、。3 、na为等差数列，nS为其前 n 项和，则232,mmmmmSSSSS也成等差数列。4 、,0pqp qaq apa则；51+2+3+n=2)1(nn等比数列：通项公式：11*11()nnnaaa qqnNq，其中1a为首项， n 为项数， q 为公比。2推广：n knkaaq31(2)nnnaSSn注：该公式对任意数列都适用前 n 项和：11(2)nnnSSan 注：该公式对任意数列都适用212nnSaaa注：该公式对任意数列都适用311(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq常用性质：1 、假设 m+n=p+q ，则有mnpqaaaa；注： 假设,mnpaaa是的等比中项，则有2mn
13、paaan、m、p 成等比。2 、假设na、nb为等比数列，则nnab为等比数列。18 分期付款 (按揭贷款 ) ：每次还款(1)(1)1nnabbxb元 (贷款a元,n次还清 ,每期利率为b).19 三角不等式： 1假设(0,)2x，则sintanxxx.(2) 假设(0,)2x，则1sincos2xx.(3) |sin|cos | 1xx.20 同角三角函数的基本关系式：22sincos1，tan=cossin，21 正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变，符号看象限22 和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin; 精选学习资料 - - - - - -
14、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页6 tantantan()1tantan. sincosab=22sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定 ,tanba ). 23 二倍角公式及降幂公式sin 2sincos22 tan1tan. 2222cos2cossin2cos112sin221tan1tan. 22tantan21tan. sin21cos2tan1cos2sin 2221cos21cos2sin,cos2224 三角函数的周期公式函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A, ,为常数，且A 0) 的周期2
15、|T；函数tan()yx，,2xkkZ(A, ,为常数， 且 A 0)的周期|T. 三角函数的图像：25 正弦定理：2sinsinsinabcRABCR为ABC外接圆的半径. 2sin,2 sin,2sinaRA bRB cRC:sin:sin:sina b cABC26 余弦定理：2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC. 27 面积定理：1111222abcSahbhchabchhh、分别表示a、b、c 边上的高 . 2111sinsinsin222SabCbcAcaB. (3)221(| |)()2OABSOAOBOA OB. 2,2abcSrr
16、abc斜边内切圆直角内切圆28 三角形内角和定理：在 ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB. 29 实数与向量的积的运算律: 设、为实数，那么：(1) 结合律： ( a)=( ) a; (2) 第一分配律：( + ) a=a+a; -11y=sinx-223 /2 /2-3 /2- /2oyx-11y=cosx-223 /2 /2-3 /2- /2oyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页7 (3) 第二分配律：(a+b)= a+b. 30a与b的数量积 ( 或内积 ) ：ab=|a|b|cos。
17、31 平面向量的坐标运算：(1) 设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)xxyy. (2) 设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy. (3)设 A11(,)xy，B22(,)xy, 则2121(,)ABOBOAxx yy. (4) 设a=( , ),x yR，则a=(,)xy. (5) 设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则ab=1212()x xy y. 32 两向量的夹角公式：121222221122cos| |x xy ya babxyxy(a=11(,)xy,b=22(,)xy). 33 平面两点间的距离公式：
18、,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy(A11(,)xy，B22(,)xy). 34 向量的平行与垂直：设a=11(,)xy,b=22(,)xy，且b0，则：a|bb=a12210 x yx y. 交叉相乘差为零ab (a0)ab=012120 x xy y. 对应相乘和为零35 线段的定比分公式：设111(,)P xy，222(,)Pxy，( , )P x y是线段12PP的分点 ,是实数，且12PPPP，则121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPt OP11t. 36 三角形的重心坐标公式：ABC三个顶点的坐标分别为11A(x ,y)、22B(x ,
19、y)、33C(x ,y), 则 ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG. 37 三角形五“心”向量形式的充要条件：设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，则1O为ABC的外心222OAOBOC. 2O为ABC的重心0OAOBOC. 3O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. 4O为ABC的内心0aOAbOBcOC. 5O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC. 38 常用不等式：1, a bR222abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) 2,a bR2abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) 33333(0,0,0).abcabc
20、 abc4bababa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页8 522222ababababab( 当且仅当ab 时取“ =”号 ) 。39 极值定理 : 已知yx,都是正数，则有1假设积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；2假设和yx是定值s，则当yx时积xy有最大值241s. 3已知, , ,a b x yR，假设1axby则有21111()()2()byaxaxbyababababxyxyxy。4已知, , ,a b x yR，假设1abxy则有2()()2()abaybxxyxyababababxy
21、xy40 一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac， 如果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号， 则其解集在两根之间. 简言之： 同号两根之外， 异号两根之间 . 即：121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或. 41 含有绝对值的不等式：当 a 0 时，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa. 42 斜率公式：2121yykxx111(,)P x y、222(,)Pxy.43 直线的五种方程：1点斜式11()yyk xx( 直线l过点111(,)P xy，且斜率为k)2斜截式ykxb
22、(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). 3两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P xy、222(,)P xy (1212,xxyy). 两点式的推广：211211()()()()0 xxyyyyxx无任何限制条件！ (4) 截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，00ab、) 5一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为0).直线0AxByC的法向量：( ,)lA B，方向向量：( ,)lBA44 夹角公式：(1)2121tan|1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)(2)12211212tan|A BA BA AB B.(1
23、111:0lAx B y C,2222:0lA xB y C,12120A AB B).直线12ll时，直线l1与 l2的夹角是2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页9 45 1l到2l的角公式：(1)2121tan1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)(2)12211212tanA BA BA AB B.(1111:0lA xB yC,2222:0lA xByC,12120A AB B).直线12ll时，直线l1到 l2的角是2.46 点到直线的距离：0022|AxByCdAB
24、(点00(,)P xy,直线l：0AxByC).47 圆的四种方程：1圆的标准方程222()()xaybr. 2圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0). 3圆的参数方程cossinxarybr. 4圆的直径式方程1212()() ()()0 x xx xy yy y( 圆的直径的端点是11( , )A x y、22( ,)B x y). 48 点与圆的位置关系：点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种：假设2200()()daxby，则dr点P在圆外 ; dr点P在圆上 ; dr点P在圆内 . 49 直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(r
25、byax的位置关系有三种(22BACBbAad): 0相离rd;0相切rd;0相交rd. 50 两圆位置关系的判定方法: 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21，则：条公切线外离421rrd; 条公切线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr; 条公切线内切121rrd; 无公切线内含210rrd. 51 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 离心率221cbeaa，准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离( 焦准距 )2bpc。过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22ba. 52 椭圆22221(0)xyabab焦半径
26、公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: 21()aPFe xaexc，22()aPFexaexc；1221|tan2F PFPF PFSc yb。53 椭圆的的内外部: ddd相离外切相交内切内含r1+r2r2-r1od精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页10 1点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. 2点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 54 椭圆的切线方程: (1) 椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P
27、xy处的切线方程是00221x xy yab. 2过椭圆22221xyab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. 3椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 55 双曲线22221(0,0)xyabab的离心率221cbeaa，准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离 ( 焦准距 )2bpc。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22ba.焦半径公式21| ()| |aPFe xaexc，22| () | |aPFexaexc，两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot2F PFF PFSb。56
28、 双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1假设双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2)假设渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. (3) 假设双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上 . (4) 焦点到渐近线的距离总是b。57 双曲线的切线方程: (1) 双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. (2)过双曲线22221xyab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. 3双曲
29、线22221xyab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 58 抛物线pxy22的焦半径公式: 抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx. 过焦点弦长pxxpxpxCD212122. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11 59 二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa(0)a的图象是抛物线：1顶点坐标为24(,)24bacbaa； 2焦点的坐标为241(,)24bacbaa；3准线方程是2414acbya. 60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy
30、或222221211212(1)()4|1tan|1tABkxxxxxxyyco弦端点A),(),(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，2121212|()4xxxxx x. 61 证明直线与平面的平行的思考途径:1转化为直线与平面无公共点；2转化为线线平行；3转化为面面平行.62 证明直线与平面垂直的思考途径:1转化为该直线与平面内任一直线垂直；2转化为该直线与平面内相交二直线垂直；3转化为该直线与平面的一条垂线平行；4转化为该直线垂直于另一个平行平面。63 证明平面与平面的垂直的思考途径：1转化为判断二面角是直
31、二面角；2转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。64 向量的直角坐标运算：设a123(,)a aa，b123(,)b b b则：(1) ab112233(,)ab abab；(2) ab112233(,)ab abab；(3) a123(,)aaa ( R)；(4) ab1 12233a ba ba b；65 夹角公式：设a123(,)a aa，b123(,)b b b，则1 12233222222123123cos,a ba ba ba baaabbb. 66 异面直线间的距离：|CD ndn(12,ll是两异面直线，其公垂向量为n，CD、是12,ll上任一点，d为12,ll间的
32、距离 ).67 点B到平面的距离：|AB ndnn为平面的法向量，A，AB是的一条斜线段.68 球的半径是R，则其体积343VR, 其外表积24SR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页12 69 球的组合体： (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a( 正四面体
33、高63a的14), 外接球的半径为64a( 正四面体高63a的34). 70 分类计数原理加法原理：12nNmmm.分步计数原理乘法原理 ：12nNmmm. 71 排列数公式：mnA=) 1()1(mnnn=！)(mnn.(n，mN*，且mn) 规定1! 0.72 组合数公式：mnC=mnmmAA=mmnnn21)1() 1(=！)(mnmn(nN*，mN，且mn). 组合数的两个性质:(1)mnC=mnnC ;(2) mnC+1mnC=mnC1. 规定10nC.73 二项式定理nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)( ; 二项展开式的通项公式rrnrnrb
34、aCT1)210(nr，. 2012( )()nnnf xaxbaa xa xa x的展开式的系数关系：012(1)naaaaf；012( 1)( 1)nnaaaaf；0(0)af。74 互斥事件A， B分别发生的概率的和：P(AB)=P(A) P(B) n个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 75 独立事件A， B同时发生的概率：P(AB)= P(A) P(B). n个独立事件同时发生的概率：P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：( )(1).kkn knnP kC
35、PP77 数学期望：1122nnEx Px Px P数学期望的性质1()( )E abaEb. 2假设( , )B n p, 则Enp. (3)假设服从几何分布,且1()( ,)kPkg k pqp，则1Ep.78 方差：2221122nnDxEpxEpxEp标准差：=D. 方差的性质：(1)2D aba D；(2假设( ,)B n p，则(1)Dnpp.(3)假设服从几何分布, 且1()( ,)kPkg k pqp，则2qDp.方差与期望的关系：22DEE. 79 正态分布密度函数：22261,26xfxex，式中的实数，0是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 精选学习资料 - - - -
36、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页13 对于2( ,)N，取值小于x 的概率：xFx. 12201xxPxxPxxxP80 )(xf在0 x处的导数或变化率 ：000000()()()limlimx xxxf xxf xyfxyxx. 瞬时速度：00()( )( )limlimttss tts ts ttt. 瞬时加速度：00()( )( )limlimttvv ttv tav ttt. 81 函数)(xfy在点0 x处的导数的几何意义：函数)(xfy在点0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf，相应
37、的切线方程是)(000 xxxfyy. 82 几种常见函数的导数：(1) 0CC为常数 .(2) 1()()nnxnxnQ.(3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5)xx1)(ln；1(log)logaaxex. (6) xxee )(; aaaxxln)(. 83 导数的运算法则：1()uvuv. 2()uvu vuv. 32()(0)uuvuvvvv. 84 判别)(0 xf是极大小值的方法：当函数)(xf在点0 x处连续时，1如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；2如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0
38、xf是极小值 . 85 复数的相等：,abicdiac bd. , , ,a b c dR86 复数zabi的模或绝对值|z=|abi=22ab. 87 复平面上的两点间的距离公式：22122121|()()dzzxxyy111zxy i，222zxy i. 88 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20axbxc，假设240bac, 则21,242bbacxa; 假设240bac, 则122bxxa; 假设240bac，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2bbac ixbaca. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页