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1、优秀学习资料欢迎下载第四章数列4.1 等差数列的通项与求和一、知识导学1. 数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2. 项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1 项（或首项），第2 项，第n项， .3. 通项公式：一般地，如果数列an的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列 : 项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列 : 项数无限的数列叫做无穷数列6. 数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式是给出数列的一种重
2、要方法，其关健是先求出a1,a2, 然后用递推关系逐一写出数列中的项.7. 等差数列 : 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示8. 等差中项 : 如果， ，这三个数成等差数列，那么2ba 我们把2ba叫做和的等差中项二、疑难知识导析1. 数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(1，2，3， n) 的函数 .2. 一个数列的通项公式
3、通常不是唯一的.3. 数列 an的前 n 项的和 Sn与 an 之间的关系：).2(),1(11nSSnSannn若 a1适合 an(n2), 则na不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.4. 从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d n+ a1-d, an是关于 n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,na）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列 .5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为ndandSn)2(212，若令 A2d，Ba12d，则nS An2+Bn.6、在
4、解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n 中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲 例 1 已知数列1，4，7，10， 3n+7, 其中后一项比前一项大3. （1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+（3n 5）是该数列的前几项之和. 例 2 已知数列na的前n项之和为nnSn2212nnSn求数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载 例 3 已知等差数列na的前 n 项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40等于。 例 4 等差数列na、nb的前
5、 n 项和为 Sn、Tn. 若),(27417NnnnTSnn求77ba； 例 5 已知一个等差数列na的通项公式an=255n，求数列|na的前 n 项和； 例 6 已知一个等差数列的前10 项的和是310，前 20 项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？ 例 7 已知：nna12lg1024（3010.02lg）Nn（ 1） 问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 例8 项数是n2的等差数列，中间两项为1nnaa 和是方程02qpxx的两根，求证此数列的和nS2是方程0)lg(lglg)lg(lglg2222pnxpnx的根。（02nS）精选学习资料 - -
6、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载四、典型习题导练1已知nnnSaa2311且，求na及nS。2设)1(433221nnan，求证：2)1(2)1(2nannn。3. 求和 : n3211321121114. 求和：)12()34()9798()99100(222222225. 已知cba,依次成等差数列，求证：abcacbbca222,依次成等差数列.6. 在等差数列na中，40135aa，则1098aaa（）。A 72 B60 C48 D367. 已知na是等差数列，且满足)(,nmmananm，则nma等于 _。
7、8. 已知数列21na成等差数列，且713,61153aa，求8a的值。4.2 等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列： 一般地， 如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于同 一 个 常 数，那 么 这 个数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示2. 等比中项：若，成等比数列，则称为和的等比中项3. 等比数列的前n 项和公式：)1(11)1 ()1(111qqqaaqqaqanSnnn二、疑难知识导析1. 由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此 q 也不为 0.2. 对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把
8、相邻两项的比的次序颠倒.3. “从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2 项起，而是从第3 项或第 4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第 2 项或第 3 项起是一个等比数列 .4. 在已知等比数列的a1和 q 的前提下，利用通项公式an=a1qn-1, 可求出等比数列中的任一项.5. 在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.6. 等比数列an 的通项公式an=a1qn-1可改写为nnqqaa1. 当 q0， 且 q1 时， y=qx是一个指数函数， 而xqqay1是一个不
9、为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列an的图象是函数xqqay1的图象上的一群孤立的点.7在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n 中任意三个，可求其余两个。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载三、经典例题导讲 例 1 已知数列na的前 n 项之和 Sn=aqn（qqa, 1, 0为非零常数），则na为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列 例 2 已知等比数列na的前 n 项和记为Sn，S10=10 ， S30=70，则 S
10、40等于 . 例 3求和： a+a2+a3+ +an. 例 4 设dcba,均为非零实数，0222222cbdcabdba，求证：cba,成等比数列且公比为d。 例 5 在等比数列nb中，34b，求该数列前7 项之积。 例 6 求数列21nn前n项和 例 7 从盛有质量分数为20% 的盐水 2kg 的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每次都倒出1kg 盐水，然后再加入 1kg 水，问： (1) 第 5 次倒出的的1kg 盐水中含盐多kg？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载 (2)经
11、6 次倒出后，一共倒出多少kg 盐？此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？四、典型习题导练1. 求下列各等比数列的通项公式：1)a1= 2, a3= 8 2)a1=5, 且 2an+1= 3an3)a1=5, 且11nnaann2. 在等比数列na，已知51a，100109aa，求18a. 3. 已知无穷数列,10,10,10,1051525150n，求证：（ 1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4. 设数列na为1324,3 ,2, 1nnxxxx0 x求此数列前n项的和。5. 已知数列 an中，a1=
12、 2 且an+1=Sn，求an ,Sn6. 是否存在数列 an ，其前项和Sn组成的数列 Sn也是等比数列，且公比相同？7. 在等比数列na中，400,60,364231nSaaaa，求n的范围。4.3 数列的综合应用一、知识导学1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容. 解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2
13、）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an. 一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1 就是公比q. 二、疑难知识导析1. 首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式000011nnnnaaaa或解决；2. 熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想；3. 等差数列中 , am=an+
14、 (n m)d, nmaadnm; 等比数列中，an=amqn-m; mnmnaaq4. 当 m+n=p+q （ m 、n、p、qN）时，对等差数列an有： am+an=ap+aq；对等比数列an有： aman=apaq；5. 若an、bn是等差数列，则kan+bbn(k 、b 是非零常数 ) 是等差数列；若an 、bn 是等比数列，则kan、anbn 等也是等比数列；6. 等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9）仍是等差（或等比）数列；7. 对等差数列an, 当项数为2n 时， S偶-S奇nd；项数为2n1 时， S奇S偶
15、a中（nN）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载8. 若一阶线性递推数列an=kan 1+b（k0,k 1）, 则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11kbakkbann(n 2) ，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲 例 1 设na是由正数组成的等比数列，Sn是其前 n 项和 . 证明：12122121log2loglognnnSSS。 例 2 一个球从100 米高处自由落下， 每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第 10 次着地时，共经过了多少米？（精确到 1 米）
16、 例 3一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18 岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？ 例 4 求数列,)23(1,101,71,41,11132naaaan的前n项和。 例 5 求数列,)1(6,436,326,216nn前n项和 例 6 设等差数列 an 的前n项和为Sn，且)()21(2NnaSnn，求数列 an的前n项和 例 7 大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n
17、位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载四、典型习题导练1在 1000，2000内能被3 整除且被4 除余 1 的整数有多少个？2某城市1991 年底人口为500 万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1% ，每年平均新增住房面积为 30 万m2，求 2000 年底该城市人均住房面积为多少m2？ ( 精确到 0.01) 3已知数列na中，nS是它的前n项和，并且241nnaS，11a（ 1） 设nnnaab21，求证数列nb是等比数列；（ 2） 设nnnac2，求证数列nc是等差数列。4. 在 ABC中，三边cba,成等差数列，cba,也成等差数列，求证ABC为正三角形。 5 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。6. 已知是一次函数，其图象过点，又成等差数列，求)()2()1 (nfff的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页