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1、- 1 - 高二数学下学期椭圆知识点1、椭圆的第一定义 ：平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF , 这个动点P的轨迹叫椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距 . 注意： 若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形 . 2、椭圆的标准方程1）当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac；2）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222bac；3、椭圆：12222byax)0(ba的简单几何性质（1）对称
2、性： 对于椭圆标准方程12222byax)0(ba：是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。（3）顶点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1aA，)0,(2aA，), 0(1bB，), 0(2bB。 线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221,bBB221。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率： 椭圆的焦距与
3、长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作acace22。因为)0(ca，所以e的取值范围是)10(e。e越接近 1，则c就越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ba时，0c，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx22。注意：椭圆12222byax的图像中线段的几何特征（如下图）：)2(21aPFPFePMPFPMPF2211；)2(221caPMPM；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 4、椭圆的令一个定义：到焦点的距离
4、与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有ePMPFPMPF22115：椭圆12222byax与12222bxay)0(ba的区别和联系一标准方程（焦点在x轴）)0(12222babyax（焦点在y轴）)0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。aMFMFM221212FFa第二定义： 平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于 1 的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。范围xaybxbya顶点坐标)0,(
5、 a(0,)b),0(a(,0)b对 称 轴x轴，y轴；长轴长为a2，短轴长为b2对称中心原点(0,0)O焦点坐标1( ,0)F c2(,0)Fc1(0, )Fc2(0,)Fc焦点在长轴上，22cab；焦距：122F FcM1F2FxyMM1F2FxyMM1F2FxyOM1F2FxyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 离 心 率ace(01e) ,abaace22222，e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆。准线方程cax2cay2准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：ca22顶点到准线的距离顶点1A（2A）到准
6、线1l（2l）的距离为aca2顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca2焦点到准线的距离焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为cca2焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca2椭圆上到焦点的最大（小）距离最大距离为：ac最小距离为：ac相关应用题：远日距离ac近日距离ac直线和椭圆的位置椭圆12222byax与直线ykxb的位置关系：利用22221xyabykxb转化为一元二次方程用判别式确定。相交弦 AB 的弦长2212121()4ABkxxx x通径：21AByy过椭圆上一点的切线12020byyaxx利用导数00221y yx xab利用导数焦半径01exaPF，02
7、exaPF01eyaPF，02eyaPF椭圆1.点 P 处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的 外角 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6.若000(,)P xy
8、在椭圆22221xyab外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7.椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyab（ ab0）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc, 2( ,0)F c00(,)M xy). 9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N 两点，则MF NF. 1
9、0.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M ，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF. 11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13.若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 推 导1.椭圆22221x
10、yab（a bo）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2.过椭圆22221xyab(a 0, b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC 有定向且2020BCb xka y（常数） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 3.若P 为椭圆22221xyab（ab 0）上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22a
11、ccoac. 4.设椭圆22221xyab（ab 0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 5.若椭圆22221xyab（a b0）的左、 右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为 椭 圆22221xyab（ a b 0） 上 任 一 点 ,F1,F2为 二 焦 点 ， A为 椭 圆 内 一 定 点 ， 则2112| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A FP三点
12、共线时，等号成立. 7.椭 圆220022()()1xxyyab与 直 线0AxByC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是2222200()A aB bAxByC. 8.已知椭圆22221xyab（ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（ 1）22221111|OPOQab; （2） |OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab; （ 3）OPQS的最小值是2222a bab. 9.过椭圆22221xyab（ab 0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN. 10.已知椭圆22221xyab（ a
13、 b0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11.设 P 点是椭圆22221xyab（ ab0） 上异于长轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记12F PF，则 (1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FSb. 12.设A、B 是椭圆22221xyab（a b 0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA， c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|sabPAac co.(2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
14、 - - - -第 5 页，共 6 页6 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13.已知椭圆22221xyab（ a b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B 两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点 . 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 . 16.椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ). （注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）17.椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页