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1、9/1/2021 1 巧解外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球. 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题， 既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法 (公式法 ) 1、求正方体的外接球的有关问题例 1 2006 年广东高考题假设棱长为3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的外表积为 _ . 27. 例 2
2、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，假设该正方体的外表积为24，则该球的体积为 _. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体外表积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是2 3所以球的半径为3.故该球的体积为4 3. 2、求长方体的外接球的有关问题例 3 2007 年天津高考题一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的外表积为. 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的外表积为14. 例 4、 2006 年全国卷I已知各顶点都在一个球面
3、上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的外表积为. A. 16B. 20C. 24D. 32解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选 C. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页9/1/2021 2 3.求多面体的外接球的有关问题例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为，则这个球的体积为. 解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则
4、有263,1,2936,384xxx hh正六棱柱的底面圆的半径12r，球心到底面的距离32d.外接球的半径221Rrd.43V球. 小结此题是运用公式222Rrd求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法 (补形法 )1、构造正方体例 5 2008 年福建高考题假设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的外表积是_. 解析： 此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径 .而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图 1，则
5、AC=BC=CD3，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求外表积是9.(如图 1) 例 3 假设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的外表积是 . 解据题意可知， 该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R，则有222223339R.294R. 故其外接球的外表积249SR. 小结一般地，假设一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为abc、 、R，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页9/1/2021
6、 3 则有2222Rabc. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长即【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，假设该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的外表积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即：所以球的外表积为例 6 2003 年全国卷一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的外表积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页9/1/202
7、1 4 A. 3B. 4C. 3 3D. 6解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体ABDE满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE2BE，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3，所以此球的外表积便可求得，故选A. (如图 2) 例 72006 年山东高考题 在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，0DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使AB、重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球
8、的体积为. A. 4 327B. 62C. 68D. 624解析： 如图 3 因为AE=EB=DC=1，0DAB=CBE=DEA=60，所以AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD，即三棱锥P-DCE为正四面体， 至此， 这与例 6就完全相同了，故选C. 例 8 2008 年浙江高考题已知球O的面上四点A、B、C、 D，DAABC平面，ABBC，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于. 解析：此题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DAABC平面，ABBC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4 所示的长方体，又因为DA=AB=BC=3，则
9、此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于92.如图 4DCB图ABEDCDCEP图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页9/1/2021 5 2、构造长方体例 92008 年安徽高考题已知点A、B、C、D 在同一个球面上，BBCDA平面，BCDC，假设6,AC=213,AD=8AB，则球的体积是. 解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径， 要求 B、 C 两点间的球面距离，只要求出BOC即可，在Rt ABC中，
10、求出=4BC，所以0C=60BO，故 B、C 两点间的球面距离是43.如图 5本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三.多面体几何性质法例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为 16，则这个球的外表积是A.16B.20C.24D.32解设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有2416x，解得2x. 22222242 6,6RR.这个球的外表积是2424R.选 C. DACBO图 4 ACBDO图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页9/1/2021 6 小结此题是运用 “
11、正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 四.寻求轴截面圆半径法例 4 正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点SABCD、 、 、 、都在同一球面上，则此球的体积为. 解设正四棱锥的底面中心为1O，外接球的球心为O，如图 1所示 .由球的截面的性质，可得1OOABCD平面. 又1SOABCD平面，球心O必在1SO所在的直线上. ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在ASC中，由22SASCAC，得222SASCAC. ASCAC是以为斜边的 Rt. 12AC43V球. 小结根据题意，我们可以选择最正确角度找出含有正棱锥特征元素的
12、外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.此题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 五 .确定球心位置法例 5 在矩形ABCD中，4,3ABBC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为A.12512B.1259C.1256D.1253解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知OAOBOCOD.点O到四面体的四个顶点ABCD、 、 、的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2 所示
13、 .外接球的半径52ROA.故3412536VR球.选 C. CDABSO1图3CAODB图4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页9/1/2021 7 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】： 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，,求球的体积。解：且，, 因为所以知所以所以可得图形为：在中斜边为在中斜边为取斜边的中点，在中在中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页9/1/2021 8 四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页