《2022年高一综合班数学第七讲倍角的正弦余弦正切 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高一综合班数学第七讲倍角的正弦余弦正切 .pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、优秀学习资料欢迎下载20XX 年寒春班高一A 数学第七讲（ 150212）倍角的正弦、余弦、正切一、复习与提高二角和与差的公式：sinsincoscos)cos(；sinsincoscos)-cos(sincoscossin)sin(；sincoscossin)sin(tantan1tantan)tan(；tantan1tantan)tan(tan+tan=tan(+ )(1-tantan)；)tan(tantantantan1.口诀：余弦和与差：积同名，号相异；正弦和与差：积名异，符号同；辅助角的应用：)sin(cossin22xbaxbxa.其中abtg，且角所在的象限与点),(ba所在象
2、限一致 . 常用常考结论：);4sin(2cossin);4sin(2cossin);6sin(2cossin3);6sin(2cossin3);3sin(2cos3sin);3sin(2cos3sin练习：1、已知 sin 2m5m1，cos mm1，且 为第二象限角，则m 的允许值为 () A.52m6 B 6 m52Cm4 Dm4 或 m32答案： C；解析： 由 sin2 cos2 1 得， (2m5m1)2(mm1)21，m4 或32，又 sin 0，cos 0，把 m 的值代入检验得，m4. 2、已知 、均为锐角，且tan cos sincos sin，则 tan( )_. 答案：
3、 1；解析： tan cos sincos sin，tan 1tan1tantan(4 )又 、 均为锐角， 4 ，即 4，tan( )tan41. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载3在 ABC 中，已知tanA3tanB，则 tan(AB)的最大值为 _，此时角A 的大小为 _解析： 由于 tan(AB)tanAtanB1tanAtanB3tanBtanB13tanB tanB2tanB1 3tan2B33.当且仅当13tanB 时取 “ ”号，则 tanB33? tanA3? A60 .
4、答案：33604在 ABC 中， 3sinA4cosB6,4sinB3cosA1，则 C 等于() A30B150C30 或 150D60 或 120答案： A； 解析： 已知两式两边分别平方相加，得2524(sinAcosBcosAsinB)2524sin(AB)37，sin(AB)sinC12，C30 或 150 .当 C150 时， AB30 ，此时 3sinA4cosB3sin304cos0112，这与 3sinA4cosB6 相矛盾， C30 . 5如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 、 ，它们的终边分别与单位圆相交于A、B 两点已知A、B 的横坐标分别为
5、210，2 55. (1)求 tan( )的值；(2)求 2 的值解： (1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos 210，cos 2 55.因 为锐角，故sin0，从而 sin 1cos2 7 210，同理可得sin 55.因此 tan 7，tan 12. 所以 tan( )tan tan1tan tan7121712 3. (2)tan( 2 )tan( ) 3121(3)12 1. 又 0 2，0 2，故 0 2 32，从而由 tan( 2 ) 1得 2 34. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页优秀学习资
6、料欢迎下载二、二倍角公式在上述公式中取即可得到二倍角公式：222tan1tan22tansincos2cos;cossin22sin又因为1cossin22，所以22sin211cos22cos。三、应用1正用例 1、设1312sin),2(，求2tan,2cos,2sin的值。解：135)1312(1cos,1312sin),2(2，.1191202cos2sin2tan;169119sincos2cos;169120cossin22sin22练习 1、已知 sin2 =135,42,求 sin4 ,cos4 ,tan4 的值 . 解:由42,得22 0，2k22k34 (kZ)，4k24k
7、32(kZ)，2 为第三象限角，cos21sin2253. 练习 2已知 cosx4210，x2，34.(1)求 sinx 的值； (2)求 sin 2x3的值解： (1)法一： 因为 x2，34，所以 x44，2，sin x41cos2x47210. sinx sin x44sin(x4)cos4cos(x4)sin47 210222102245. 法二： 由题设得22cosx22sinx210，即 cosxsinx15.又 sin2xcos2x1，从而 25sin2x5sinx120，解得 sinx45或 sinx35. 因为 x2，34，所以 sinx45. (2)因为 x2，34，故
8、cosx1sin2x145235. sin2x2sinxcosx2425，cos2x2cos2x1725. 所以 sin 2x3sin2xcos3cos2xsin3247350. 练习 3设 a sin15 cos15 ，bsin17 cos17 ，则下列各式中正确的是() Aaa2b22bBaba2b22Cba2b22aDbaa2b22答案： B；解析： a2sin(15 45 )2sin60 ， b2sin(17 45 )2sin62 ，b a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载a2b22
9、sin260 sin262 2sin60 sin62 3sin62 ，a2b22b a. 例 3、计算70sin170cos)5cot5(tan= . 解析：2)35cos35(sin35sin35cos5cos5sin5cos5sin70sin170cos)5cot5(tan22222= 练习、在 ABC 中,cosA=54,tanB=2,求 tan(2A+2B) 的值 . 活动： 这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如 A+B+C= ,0A,0B,0C, 就是其中的一个隐含
10、条件.可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对 2A+2B 与 A,B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预 .在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结 .基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B) 的值改为求tan2C 的值 . 解： 方法一 :在ABC 中,由 cosA=54,0A ,得sinA=.53)54(1cos122A所以 tanA
11、=AAcossin=5345=43, tan2A=724)43(1432tan1tan222AA又 tanB=2, 所以 tan2B=.342122tan1tan222BB于是 tan(2A+2B)=.17744)34(7241347242tan2tan12tan2tanBABA方法二 :在ABC 中,由 cosA=54,0A ,得sinA=.53)54(1cos122A所以 tanA=AAcossin5345=43.又 tanB=2, 所以 tan(A+B)=2112431243tantan1tantanBABA于是 tan(2A+2B)=tan2(A+B) 精选学习资料 - - - - -
12、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载=.11744)211(1)211(2)(tan1)tan(222BABA例 4、 如何用cos,sin分别表示3sin和cos。解：cos3cos4.)2cos(3cos3，即cos3cos43cos3同理有：3sin4sin33sin。)60sin(sin)60sin(43sin00; )60cos(cos)60cos(43cos00c; )60tan(tan)60tan(3tan00练习、 求 sin18和 cos36的值 . 解： sin36 cos54，即 sin（ 218） cos
13、（318）2sin18 cos18 4cos318 3cos18 cos18 0， 2sin18 4cos218 3 整理得 4sin218 2sin18 10 41518sin21)182cos(36cos)041518(sin41518sin2舍去说明： 本题通过二倍角和三倍角公式构造了关于sin18的方程求解，但利用 sin54 cos36很难解出sin18 .在解决三角函数问题的过程中也要适当注意一些代数方法的使用. 2逆用例 5 、化简2s i n2c o s44。解：2sin2cos44=cos)2sin2)(cos2sin2(cos2222。练习 1、已知)(sin)(sinsi
14、n)(222F，是否存在满足0的 、 使 F( )的值是一个与 无关的常数，若存在，试求出 、 的值；若不存在，请说明理由. 解析：22sinsin)0(, 0 F2222sin-sin3coscos1)2(,2F，)(sinsin)(,22F)(sinsin)(,22F43)(sinsinsin222023)sin(sinsin32,3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载练习 2、证明2cos2sin12cos2sin1=tan .活动： 先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力
15、争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种， 化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对 “1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励 .强调 “
16、1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它. 证明 :方法一 : 左=) 1cos21(cossin2)cos211(cossin2)2cos1 (2sin)2cos1(2sin22=22coscossincos1cossin=22coscossinsincossin)cos(sincos)sin(cossin=tan = 右. 所以 ,原式成立 . 方法二 : 左=22222222222cos22sinsin22sinsincos2sincossincossinsincossin=)cos(sincos2)cos(sins
17、in2=tan = 右 . 方法三 : 左=)sin(cos)cossin2cos(sin)sin(cos)cossin2cos(sin2cos)2sin1(2cos)2sin1(22222222=)sin)(cossin(cos)cos(sin)sin)(cossin(cos)cos(sin22=)sincoscos)(sincos(sin)cossincos)(sincos(sin=cos2)cos(sinsin2)cos(sin=tan = 右. 练习 3、化简：.4sin4cos14sin4cos1aaaa解： 原式aaaaaa2cos2sin22sin22cos2sin22cos22
18、2=)2cos2(sin2sin2)2sin2(cos2cos2aaaaaa=cot2 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载例 6、设223，且31sin)sin(cos)cos(，求2sin,2cos。解：31sin)sin(cos)cos(31)cos(即31cos，又223，所以322sin，924.cossin22sin;97.1cos22cos2练习、当0 x2时，函数f(x)1cos2x8sin2xsin2x的最小值为() A 2 B 2 3 C4 D 4 3 答案： C；解析： f
19、(x)1cos2x8sin2xsin2x2cos2x8sin2x2sinxcosxcosxsinx4sinxcosx2 cosxsinx4sinxcosx 4，当且仅当cosxsinx4sinxcosx，即 tanx12时，取 “”， 0 x2， 存在 x 使 tanx12，这时 f(x)min4. 例 7、化简),0(,sin1sin1xxx。练习、22cos821sin8的化简结果是() A 4cos42sin4 B 2sin4 C2sin44cos4 D 2sin4 答案： D；解析： 原式4cos242(sin4cos4)22|cos4|2|sin4cos4|，54432，cos40，
20、sin4cos4. 原式 2cos42(cos4sin4) 2sin4. 例 8、已知2)2tan(，求2cot精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载练习、求证：2tan24tan4tan。方法 1：tan1tan1.4tan,tan1tan1.4tan2tan2tan1tan4.4tan4tan2方法 2：由两角差的正切公式有2tan2)4cot()4tan(12tan)4tan()4tan(1)4()4tan(24tan4tan例 9、已知),2(,0cos2cossinsin622，求)32s
21、in(的值 . 分 析 ： 由0cos2cossinsin622得 ：0262tgtg， 则21tg或32tg. 又),2(， 所 以32tg. 由 万 能 公 式 得1312122sin2tgtg，135112cos22tgtg. 知261235)32sin(. 例 10已知532cos,542sinxx，则x在第几象限。解：第三象限。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载例 11、知关于x的方程02)cos(sin2sinxxax有实数根，求实数a的取值范围 . 分析 ：由xxxxxxx2si
22、n1coscossin2si n)cos(sin222，令txxco ssi n，则12si n2tx，其中2,2t.则关于t的方程012att在2,2t上有解 .注意到方程012att两根之积为 1，若有实根必有一根在 1 , 1内，只要0即可，得2a或2a. 练习 1已知 tan( 4) 3， (0，2)(1)求 tan的值； (2)求 sin(2 3)的值解： (1)由 tan( 4) 3 可得tan 11tan 3.解得 tan 2. (2)由 tan 2， (0，2)，可得 sin 2 55，cos 55.因此 sin2 2sin cos 45，cos2 12sin2 35，sin(
23、23)sin2 cos3cos2 sin34512353243310. 练习 2、已知 cos=71,cos(- )=1413,且 0 2,(1)求 tan2 的值 ;(2)求 .解:(1)由 cos=71,0 2,得 sin =a2cos1=.734)71(12tan =aacossin=17734=43.于是 tan2 =.4738tan1342tan1tan222aaa(2)由 0 2,得 0 -2. 又 cos( -)= 1413,sin( - )=.1433)1413(1)(cos122a由 =-( -), 得 cos=cos -( -)=coscos( -)+sin sin( -)
24、=711413+1433734=21. =3. 点评 :本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载练习 2、计算：cos10 3sin10 1cos80 _. 答案：2；解析：cos10 3sin10 1cos80 2cos(10 60 )2sin2402cos50 2sin40 2. 20XX 年寒春班高一A 数学第六讲（ 150210）课后作业1.不查表 ,求值解:原式 =2615cos15cos15sin
25、215sin)15cos15(sin222点评： 本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力. 2.(20XX 年高考海南卷,9) 若22)4sin(2cosaa,则 cos +sin 的值为A.27B.21C.21D.27答案 :C 3.(20XX 年高考重庆卷,6) 下列各式中 ,值为23的是 ( ) A.2sin15-cos15 B.cos215 -sin215C.2sin215 -1 D.sin215 +cos2答案 :B 5. (必修 4P108 习题 3.2 第 5(3)题改编 )若5272，则1sin1sin _答案： 2sin2解析：5272，54274. 1sin1sin12sin2cos212sin2cos2sin2cos22sin2cos22sin2 cos2sin2cos2 2sin2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页