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1、精品文档本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用导数教学设计一、指导思想与理论依据本课内容是人教社A版普通高中课程标准实验教科书数学第一章导数及应用导数的概念数学概念教学的核心价值是“凸现数学本质，强化问题教学，营造思维过程，实现育人价值” 本节课采用了探究式、发现式的教学方式，就是让学生观察、操作、比较有关的学习材料，自己去探索发现知识，获得概念、公式和原理二、教学背景分析授课内容分析自17 世纪牛顿和莱布尼兹发明微积分之后，微积分得到了突飞猛进的发展，并广泛应用于物理学、天文学、经济学等其它学科和生产生活的各个领域，推动了科学技术的迅猛发展，揭开了人类事业发展的新篇章导数作为微积分的核心概念
2、，其地位举足轻重中学数学教材把“导数及应用 ”单独作为一章， “导数的概念 ”是全章重点内容之一，这不仅源于导数自身的严谨结构，更重要的是，对导数的深入理解与熟练应用是一种高明而又复杂的数学思维用导数处理函数的相关问题更具普遍性，更能获得理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量、无限逼近的极限等思想，从而运用更高的数学工具和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题为了使导数的概念更容易被理解、接受，新教材改进了旧教材的方法，依据高中学生的认知水平，从平均变化率入手，用直观形象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
3、 1 页，共 12 页精品文档本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用的“无限逼近 ”方法定义导数，深入浅出的展示了导数概念的要领和实质学生情况分析通过对高一物理中平均速度、瞬时速度及前节课中平均变化率的学习，学生已经对变化率的概念有了初步的了解和( 来自: 海达范文网 : 导数教学设计 )和直观的认知，这些将对本课程的学习为了充分调动学生学习的积极性，变被动学习为主动愉快的学习，本课程将采用 “教师适时引导和学生自主探究发现相结合”的教学方式课堂教学始终贯彻“教师、学生为主体，探究为主线，思维为核心 ”的教学思想，通过创设问题情景，使学生们都能充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程；注重思考方
4、法的渗透，以已知探求未知，激发学生的学习热情；注重抽象概念不同意义间的转换，从实际意义入手，阐述数值意义，揭示几何意义；深入挖掘具体知识中所蕴涵的数学思想方法，使学生在数学的知识的广度和思维的深度上有所收获，逐步掌握数学研究的思考方式和方法2关于学习方式的指导丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念通过“导数概念 ”的学习，使学生学习数学家研究数学的方法，掌握“以已知探求未知 ”的学习方式，培养自主探索、动手实践、合作交流的良好学习习惯在本课程教学中，从“求高台跳水运动员在t?2s 时的瞬时速度 ”这个具体问题入手，引导和帮助学生动手计算、观察、分析、比较、归精选学习
5、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页精品文档本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用纳、发现规律，亲身经历数学研究过程，自然获得导数的概念本节课的核心概念，实现从具体问题抽象为一般问题的目标；然后指导学生运用导数的概念解决实际问题，体现导数的工具作用和数学应用价值3关于教学手段的选择现代信息技术的广泛应用正在对数学教学和数学学习产生深刻的影响，我们提倡信息技术与教学方式的适当结合，更好地揭示数学的本质，帮助学生正确地理解数学知识鼓励学生用信息技术进行探索和发现，有利于学生的数学学习本课程将运用计算机辅助教学利用PowerPoi
6、nt 幻灯片，活跃课堂气氛，丰富教学内容，提高学习效率；利用 flash课件的动态演示，展示数与形的优美结合，使信息技术真正为教学服务；学生相互合作，动手实践，利用计算器，真正经历从发现、类比到创新的全过程三、教学目标设计关于教学目标的制订1通过对高台跳水实例的分析，与学生共同体验由平均变化率到瞬时变化率的过渡，体会导数概念的实际背景领会瞬时变化率的实质，形成导数概念，了解导数内涵通过导数概念的形成过程，学习归纳、类比的推理方式；体验无限逼近、从特殊到一般、化归与转化的数学思想；提高广泛联系、抽象概括能力；培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等对立统一观点，形成正确的数学观教学重点与难点的确
7、定教学重点：导数定义的形成过程和导精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页精品文档本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用数的内涵教学难点：对导数定义的理解四、教学过程与教学资源设计教学基本流程：导数的背景教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1. 瞬时速度问题 1：一个小球自由下落，它在下落3 秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是s?12gt2. 当时间增量 ?t 很小时，从3 秒到秒这段时间内，小球下落的快慢变化
8、不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3 秒时的速度 . 从 3 秒到秒这段时间内位移的增量：?s?s(3?t)?s(3)?(3?t)?3?t?(?t)222?s?t?t.?s?t?t从上式可以看出，越接近米 / 秒；当 ?t 无限趋近于 0?s?t?s?t 无限趋近于米 / 秒. 此时我们说，当 ?t 趋向于 0 时，当 ?t 趋向于 0时，平均速度瞬时速度 .?s?t 的极限是的极限就是小球下降3 秒时的速度，也叫做一般地，设物体的运动规律是ss，则物体在 t 到这段时间内的平均速度为?s?t?s(t?t)?s(t)?t.如果?t 无限趋近于 0 时，?s?t?s?t
9、无限趋近于某个常数 a，就说当 ?t 趋向于 0 时，的瞬时速度 .2. 切线的斜率的极限为 a，这时 a 就是物体在时刻 t 问题 2：P是曲线y?x2 上的一点， Q是曲线上点 P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点 P趋近时割线 PQ的斜率的变化情况 . 析：设点 Q的横坐标为 1?x，则点 Q的纵坐标为 2，点 Q对于点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页精品文档本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用P的纵坐标的增量 ?y?(1?x)2?1?2?x?(?x)2 ，所以，割线PQ的斜率 kPQ?y?x?2?x?(
10、?x)?x2?2?x. 由此可知，当点 Q沿曲线逐渐向点 P接近时， ?x 变得越来越小， kPQ越来越接近 2；当点 Q无限接近于点 P时，即 ?x 无限趋近于 0 时，kPQ无限趋近于 2. 这表明，割线 PQ无限趋近于过点 P且斜率为 2 的直线 . 我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线 .由点斜式，这条切线的方程为：y?2x?1. 一般地，已知函数y?f(x) 的图象是曲线 C，P，Q是曲线 C上的两点，当点 Q沿曲线逐渐向点 P接近时，割线 PQ绕着点 P转动. 当点 Q沿着曲线无限接近点P，即?x 趋向于 0 时，如果割线 PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线 PT叫做曲线在点
11、 P处的切线 . 此时，割线 PQ的斜率 kPQ?y?x无限趋近于切线 PT的斜率 k，也就是说，当 ?x 趋向于 0 时，割线 ?y?xPQ的斜率 kPQ?3.边际成本的极限为k. 问题 3：设成本为 C，产量为 q，成本与产量的函数关系式为C(q)?3q2?10，我们来研究当 q50 时，产量变化 ?q 对成本的影响 . 在本问题中，成本的增量为： ?C?C(50?q)?C(50)?3(50?q)?10?(3?5022?10)?300?q?3(?q)2. 越接近产量变化 ?q 对成本的影响可用： ?C?q?C?q?300?3?q 来刻划， ?q 越小，?C?q300 ；当?q 无限趋近于
12、0 时，?C?q无限趋近于 300，我们就说当 ?q 趋向于 0 时，的极限是 300.?C?q 我们把的极限300 叫做当 q50 时 C(q)?3q2?10 的边际成本 . 一般地，设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页精品文档本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用C是成本， q 是产量，成本与产量的函数关系式为CC，当产量为 q0 时，产量变化 ?q 对成本的影响可用增量比 ?C?q?C?q?C(q0?q)?C(q0)?q刻划. 如果?q 无限趋近于 0 时，无限趋近于常数 A，经济学上称 A为边际成本 . 它
13、表明当产量为 q0 时，增加单位产量需付出成本A.二、小结瞬时速度是平均速度切线的斜率是割线斜率?q 趋近于 ?y?x?s?t 当?t趋近于 0 时的极限；切线是割线的极限位置，?C?q当?x 趋近于 0 时的极限；边际成本是平均成本当0 时的极限 . 三、练习与作业： 1. 某物体的运动方程为s(t)?5t2求它在t 2s 时的速度 .2. 判断曲线 y?2x2 在点 P处是否有切线，如果有，求出切线的方程.3. 已知成本 C与产量 q 的函数关系式为 C?2q2?5 ，求当产量 q80 时的边际成本 .4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h 与时间 t 之间的函数关系为 h?t
14、2 ，求 t 4s 时此球在垂直方向的瞬时速度.5. 判断曲线 y?6. 已知成本 C与产量 q 的函数关系为C?4q2?7 ，求当产量 q30 时的边际成本 .12x2 在处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 导数的概念教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数教学重点：导数的概念以及求导数教学难点：导数的概念教学过程：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页
15、精品文档本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用由此我们引出下面导数的概念二、新授课：1. 设函数 y?f(x) 在x?x0 处附近有定义，当自变量在x?x0 处有增量 ?x 时，则函数如果 ?x?0 时，Y?f(x) 相应地有增量 ?y?f(x0?x)?f(x0)，?y 与?x 的比叫函数的平均变化率）有极限即?y?x?y?x 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数，即/y?f(x)在 x?x0 处的导数，记作 yx?x0f(x0)?lim/f(x0?x)?f(x0)?x?x?02. 在定义导数的极限式中，?x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0，而?y 可能为 03.?y?x 是函数
16、y?f(x) 对自变量 x在?x 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y?f(x)上点及点 (x0?x,f(x0?x)）的割线斜率 4. 导数 f/(x0)?limf(x0?x)?f(x0)?x?x?0是函数 y?f(x) 在点 x0 的处瞬时变化率，它反映的函数y?f(x) 在点 x0 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y?f(x) 上点处的切线的斜率因此，如果 y?f(x) 在点 x0 可导，则曲线 y?f(x) 在点处的切线方程为 y?f(x0)?f/(x0)(x?x0)5.导数是一个局部概念，它只与函数 y?f(x) 在 x0 及其附近的函数值有关，与?x 无关 6. 在定义式中
17、，设 x?x0?x，则?x?x?x0，当?x 趋近于 0 时，x趋近于 x0，因此，导数的定义式可写成f(x0)?lim/f(x0?x)?f(x0)?x?x?o?limf(x)?f(x0)x?x0 x?x07.若极限 limf(x0?x)?f(x0)?x?x?0不存在，则称函数y?f(x)在点 x0 处不可导 8. 若 f(x) 在 x0 可导，则曲线 y?f(x) 在点有切线存在反之不然，若曲线y?f(x) 在点有切线，函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页精品文档本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用y?f(x
18、) 在 x0 不一定可导，并且，若函数y?f(x) 在 x0 不可导，曲线在点也可能有切线一般地，?x?0lim(a?b?x)? ，其中 a,b 为常数特别地， lima?a?x?0 如果函数 y?f(x) 在开区间(a,b) 内的每点处都有导数，此时对于每一个x?(a,b) ，都对应着一个确定的导数f(x) ，从而构成了一个新的函数f(x) 称这个函数 f(x) 为函数 y?f(x) 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即 f(x)ylim/?y?x?x?0?limf(x?x)?f(x)?xx?x0?x?0f(x0)/就是函数 y?f(x) 在开区间 (a,b)(x?(a,b)上导/x
19、?x0/ f(x0) 所以函数 y?f(x) 在 x0 处的导数也记作注：1. 如果函数 y?f(x) 在开区间 (a,b) 内每一点都有导数，则称函数 y?f(x) 在开区间导数的概念教学设计1. 教学目标知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数 . 过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力情感、态度与价值观目标：通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度2. 教学重、难点重点：导数的定义和利用定义如
20、何计算导数难点：对导数概念的理解3. 教学方法 1. 教法：引导式教学法在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页精品文档本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成2. 教学手段：多媒体辅助教学4. 教学过程情境引入导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹在研究力学与几何学的过程中建立起来的17世纪数学家遇到
21、的三类问题：一是光的反射问题光的反射和折射在 17 世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线 A图 1 光在平面上的反射图2 光在球面上的反射二是曲线运动的速度问题对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线三是曲线的交角问题曲线的交角是一个古老的难题自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角牛头角和弓形角即有过很多争议17 世纪数学家遇
22、到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线(二) 探索新知问题 1 已知：匀加速直线运动方程为：s(t)?v0t?刻的瞬时速度12at ，t?0,T，求：物体在 t0 时 2?若 t?t0 时平均速度的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页精品文档本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用极限存在，则极限s(t)?s(t0)v?limt?t0s(t)?s(t0)为质点在时刻 t0 的瞬时速度问题 2 已知：曲线 y?f(x) 上点M(x0,y0) ，求： M点处切线的斜率下面给出切线
23、的一般定义；设曲线 C及曲线 C上的一点 M ，如图，在 M外 C上另外取一点 N ，作割线 MN ，当 N沿着 C趋近点 M时，如果割线 MN 绕点 M旋转而趋于极限位置MT ，直线 MT就称为曲线 C在点 M处的切线问题解决：取在C上 M附近一点 N(x,y) ，于是割线 PQ的斜率为 y?y0f(x)?f(x0)x?x0 x?x0当 x?x0 时，若上式极限存在，则极限k?tan? 为点 M处的切线的斜率导数的定义定义设函数 y?f(x) 在 x0 的某邻域内有定义，若极限limx?x0f(x)?fx(0)f(x)?f(x0）存在，则称函数x?x0f 在点 x0 处可导，并称该极限为f
24、在点 x0 处的导数，记作 f (x0) 也可记作 y?x?x，of(x)?fx(0）lix?x0 x?x0dydx ，x?xodf(x) 若上述极限不存在，则称f 在点 x0 处不可导 dxx?xof 在 x0 处可导的等价定义：设x?x0?x,?y?f(x0?x)?f(x0)，若 x?x0 则等价于 ?x?0，如果函数 f 在点 x0 处可导，可等价表达成为以下几种形式：f (x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）?f(x0)?lim?x?0?xx?x0?f (x0)?lim?x?0f(x0?x)?f(x0）单侧导数的概念在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：定义设函数
25、y?f(x) 在点 x0 的某右邻域 (x0,x0?)上有定义，若右极限 ?x?0lim?f(x0?x)?f(x0）?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页精品文档本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用y?lim?x?x?0?x 存在，则称该极限为f 在点 x0 的右导数，记作 f?(x0)? 左导数 f?(x0)?yli?x?0?x左、右导数统称为单侧导数导数与左、右导数的关系：若函数y?f(x) 在点 x0 的某邻域内有定义，则f (x0) 存在?f?(x0) ，f?(x0) 都存在，且 f?(x0)=f? (x
26、0)知识巩固 2 例题 1 求f(x)?x在点 x?1 处的导数，并求曲线在点 (1,1) 处的切线方程解：由定义可得： ?yf(1?x)?f(1)(1?x)2?1f(1)?lim?lim?lim?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x?x2?lim?lim(2?x)?2?x?0?x?0?x 附注：在解决切线问题时，要熟悉导数的定义，并能通过导数的几何意义来解决一般问题例题2 设函数 f(x) 为偶函数， f?(0) 存在，证明： f?(0)?0证f(x)?f(?x)?f(?x)?f(?x)f(0?x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim?x?0?x?xf(?x)?f(0)f0?(?x)?
27、f(0)?lim?f?(0)?x?0?x?x又 f(0)?lim?x?0?lim?x?0?f?(0)?0附注：需要注意公式f (x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的灵活运用，它可以变化成其他的形式x?x0 例 3 证明函数 f(x)?|x|在 x?0 处不可导证明x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim?1，?x?0 x?0 x?0 x?0 xx?0 x?limx?0f(x)?f(0) 极限不存在 x?0 故 f(x)?|x|在 x?0 处不可导附注：判断一个函数在某点处是否可导，只需要考虑该点处的左右导数是否相等即可应用提高求曲线y?x 在点
28、处的切线方程为(A)x?2A.y=2x 1B.y=2x1=2x3=2x2 小结本节精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精品文档本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用课主要学习导数的基本概念，在经历探究导数概念的过程中，让学生感受导数的形成，并对导数的几何意义有较深刻的认识本节课中所用数学思想方法：逼近、类比、特殊到一般作业布置 1已知 f (1)?2012 ，计算： f(1?x)?f(1)f(1?x)?f(1)(2)lim?x?0?x?0?x?xf(1)?f(1?x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim?x?0?x?04?x?x(1)lim2.计算函数f(x)?2x?3在点处切线的方程2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页