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1、圆苑老师一、圆的概念集合形式的概念：1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相
2、等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 C在圆内；2、点在圆上dr点 B在圆上；3、点在圆外dr点 A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点 ；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；rddCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页drd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点dRr ；外切（图 2）有一个交点dRr ；相交（图 3）有两个交点RrdRr ；内切（图 4）有一个交点dRr ；内含（图 5）无交点dRr ；图 1rRd图3rRd五、垂径定
3、理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它 3 个结论，即： AB 是直径 ABCDCEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC图 2rRd图4rRd图 5rRdOEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页弧 AD中任意
4、2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 O中，AB CD弧AC弧 BD例题 1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是（）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D 在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（） A过弦的中点的直线平分弦所对的弧B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油
5、面宽度 AB 是_cm. 2、在直径为 52cm的圆柱形油槽内装入一些油后， ，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为_cm. 3、如图，已知在 O中，弦CDAB，且CDAB，垂足为 H ，ABOE于 E ，CDOF于 F . （1）求证：四边形 OEHF 是正方形 . （2）若3CH，9DH，求圆心 O 到弦 AB和 CD 的距离 . 4、已知： ABC 内接于 O，AB=AC ，半径 OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求 AB 的长5、 如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点， A 是的中点， ADBC 于 D，求证：AD=21BF. OCDAB精选
6、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页例题 3、度数问题1、已知：在 O中，弦cm12AB， O点到 AB 的距离等于 AB 的一半，求：AOB的度数和圆的半径 . 2、已知： O 的半径1OA，弦 AB、AC 的长分别是2、3.求BAC的度数。例题 4、相交问题如图，已知 O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=6cm，EB=2cm，BED=30，求 CD 的长. 例题 5、平行问题在直径为 50cm的O 中，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm，且 ABCD，求：AB 与 CD 之间的距离 . 例题 6、同
7、心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于 C、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD. 例题 7、平行与相似已知：如图， AB 是 O的直径， CD 是弦，于CDAEE，CDBF于 F .求证：FDEC. 六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：AOBDOE ； ABDE ；FEDCBAOA B D C E O OABDEFC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
8、- - - -第 4 页，共 12 页 OCOF ； 弧 BA弧 BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： AOB和ACB 是弧 AB所对的圆心角和圆周角2AOBACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 O中， C 、D 都是所对的圆周角 CD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 O中，AB 是直径或90C90CAB 是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC 中，OCOAOB
9、 ABC是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【例 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19 所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？CBAODCBAOCBAOCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页【例 2】如图，已知 O中，AB为直径， AB=10cm ，弦 AC=6cm ，ACB 的平分线交 O于 D ，求 BC 、AD和 BD的长【例 3】如图所示，已知AB为O的直径， AC为弦， OD BC ，交 AC
10、于 D ，BC=4cm （1）求证： AC OD ；（2）求 OD 的长；（3）若 2sinA1=0，求 O的直径【例 4】四边形 ABCD 中，AB DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a，如图，求 BD的长【例 5】如图 1，AB是半 O的直径，过 A、B两点作半 O的弦，当两弦交点恰好落在半O上 C点时，则有 AC AC BC BC=AB2（1）如图 2，若两弦交于点 P在半 O内，则 AP AC BP BD=AB2是否成立？请说明理由（2）如图 3，若两弦 AC 、BD的延长线交于 P点，则 AB2= 参照（ 1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性八、圆内接四边形圆的内接四边形定
11、理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 O中，四边形ABCD 是内接四边形180CBAD180BDDAECEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页例 1、如图 7-107，O中，两弦 AB CD ，M是 AB的中点，过 M点作弦 DE 求证： E，M ，O ，C四点共圆九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且 MN 过半径 OA外端MN 是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
12、推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、 PB是的两条切线PAPBPO平分BPA利用切线性质计算线段的长度例 1：如图，已知： AB是O的直径， P为延长线上的一点， PC切O于 C，CD AB于 D，又PC=4 ，O的半径为 3求：OD的长NMAOPBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
13、 - - - -第 7 页，共 12 页利用切线性质计算角的度数例 2：如图，已知： AB是O的直径， CD切O于 C，AE CD于 E，BC的延长线与 AE的延长线交于 F，且 AF=BF 求： A的度数利用切线性质证明角相等例 3：如图，已知： AB为O的直径，过 A作弦 AC 、AD ，并延长与过 B的切线交于 M 、N求证： MCN= MDN 利用切线性质证线段相等例 4：如图，已知： AB是O直径， CO AB ，CD切O于 D ，AD交 CO 于 E求证： CD=CE 利用切线性质证两直线垂直例 5： 如图，已知：ABC中， AB=AC ，以 AB为直径作 O ，交 BC于 D，D
14、E切 O于 D，交 AC于 E求证：DE AC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 O中，弦AB 、 CD 相交于点 P ，PA PBPC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 O中，直径ABCD ，2CEAE BE（3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 O中，PA是切线， PB是割线2PAPC PB（4）割线定
15、理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在 O中，PB、 PE是割线PC PBPD PE例1. 如图1，正方形 ABCD 的边长为 1，以 BC为直径。在正方形内作半圆O ，过 A作半圆切线，切点为 F，交 CD于 E，求 DE ：AE的值。PODCBAOEDCBADECBPAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页例2. O 中的两条弦 AB与 CD相交于 E，若 AE 6cm ，BE 2cm ，CD 7cm ，那么 CE _cm 。图2 例3. 如图3，P是O
16、外一点， PC切O 于点 C，PAB是O 的割线，交O 于 A、B两点，如果 PA ：PB 1：4，PC 12cm ，O 的半径为 10cm ，则圆心 O到 AB的距离是 _cm 。图3 例4. 如图4，AB为O 的直径，过 B点作O 的切线 BC ，OC交O 于点 E，AE的延长线交 BC于点D， （1）求证：； （2）若 AB BC 2厘米，求 CE 、CD的长。图4 例5. 如图5，PA 、PC切O 于 A、C ，PDB 为割线。求证： AD BC CD AB图5 例6. 如图6，在直角三角形 ABC中，A90，以 AB边为直径作 O ，交斜边 BC于点 D，过 D点作O 的切线交 AC
17、于 E。图6 求证： BC 2OE 。十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12OO垂直平分 AB 。BAO1O2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页即：1O、2O相交于 A、 B 两点12OO垂直平分 AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12RtO O C中，22221122ABCOO OCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。十四、 圆内正多边形的计算（1）正三角形在O 中ABC 是正三角形，有关计算在Rt
18、BOD 中进行：:1:3 : 2ODBDOB；（2）正四边形同 理 ， 四 边 形 的 有 关 计 算 在Rt OAE中 进 行 ，:1:1:2OEAE OA：（3）正六边形同 理 ， 六 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAB 中 进 行 ，:1 :3 : 2A BO BO A.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形： （1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlRn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S：扇形面积CO2O1BADCBAOECBADOBAOSlBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h3 .圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页