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1、四章节根轨迹法四章节根轨迹法4-1 4-1 根轨迹与根轨迹方程根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹的基本概念一、根轨迹的基本概念 所谓根轨迹就是指当系统中某个所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭环特参量由零到无穷大变化时，其闭环特征根（极点）在征根（极点）在s s平面上移动的轨迹平面上移动的轨迹2.2.根轨迹的分支数根轨迹的分支数n n阶系统根轨迹有阶系统根轨迹有n n个分支个分支3.3.根轨迹的对称性根轨迹的对称性根轨迹各分支连续且关于实轴对称根轨迹各分支连续且关于实轴对称4.4.根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线渐近线与实轴的倾角：渐近线与实轴的倾角：渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴
2、的交点：例例4-24-2 求下面闭环特征方程求下面闭环特征方程式根轨迹的渐近线式根轨迹的渐近线解：解：(21)aknm 0 ,1 ,2k 11anmjijipznm 21(4)(22)(1)0s sssKs 12(1)(4)(22)KsG s H ss sss 0j35145. 5. 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时，实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时， 这段区域必为根轨迹的一部分这段区域必为根轨迹的一部分 6.6.根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角起始角：起始角：始于开环极点的根轨迹，在起始于开环极点的根轨迹，在起 点处
3、的切线与水平线的正方向夹角点处的切线与水平线的正方向夹角 终止角：终止角：止于开环零点的根轨迹，在终止于开环零点的根轨迹，在终点处的切线与水平线的正方向夹角点处的切线与水平线的正方向夹角 1p1112)(21)mnijijpzppk 1z1112(21)nmjijizpzzk 例例4-34-3 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为求闭环系统大致根轨迹求闭环系统大致根轨迹K(1.5)(2j)(2j)( )(2.5)(0.51.5j)(0.51.5j)KsssGss sss 234p22112o)(21)79ijijjpzppk ， 24z21321,2o(21)149.5jjiiizpz
4、zk j1p2p3p4p2z3z07. 7. 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点 分离点（或会合点）：分离点（或会合点）：根轨迹在根轨迹在S S平面某一点相遇后又立即分开。平面某一点相遇后又立即分开。根轨迹上的分离点和会合点是与特征方程式的重根相对应的。根轨迹上的分离点和会合点是与特征方程式的重根相对应的。 分离点分离点会合点会合点分离点（或会合点）分离点（或会合点）d d坐标值的求取方法坐标值的求取方法: :检验：当解得多个检验：当解得多个s s值时，其中值时，其中k k* *值为正实数时或值为正实数时或s s是根轨迹是根轨迹上的点才有效。上的点才有效。1 1、d d坐标值由方程解
5、出坐标值由方程解出 3 3、由极值点求解、由极值点求解d d2 2 、重根法求解、重根法求解d d1111nmjijidpdz ( )( )( ) ( )0A s B sA s B s ( )( )( )0f sA sK B s 坐标值由坐标值由 解出解出d d d0dKs 例例4-44-4：已知已知 32( )320D ssssK ，试求系统闭环根轨迹的分离点坐标值，试求系统闭环根轨迹的分离点坐标值 方法方法1:1:解解方程法方程法( )(1)(2)KG ss ss 311111012jjspsss （舍去）（舍去） 120.423 ,1.57ss 开环传递函数开环传递函数 方法方法2:2:
6、重根法重根法( )1,( )0B sB s 32( )32A ssss 2( )362A sss ( )( )( ) ( )0A s B sA s B s （舍去）（舍去） 120.423 ,1.57ss 方法方法3:3:极值法极值法d0dKs 3232Ksss 2d3620dKsss 120.42,1.57ss （舍去）（舍去）8.8.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点sj1()()0G jH j Re 1()()0Im 1()()0G jH jG jH j 代入特征方程代入特征方程联立求解，联立求解，根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点值和值和相应的临界相应的临界K K值。值。9.9.根
7、之和根之和当当 22时时 nm 开环极点之和等于闭环极点之开环极点之和等于闭环极点之和和11mnijijsp 根之和不变根之和不变KK增大，一些根轨增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。另外一些根轨迹分支向右移动。（2 2）劳斯法）劳斯法（1 1）例例4-54-5 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为试利用基本法则绘制根轨迹。试利用基本法则绘制根轨迹。 解：解：由由“golden rule”golden rule”得得 j00K131565.5311.3535,K1.3535,KKK0K4-3 4-3 控制系统的根轨迹分析控制
8、系统的根轨迹分析系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系 利用根轨迹分析控制系统的性能利用根轨迹分析控制系统的性能 开环零点和极点对根轨迹的影响开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环极点的影响增加开环极点的影响增加一个惯性环节增加一个惯性环节增加开环零点的影响增加开环零点的影响加入一阶微分环节加入一阶微分环节系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系系统闭环主导极点与偶极子系统闭环主导极点与偶极子系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系 设设n n阶系统闭环传递函数为阶系统闭环传递函数为
9、 11mm-110B1nn-1101( )( )( )mmmiinnnjjKszb sbsb sbY sGsR sa sasa sass 单位阶跃响应为单位阶跃响应为 01( )ekns tkky tAA 111( )miinjjKszY ssss 110B110(0)mmiiiinnjjjjsKs zKzAGs ss k11kkkk1k1kmmiiiinnjjjjs sjKs zKszAss ssss 若若GB(s)无重极点无重极点001n11nnkkkAAAAAss ss sss s (2) (2) 要远离虚轴，且分布在要远离虚轴，且分布在 线附近；线附近；4 5 js单位阶跃响应为单位阶
10、跃响应为 01( )ekns tkky tAA 110B110(0)mmiiiinnjjjjsKs zKzAGs ss k11kkkk1k1kmmiiiinnjjjjs sjKs zKszAss ssss 定性关系定性关系(1) (1) 各闭环极点各闭环极点 ，j j=1,2,=1,2,n n ; ; R e0js (3) (3) 闭环极点间距大，闭环零、极点间距小。闭环极点间距大，闭环零、极点间距小。1.1.闭环主导极点闭环主导极点 离虚轴最近的闭环极点，称为闭环主导离虚轴最近的闭环极点，称为闭环主导极点。极点。2.2.偶极子偶极子 当一对闭环零、极点相距很近时，它们就当一对闭环零、极点相距
11、很近时，它们就构成偶极子。构成偶极子。系统闭环主导极点与偶极子系统闭环主导极点与偶极子增加开环极点的影响增加开环极点的影响增加极点对根轨迹形状的影响增加极点对根轨迹形状的影响 增加开环零点的影响增加开环零点的影响增加零点对根轨迹形状的影响增加零点对根轨迹形状的影响 例例1 1 分析分析K K的变化对系统稳定性的影响的变化对系统稳定性的影响利用根轨迹分析控制系统的性能利用根轨迹分析控制系统的性能系统稳定的系统稳定的K K的范围为的范围为: :0K350K352(3)( )( )(5)(6)(22)KsG s H ss ssss 例例2 2 分析分析K K的变化对系统的影响的变化对系统的影响设负反
12、馈系统的开环传递函数为设负反馈系统的开环传递函数为 求系统闭环根轨迹，并分析求系统闭环根轨迹，并分析 时系统的动态性能。时系统的动态性能。解解: :（1 1）当）当0K0.6860K0.686时，闭环有两时，闭环有两 实极点，响应为非周期的；实极点，响应为非周期的；（2 2）当）当0.686 K23.40.686 K23.4K23.4时，阶跃响应又同（时，阶跃响应又同（1 1） 但动态过渡过程较快些。但动态过渡过程较快些。 ( )( )KszG s H szps sp 2,4pz 211.7,23.4KK 110.34,20.686KKK例例2 2 单位反馈系统的传递函数为单位反馈系统的传递函
13、数为试绘出系统的闭环根轨迹，并分析其性能。试绘出系统的闭环根轨迹，并分析其性能。 2( )( )10KG s H sss 解解: :（1 1）绘出根轨迹，分析系统稳定性；）绘出根轨迹，分析系统稳定性；（2 2）估算）估算 时的时的K K值。值。例例3 3 单位反馈系统如图所示，单位反馈系统如图所示，%16.3% 解解: :21%e100%16.3%n 0.5 0.5 1s1,20.73j1.27s 40.73j1.27210.41K 10.41 160.65K 例例4 4 已知某系统闭环传递函数已知某系统闭环传递函数 试计算试计算 时的时的 和和 B21( )0.6710.010.081Gss
14、ss 解解: : 该闭环系统有三个极点该闭环系统有三个极点: :12,31.5,4j9.2ss B1( )0.671Gss % 1r t st%0 33 0.672stT该闭环系统有三个极点该闭环系统有三个极点: :12,31.5,4j9.2ss 例例5 5 已知某系统闭环传递函数已知某系统闭环传递函数 试计算试计算 时的时的 和和 B20.591( )0.6710.010.081sGssss % 1r t st%25% n3.50.9st 解解: :一个零点一个零点 1.7z B221100( )0.010.0818100Gsssss 4-4 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹零度根轨迹与
15、非最小相位根轨迹 系统特征方程的形式为系统特征方程的形式为 1-G(s)H(s)=0,1-G(s)H(s)=0,此时因为其相角遵循条件：此时因为其相角遵循条件：零度根轨迹与零度根轨迹与180180 根轨迹的区别体现在：根轨迹的区别体现在：1. 1. 实轴上的根轨迹；实轴上的根轨迹；2. 2. 渐近线与实轴的夹角；渐近线与实轴的夹角；3. 3. 出射角与终止角。出射角与终止角。零度根轨迹零度根轨迹( (其右方开环实数零、极点个数之和为偶数其右方开环实数零、极点个数之和为偶数) )*121()1(0,1,2,)()mjjkniiKszeksp a20, 1, 2kknm 1p11122mnijij
16、kpzpp 1z11122nmjijikzpzz 非最小相位根轨迹非最小相位根轨迹 若控制系统具有位于若控制系统具有位于s s右半平面的开环零、极点，右半平面的开环零、极点，则称该系统为非最小相位系统则称该系统为非最小相位系统 。绘制规则绘制规则: :（1 1）对于负反馈系统）对于负反馈系统按前述一般规则绘制；按前述一般规则绘制；（2 2）对于正反馈系统）对于正反馈系统按前述零度根轨迹规则绘制。按前述零度根轨迹规则绘制。 4-3 4-3 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系 利用根轨迹分析控制系统的性能利用根轨迹分析控制系统的性能 开环零点和极点对根轨迹的影响开环零点和极点对根轨迹的影响4-1 4-1 根轨迹与根轨迹方程根轨迹与根轨迹方程零度根轨迹零度根轨迹非最小相位根轨迹非最小相位根轨迹 4-4 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹零度根轨迹与非最小相位根轨迹 4-2 4-2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则34 结束语结束语