《2015-2016学年湖南省长沙一中高三(下)月考数学试卷(理科)(七)(解析版)综述.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015-2016学年湖南省长沙一中高三(下)月考数学试卷(理科)(七)(解析版)综述.pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 页2015-2016 学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 . （ 5 分）已知集合U=R , A=x|0WxW 2 , B=y|y=2 , x? R，则（ ?UA） AB=（）A . （-s, 0）B. （0, 1）C . （1 , 2 D . （2, +s）2. （5 分）（m - 1） （a- 1） 0是 log am 0 的一个（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C.充要条件 D . 既不充分也不必要条件3. A. 4. ( 七（5 分）若复数
2、z 满足Z2+2Z=2 页5. C . D .展开式中除常数项外的其余项的系数之和为（6. 5377 B . - 5377 C . 5375 D . - 5375 4 x1(5 分) 已知函数f ( x) =x+ , g ( x) =2 +a , 若？ xi ? , 1, x 2? X2 ? 2, 3，使得f ( xi) g ( X2), 则实数 a 的取值范围是（A . a1 7. （ 5 分）将函数）C. a 2 jr 9JT向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变, 横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g （x）的图象，则函数y=g （x）与，三，x轴围成的图形面积为（A .
3、B .(5 分) D - 3 页| x+y - 22 08 （5 分）已知不等式组表示平面区域Q,过区域Q中的任意一个点P, 作圆 x2+y2=1 的ly I. 请考生在第 ( 22) 、( 23) ( 24) 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上. 【选修 4-1：几何证明选讲】X456789频数1226402922 2 x - 1) +y =1 的圆心，过20. ( 12 分) 已知离心率为5 页22. ( 10 分)如图， O 为等腰三角形ABC 内一点，O O 与厶 ABC 的底边 BC 交于 M，N
4、两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点 . ( 1) 证明： EF/ BC ;6 页(2)若 AG 等于O O 的半径，且AE=MN=2 ，求四边形EBCF 的面积 . (I)写出O C 的直角坐标方程 ; (n) P为直线 I 上一动点，当P到圆心 C 的距离最小时，求P的直角坐标 . 【选修 4-5 : 不等式选讲】24. 若 a0, b0，且 + = . a b (I)求 a3+b3的最小值；(n)是否存在a, b, 使得 2a+3b=6 ?并说明理由 .【选修 4-4 : 坐标系与参数方程】23. 在直角坐标系轴建立极坐标系，OxOy 中，直线
5、I 的参数方程为(t为参数 ) ，以原点为极点 , x 轴正半轴为极C 的极坐标方程为p=2 sin 0. 7页2015-2016 学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （5 分）（ 2016 春？长沙校级月考）已知集合U=R , A=x|0 x 2 , B= y| y=2x, x? R, 贝卩（ ?UA ） AB= （ ）A . （-s, 0）B . （0, 1）C . （1 , 2 D. （2, +s）【分析】化简集合B, 求出集合 A 的补集
6、，再计算（ ?UA） AB 即可. 【解答】解：集合U=R , A=x|0W x2= （- s, 0）U（2, +s）, 又 B=y|y=2 , x? R=y|y 0 = （0 , +s）,?（ ?UA）nB= （2 , +s）.故选： D. 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目. 2. （5 分）（2016 春？长沙校级月考）“（m- 1） （a- 1） 0” 是 log am 0” 的一个（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件【分析】根据对数函数的图象和性质，解对数不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 定成立 ,
7、 故 （m- 1） （a- 1） 0是 logam 0的一个必要不充分条件，故选： B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数的性质是解决本题的关键，比较基础. 3. ( 5 分)( 2016 春？长沙校级月考 )若复数z 满足 z2+2z= - 10，则| z| = ( ) A. B . 刃C. 3 D .【分析】设z=x+yi ( x, y? R)，代入 z2+2z= - 10, 禾 U 用复数的运算法则、复数相等即可得出. 【解答】解：设z=x+yi ( x, y ? R), ?( x+yi) 2+2 ( x+yi) +10=0 ,2 2 ?x - y +2x+10+ (
8、2xy+2y ) i=0 ,2 2 ?x - y +2x+10=2xy +2y=0 ,“ m - 1) ( a- 1) 0 时, k,此时a 0” 不而当bgam 0 ”时，则“ m - 1) ( a- 1) 0” 成立, 【解8页?|z；-= .9页【解答】解 : 9展开式中的通项公式为: r r ?C9?2 9-r ?x 故选： D. 【点评】本题考查了复数运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 4. （5 分）（ 2015? 湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3, 则输出的 S=（第 1 次循环， S= , i=2 , 1X3第 2 次循环， S
9、= , i=3 , 1X3 3X5第 3 次循环， S= , i=4, 1X3 3X5 5X7此时， i n, 满足判断框的条件，结束循环，输出结果：1X3 3X5 5乂7 2 3 W 5 巧7 77故选： B【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力/ 覽s/A. 7【分析】【解答】B. C. D . 列出循环过程中S 与i解: 判断前 i=1 , n=3, 4 9的数值，满足判断框的条件即可结束循环. s=0,5. （ 5 分）（ 2016 春？长沙校级月展开式中除常数项外的其余项的系数之和为A . 5377 B . - 5377 C . 5375 D . - 5
10、375 【分析】利用二项展开式中的通项公式，求出展开式的常数项， 再令 求出展开式中除常数项外的其余项的系数和. x=1 可得展开式中各项系数和，由此10 页令 _ =0, 求得 r=3 , 2 所以展开式中常数项为(- 1) 3?C93?26= - 5376, 令 x=1 可得展开式中各项系数之和为( 2 - 1) 9=1, 所以展开式中除常数项外的其余项的系数之和为1+5376=5377 . 故选： A. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用问题，解题时应利用展开式的通项公式求出常数项，是基础题目 . 6. ( 5 分)( 2015? 郑州一模 ) 已知函数f ( x) =x+ , g (
11、 x) =2X+a, 若？ xi? , 1 , ? X2 2, 3，使x 得 f (X1) g ( X2), 则实数 a 的取值范围是 ( ) A . a 1 C. a 2 2 【分析】由？ X1 ? - 1 , 2，都？ X2? 1, 2，使得f ( X1) g ( X2), 可得 f ( x) =x +1 在 X1 ? - 1, 2的最小值不小于g (x) =ax+2 在X2? 1, 2的最小值，构造关于a 的不等式组，可得结论. 令 f ( x) 0, 解得： x 2, 令 f (x)v 0，解得： XV 2, ? f ( x) 在 , 1单调递减，2 ?f ( 1) =5 是函数的最小
12、值，当 X2? 2, 3时，g ( x) =2X+a 为增函数，?g ( 2) =a+4 是函数的最小值，又? X1? , 1，都？ X2? 2, 3，使得f (X1) g ( X2), 2 可得 f (x) 在 X1 ? , 1的最小值不小于g ( x) 在 X2? 2, 3的最小值，2 即 5 a+4, 解得： a 1, 故选： A. 【点评】本题考查的知识是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键. * 1 _ -：i:h - 向右平移个单位，再将所得的函数图象上的 -1O2 倍，得到函数y=g ( x) 的图象，贝 U 函数 y=g ( x) 与：，- , 2.
13、3 【解答】解：当X1? , 1时，由2 (x) =x+ 得,f ( X)7. ( 5 分)(2010? 聊城二模 ) 将函数各点纵坐标不变，横坐标变为原来的11 页点纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，得到函数y=g ( x)的图象，利用积分求函数y=g ( x) 与，厶X 轴围成的图形面积为( A - B -【分析】将函数 ：11呼向右平移 二个单位，推出函数解析式，再将所得的函数图象上的各C. D . 12 页【解答】解：将函数向右平移 丄个单位，得到函数_：i3- ：.-：；! . ：: - 1=sin （2x+n）= - sin2x , 再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变
14、为原来的 2 倍，得到函数y=g（ x）= - sinx 的图象，则函数y= - sinx 与. ，- ，?一 _，x 轴围成的图2 a 3ITr形面积： l ：- 一 + 产（sinx） dx= -cosx +cosx | 一 “ = +1=2 2故选 B 【点评】本题是中档题，考查三角函数图象的平移伸缩变换，利用积分求面积，正确的变换是基础，合理利用积分求面积是近年高考必考内容. x+y- 2逅& （5 分）（2015? 天水校级模拟）已知不等式组，葢2近表示平面区域Q,过区域Q中的任意一个.y I在二上的投影 | cos B可求【解答】解：设向量的夹角为0T | | =13, 1 1=1
15、: 1 = “I 二二匸=1 1 二12二 . - T -:T I在上的投影| | COS 0=COS 0 | , 亠， :., 故选 D 【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质及投影的定义的简单应用，解题的关键是弄清楚基本概念. 2 210. （ 5 分）（2014 秋？湖南校级期末）已知双曲线C 与椭圆+ =1 有相同的焦点Fl、F2, 点 P 为双曲线 C 与椭圆的一个交点，且满足|PF1| =2| PF2|，则双曲线 C 的渐近线方程是（）A . y= M x B . y= C . y= x D . y= x 2【分析】通过椭圆、双曲线的定义直接计算即可. 【解答】解：由椭圆定义可知
16、：| PF1|+| PF2| =6, 又T | PRI =2| PF2| ,? 3| PF2| =6，即 | PF2| =2, 由双曲线定义可知：| PF1| - | PF2| =2a , 又T | PF1| =2| PF2| , ? | PF2| =2a，即 a=1, 由已知，双曲线的焦半距c=2, 则 b=,?双曲线的渐近线方程为：y= V 次, 故选： A. 【点评】本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题. 11. ( 5 分)( 2016? 永州模拟 ) 已知函数y=f (x) 是 R 上的可导函数，当x丰0 时，有丨 Li则函数 F - 一 ，: 丄的零点个数是 (
17、) xA . 0 B . 1 C. 2 D . 3【分析】将函数 - . J 丄=0, 转化为 xf ( x) =-, 然后利用函数和导数之间的关系研究函数g ( x) X X=xf ( x) 的单调性和取值范围，利用数形结合即可得到结论. 【解答】解：由 - 、|- 一 - I - =0，得 xf ( x)=-, Q a * b _ a* b-_ u_la | |b | 13 13 14 页X X设 g (x) =xf (x), 则 g (x) =f ( x) +xf ( x), ? XM 0 时，有I . _ 丿- QK? xM 0 时，土X即当 x 0 时，g ( x) =f ( x)
18、+xf ( x) 0, 此时函数 g ( x) 单调递增，此时 g ( x) g ( 0) =0, 当 x v 0 时，g ( x) =f ( x) +xf ( x )v 0，此时函数 g ( x) 单调递减，此时 g ( x) g ( 0) =0, 作出函数 g(x) 和函数 y=- 的图象， ( 直线只代表单调性和取值范围) ，由图象可知函数丄X X的零点个数为1 个. 【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，禾U 用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，禾U 用数形结 合是解决本题的关键 . 12. ( 5 分)(2016 春?长沙校级月考 ) 已知数列an 是等差数列，数列bj 是等比
19、数列，公比为 q, 数列 cn中， Cn=anbn,Sn 是数列cn的前 n 项和，若 Sm=7, S2m= - 201 ( m 为正偶数 )，贝 V S4m的值为 ( ) A. - 1601 B . - 1801 C . - 2001 D . - 2201 【分析】令 A=Sm, B=S2m- Sm, C=S3m- S2m, 结合等差数列和等比数列的特征得到：B - q?A= ( am+1- a1) bm+1+ (a2m - am)b2m=md ( bm+1+b2m).同理 C - qm?B=md ( b2m+1+-+b2m) =md ( bm+1+-+b2m) ?qn, 故 C- qm?B
20、=qm( B - qm?A ) 代值可得11 (qm) 2+8qm- 208=0 , 求得 qm的值后，代入 ( S4m - S3m), 从而求得 S4m的值 .【解答】 解：令 A=Sm, B=S2m Sm, C=S3m S2m, 贝V qm?A= ( aibi+a2b2+ambm) qm=aibm+i+?+amb2m?故B qm?A= ( am+1 ai) bm+i+ + (a2m am) b2m=md ( bm+i+b2m), 其中， d 是数列 an的公差，q 数列bn的公比 . 同理 C qm?B=md ( b2m+i+b2m) =md ( bm+i+b2m) ?qn, 故 C qm
21、?B=qm( B qm?A)代值可得11 ( qm) 2+8qm- 208=0 , qm=4 或 qm=- 亍( 舍去，因m 为正偶数 ) ，又 S4m S3m= ( aibl+a2b2+ambm) q3m+3md ( bm+l+b2m)=11 X 43+3 ( B qm?A) X 42,3 3 =11 X 433X 12X 43, =1600 .故 S4m=S3m 1600= 1801 .2m q 15 页故选： B. 【点评】该题考查等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式，考查学生的运算求解能力，熟记相关公式是解题关键 . 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把
22、答案填在答题卷的横线上. 13. （ 5 分）（2016? 商丘二模） 5 个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为 24 . 【分析】由题设中的条件知，可以先把丙与丁必须相邻，可先将两者绑定，又甲与乙不相邻，可把丙与丁看作是一个人，与甲乙之外的一个人作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将甲乙两人插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可【解答】解：由题意，第一步将丙与丁绑定，两者的站法有2 种，第二步将此两人看作一个整体，与除甲乙之外的一人看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将甲乙两人插入三个
23、空，排法种数为A32则不同的排法种数为2 X A22X A32=2 X 2X 6=24 故答案为： 24.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是掌握并理解计数原理，计数时的一些技巧在解题时很有用，如本题中所用到的绑定，与插空，这些技巧都是针对某一类计数问题的，题后应注意总结一下，不同的计数问题中所采用的技巧，将这些技巧与具体的背景结合起来，熟练掌握这些技巧. 14. （5 分）（2012? 东莞二模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m， 第二次 出现的点数为 n, 向量 p= （m, n）, 孑（3, 6）, 贝U向量 1?与可共线的概率为 _ 寺_.
24、【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有 6 X 6 种结果，满足条件事件是向量共线，根据向量共线的条件得到6m 3n=0 即 n=2m ，列举出所有的结果数，得到概率. 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，?试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6X 6=36 种结果，满足条件事件是向量i.= （ m， n）与 =（3，6）共线，即 6m 3n=0，/? n=2m ，满足这种条件的有（1，2） （2，4） （3，6），共有 3 种结果，?向量与共线的概率P= ，7 3G 1216 页故答案为：12 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查向量共线的充要条件
25、，考查利用列举法得到所有的满足条件的事件数，本题是一个比较简单的综合题目. 15. （ 5 分）（ 2016 春？长沙校级月考）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是【分析】由已知中的三视图， 可知该几何体是一个底面为三角形的三棱柱，切去了一个三棱锥 . 该几何体 的体积等于三棱柱体积减去三棱锥的体积. 【解答】 解：由三视图可知， 该几何体是一个底面为三角形的三棱柱，切去了一个三棱锥 . 该几何体的体积等于三棱柱体积减去三棱锥的体积. 如图 三棱柱体积 那么该几何体的体积为：【点评】本题考查了对三视图的认识和理解，解决本题的关键是得到该几何体的形状是如何而来的，才能解决此题?属于中档题
26、 .一 _ 三棱锥的体积故答案为：(2) 由正弦定理得到16. ( 5 分)( 2016 春？长沙校级月考 )数列 an中，已知 ai=5, a2=19, a3=41，当 n3 时， 3 (an- an-1) =an+i an-2, 贝V aio= 419 . 【分析】判断数列an-an-1是等差数列，求出通项公式，然后求解a10即可. 【解答】解：数列an中，已知a1=5, a2=19 , a3=41，当 n3 时， 3 ( an - an-1) =an+1 - an-2, 可得：2 ( an - an -1) = ( an+1 - an) + ( an- 1 - an -2), 所以数列
27、an- an-1是等差数列， d=a3- a2- a2+a1=8, a2 - a1=14,a3 - a2=22, an+1 - an=8n+6 ,累加可得an=2n ( 2n+1 ) - 1, 又 a1o=419 .故答案为： 419. 【点评】本题考查等差数列通项公式的应用，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力. 三、解答题：本大题共5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. ( 12 分)( 2015? 衡水四模 ) 在厶 ABC 中，角 A , B, C 所对的边分别为a, b, c, 函数 f ( x) =2cosxsin( x- A) +sin
28、A ( x? R) 在 x= 处取得最大值 . 12 (1) 当：. 匕匸 . 厶_时，求函数 f( X)的值域；2(2) 若 a=7 且 sinB+sinC= 门；: ，求 ABC 的面积 .14(1)由于 A 为三角形内角，可得A 的值，再由 x 的范围可得函数的值域; (2)由正弦定理求得b+c=13 ，再由余弦定理求得bc 的值，由 ABC 的面积等于 I，-, 算出即可 . 2【解答】解：T函数 f (x) =2cosxsin (x - A) +sinA =2cosxs in xcosA 2cosxcosxsi nA+si nA =sin2xcosA cos2xsinA=sin (2
29、x A)R1T 又T?函数 f ( x) =2cosxsin ( x - A) +sinA ( x ? R) 在处取得最大值 . 12 ，其中k? z, 即，其中 k? z?J1(1)TA?(0, n)A=? = ? 2x - A【二? 丁;，贝 U sinB+sinC= sinA ,sinA sinB+sinC a 13 页【分析】禾 U 用三角函数的恒等变换化简函数f ( x) 的解析式为sin ( 2x - A) ，由于函数在处取得最大值. 令: 十 一丁. 丁、一 =，其中k ?乙解得 A 的值, sin ，即函数f ( x) 的值域为 : 5兀18 页即，? b+c=1314 7 2
30、 2 2 2 2 由余弦定理得到a =b +c - 2bccosA= ( b+c) - 2bc - 2bccosA 即 49=169 - 3bc, . bc=40 故 ABC 的面积为： S= J.【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题. (1)求 和；的值 ( 用样本书序期望、方差代替总数数学期望、方差) ; (2)如果这个军区有新兵 10000 名，试估计这个军区新兵步枪射击个人平均成绩在区间(7.9, 8.8上的人数. 【分析】(1)由题意得随机抽取的100 个成绩的分布列，由此求出E ( X), D ( X), 由此能求出卩，轧 . (
31、2) 由( 1) 知 X ? N ( 7 , 0.8), 从而 P( 7.9V X 8.8)=丄P ( 5.2v X 8.8 ) - P( 6.1 X 7.9) =0.1359 . 由2 此能求出这个军区新兵50m 步枪射击个人平均成绩在区间( 7.9.8.8 上的人数 . 【解答】解：( 1)由题意得随机抽取的100 个成绩的分布列为：X456789频率0.010.020.260.400.290.02?E (X) =4 X 0.01+5X 0.02+6X 0.26+7 X 0.40+8X 0.29+9X 0.02=7.2 2 2 2 2 D ( X) = (4 - 7) X 0.01+ (
32、5 - 7) X 0.02+ (6 - 7) X 0.26+ ( 7 - 7) X 0.40+ (8 - 7) X 0.29+ ( 9 - 7)2 X 0.02=0.8 .?样本成绩是随机得到的，?由样本估算总体得：尸 E (X ) =7, 2=D (X ) =0.8 . ( 2) 由( 1) 知 X ? N ( 7, 0.8), 0.9,. 2=0.9 ,?P ( 7.9X 8.8) = P ( 5.2 X 8.8)- P ( 6.1 X 7.9) 2=J. . .：_ =0.1359 .?这个军区新兵50m 步枪射击个人平均成绩在区间( 7.9.8.8 上的人数约为：10000 X 0.1
33、359=1359.【点评】本题考查总体数学期望、方差的求法，考查概率的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用. 19. ( 12 分)( 2015? 山东) 如图，在三棱台DEF - ABC 中， AB=2DE , G, H 分别为 AC , BC 的中点 . (I)求证： BD /平面 FGH ;(H)若 CF 丄平面ABC , AB 丄 BC, CF=DE ，/ BAC=45 求平面FGH 与平面ACFD 所成的角 ( 锐角) X456789P 频数 V12264029218.( 12 分)(2016 春？长沙校级月考 ) 某军区新兵50m 步枪
34、射击个人平均成绩X ( 单位：环 ) 服从正态分布 N ( 卩，2),从这些个人平均成绩中随机抽取，得到如下频率分布表：19 页的大小 .20 页D【分析】（I）根据 AB=2DE 便可得到 BC=2EF ，从而可以得出四边形EFHB 为平行四边形，从而得到BE / HF，便有 BE / 平面 FGH ，再证明 DE / 平面 FGH，从而得到平面BDE / 平面 FGH ，从而 BD / 平面 FGH ; （H）连接HE, 根据条件能够说明HC, HG, HE 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标. 连接BG, 可说明 上：为平面
35、ACFD 的一条法向量，设平面FGH 的法向量为 ；二（葢，y, z）,根据* 兰一即可求出法向量7,设平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角tn-HG=O 为0,根据 cos9=|Cg| 即可求出平面FGH 与平面 ACFD 所成的角的大小 . 【解答】解：（I）证明：根据已知条件，DF / AC , EF / BC , DE / AB ; DEFABC ，又 AB=2DE ,? BC=2EF=2BH ,?四边形 EFHB 为平行四边形；?BE / HF , HF?平面 FGH , BE?平面 FGH ;?BE / 平面 FGH ; 同样，因为GH ABC 中位线， ? GH / AB ;
36、 又DE / AB ; ? DE / GH ; ? DE / 平面FGH , DE ABE=E ; ?平面 BDE/ 平面FGH , BD?平面 BDE ; ? BD / 平面FGH ; （n）连接HE ,贝 UHE / CF; ?/ CF 丄平面ABC ; ? HE 丄平面ABC , 并且 HG 丄 HC ; ? HC, HG , HE 三直线两两垂直，分别以这三直线为x, y, z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 HC=1 , H ( 0, 0, 0), G ( 0 , 1 , 0), F (1 , 0 , 1), B (- 1 , 0 , 0); 连接 BG, 根据已知条件BA=BC
37、 , G 为 AC 中点；? BG 丄 AC; 又 CF 丄平面ABC , BG?平面 ABC ;21 页? BG 丄 CF, AC nCF=C ;? BG 丄平面ACFD ;?向量 门；：?- J：为平面 ACFD 的法向量 ; 设平面 FGH 的法向量为弋,则: 设平面 FGH 和平面 ACFD 所成的锐二面角为B,则： cos 9=| cos ?匕丨=一；V2*V2 2 ?平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角为 60【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角
38、的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义. 20. ( 12 分)( 2016 春？长沙校级月考 ) 已知离心率为 丄一的椭圆的右焦点 F 是圆 ( x2 2 - 1) +y =1 的圆心，过椭圆上的动点P 作圆两条切线分别交y 轴于 M, N ( 与 P 点不重合 ) 两点 . (1)求椭圆方程；(2)求线段 MN 长的最大值，并求此时点P 的坐标 . 【分析】 ( 1)根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a, 最后根据 a, b 和 c 的关系求得 b, 则椭圆方程可得；( 2) P ( xo, yo)
39、, M ( 0, m) , N( 0 , n), 把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断X0的范围，把直线PM 的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM 和 PN 的距离 . 求得 X0和 y0的关系式，进而求得m+n 和 mn 的表达式，进而求得| MN | . 把点 P 代入椭圆方程根据弦长公式求得MN | . 记 f ( x) =2 - ，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f ( x) 的值域，进(X _ 2 ) 而求得当勺=- l：l,时，| MN | 取得最大值，进而求得yo, 则 P 点坐标可得 . 2 2 【解答】解：由圆 ( x - 1)
40、+y =1 的圆心坐标为： ( 1, 0), ? c=1, 由 e=丄一，即 a= ,a 2,2 2 2 b =a - c =1,亍色二出丸 ，取 z=i , n?HG=y=O 则: - n _：；22 页?椭圆方程；( 2) 设 P ( xo , y0) , M ( 0 , m), N ( 0 , n),23 页记 f ( x) =2 - : ，贝y f ( x)= -仗-2) 2 (x - 2) 3? x? (- , o) 时，f ( x )v o ; x ?( o, 2- ) 时， f ( x )v o, ? f ( x )在(- , o ) 上单调递减，在 ( o, 2- ) 内也是单
41、调递减 , 显然，由 f ( x) 的单调性可知： f ( x) max=2 , /?I MN 丨max=2*jj此时 xo= - J 故P点坐标为 (-“；, o), 为椭圆左顶点 . 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题. 2 21. ( 12 分)(2oi6 春？长沙校级月考 ) 已知函数f (x) =e2( In x+a - 1) ( e=2.71828 为自然对数的底数在定义域上单调递增 . (1)求实数 a 的取值范围；- 9由* 2十丫 1 ，解得： x
42、=2- 近，x=2+ 逅( 舍去) ，& - 1 )5/二 1? xo= (- , o)U( o, 2- ), yn_ m 直线 PM 的方程为： y- m= x，即 (yo- m) x - xoy+mxo=o, XO7o ( XO_ 2) m +2yom - xo=O 2 ( xo- 2) n +2yon ? m 和 n 是方程：( xo- 2) t - xo=O,2 +2yot - xo=O 的两个根 ,? m+n= 2y0mn= x0/?I MN 丨=丨 m - n 24 页(2)当实数 a 取最小值时，设，证明：ex34334325页【分析】 ( 1) 先求导函数，再构造函数Inx+a
43、 - 1+ ，则 ymin0，再求导，根据导数和函数最值的关系即可求出；(2)先求导，再构造函数h (x) =ex( ex - 2) +ex2，根据导数和函数单调性的关系得到故存在唯一 0, 使 h ( X。) =0，再求出端点值，即可证明，令 F ( x) =lnx + , G ( x) =e %，根据导数和函数单调性的关系得到lnx+ -ex ei 利用放缩法即可证明【解答】解： ( 1 )T f (x) =e2( Inx+a - 1), ? f ( x) =e2( Inx+a - 1+ ) 0，对 x0 恒成立，?In x+a - 1+ 0, 对 x 0 恒成立 , 令 y=lnx +a
44、 - 1+丄，贝 U ymin 0, ，当 Ov xv 1 时，yv 0,又 h( ) = ( -2+ ) =故 g ( x) mi ny|y=g ( x )，x ? 寺，罰X0 XF( )- G() ，当 x 1 时, y 0 , 故(2) 由(1)可知 , ymin=a 0,9g ( x) =lnx + ex -x “e - 1, _1 _ 2=-z exx / - +e x ，_ 2 丫 - - 八、, x0, 2 K e x? 已=ex( ex - 2) +ex2,=ex( ex+e - 2) +2ex 0,+R)上单调递增，又 h ( 0) = - 2, h () =, e e故存在
45、唯一X00, 使 h ( X。)=0, 故 g ( x) 在( 0, X0) 上递减，在 ( X0, +s)上递增 , h ( x)h (x) 二 h ( x) 在(0, 3+ ) ，/ ex 1+x, _ 1 _J_- = ? 4 4( 1-) =，3.4e 2+16 4E+L6 * 13 7 49 7 19 14 343 26 页F (乂) 在(0,) 上递减，又v三3 7 e故 F (x) 在 , 上递减，又G ( x)在 , 上也递减，故当x? , 时, 272 72 71-x -lnx+ - e F() -G ( 丄=ln_+ - e = -e-ln ,ex727 2e2e4/ In
46、 =ln7 - ln4= dx , 4又当 x ? 丄，时，W -2 7 x 28dx v - 1 - - dx=4工 4 28 56故- e - In - - =2e 4 56 2e Ve 56 56 49X 14X L 7- 9X 2. 72 o 12 - =- 0, 14e 14e再由可知 g ( x) +1 对一切正数 x 成立56 【点评】本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，以及恒成立的问题，采用放缩法和构造法是关键, 计算量很大，属于难题 . 请考生在第 (22) 、( 23) ( 24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目
47、的题号涂黑，把答案填在答题卡上. 【选修 4-1: 几何证明选讲】22. ( 10 分)(2015? 新课标 II)如图， O 为等腰三角形ABC 内一点，O O 与厶 ABC 的底边 BC 交于 M , N 两点，与底边上的高AD 交于点 G, 且与 AB , AC 分别相切于 E, F 两点. (1)证明： EF/ BC ; (2)若 AG 等于O O 的半径，且AE=MN=2 ，求四边形EBCF 的面积 . 【分析】(1) 通过 AD 是/ CAB 的角平分线及圆O 分别与 AB、AC 相切于点 E、F, 利用相似的性质即得结论；(2) 通过( 1 )知 AD 是 EF 的垂直平分线，连
48、结OE、OM，贝 U OE 丄 AE，利用 SAABC - SAEF计算即可 . 【解答】(1) 证明：? ABC 为等腰三角形， AD 丄 BC, ? AD是/ CAB 的角平分线，又?圆 O 分别与 AB、AC 相切于点 E、F,9令 F ( x) =lnx+ ,ex G ( x) =e _x 27 页? AE=AF ,? AD 丄 EF, ? EF / BC ;（2）解：由（ 1 ）知 AE=AF , AD 丄EF,? AD是 EF 的垂直平分线 , 又? EF 为圆 0 的弦，? O 在 AD 上，连结 OE、OM ，贝 U OE 丄 AE，由 AG 等于圆 O 的半径可得AO=2OE
49、 , ?/ OAE=30 ? ABC 与厶 AEF 都是等边三角形 ,?/ AE=2 ,? AO=4 , OE=2 ,?/ OM=OE=2 , DM=MN= , ? OD=1 , ? AD=5 , AB=3?四边形 EBCF 的面积为 丄? | L_X2 3 2 2【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题. 【选修 4-4 : 坐标系与参数方程】（I）写出O C 的直角坐标方程；（n）P为直线 I 上一动点，当P到圆心 C 的距离最小时，求P的直角坐标 . 2 2 2卩 +y 代入即可得出；y= p sin0（11）设P丄.? 一； .
50、，又利用两点之间的距离公式可得|PCI=，再利用二次函数的性质即可得出. 【解答】解：（ I）由O C 的极坐标方程为p=2 sin 0.? p=2 ：】门 ，化为x2+y2= ,配方为 ? / （V - .： r -=3.(II ) 设 P: 丄- 一又 C . ?|PC上亍； W 八r= -2，因此当 t=0 时，I PCI 取得最小值 2 . 此时 P ( 3, 0). 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质, 考查了推理能力与计算能力，属于中档题. （2V3）223. （ 2015? 陕西）在直角坐标系xOy 中，直线 I 的参数方