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1、4.2 4.2 指数函数指数函数 某种细胞分裂时某种细胞分裂时, ,第一次由第一次由1 1个分裂成个分裂成2 2个，第个，第2 2次由次由2 2个分裂成个分裂成4 4个，如此下去，个，如此下去，如果第如果第x x次分裂得到次分裂得到y y个细胞，那么细胞个细胞，那么细胞个数个数y y与分裂次数与分裂次数x x的函数关系是什么？的函数关系是什么？ 思考思考1：第一次第一次 y x 1 2 3 4 x122232422x第第 次次x x通过分析通过分析y y与与x x应有应有如下关系：如下关系：第二次第二次4 4第三次第三次第四次第四次8 81616.？24816y分裂次数：分裂次数：细胞个数：细
2、胞个数：一个一个细胞细胞2 2表达式：表达式：2xy )(*Nx 思考思考2 2：庄子庄子天下篇天下篇中写道：中写道：“一尺之棰，一尺之棰，日取其半，万世不竭。日取其半，万世不竭。”请你写出截取请你写出截取x x次后，木次后，木棰剩余量棰剩余量y y关于关于x x的函数关系式？的函数关系式？截取截取次数次数木棰木棰剩余剩余1 1次次2 2次次3 3次次4 4次次x x次次尺尺12尺尺141 1尺尺8 81 1尺尺1616x x1 1尺尺2 2( )x x1 1y( )y( )2 2 2 21 1( )( ) 尺尺2 23 31 1( )( ) 尺尺2 24 41 1( )( ) 尺尺2 2尺尺
3、12以以上上两两个个函函数数有有何何共共同同特特征征？均均为为幂幂的的形形式式(1);底底数数是是一一个个正正的的常常数数(2);自自变变量量x x在在指指数数位位置置(3).x x1 1y( )y( )2 2 x xy2y2 ， 一、指数函数的定义一、指数函数的定义指数函数的定义：指数函数的定义：一般的，函数一般的，函数y = ay = ax x(a0(a0，且，且a1a1）叫做指数函数，其中）叫做指数函数，其中x x是自变量，函数的定是自变量，函数的定义域是义域是R R。探究探究1 1：指数指数函数函数y = ax 为什么要规定为什么要规定a0a0，且，且a1a1呢？呢？若若a=0a=0，
4、则当，则当x0 x0时，时，= =0 0；xa无无意意义义。xa当当x0 x0时，时，若若a0a0a0，且，且a1a12.2.如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤。个指数函数？请你说出它的步骤。* *判断一个函数是否是一个指数函数的步骤是：判断一个函数是否是一个指数函数的步骤是：一是看一是看底数底数是否是一个是否是一个正的且不为正的且不为1 1的常数；的常数；二是看二是看自变量自变量是否是一个是否是一个x x且在且在指数位置上指数位置上； 1. 1.为什么指数函数为什么指数函数y=ay=ax x的定义域是实数集？的定义
5、域是实数集？ 因为当因为当a0a0时，时，x x可以取任意的实数，所以指数可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集函数的定义域是实数集R.R.三是看底数前面的三是看底数前面的系数是否为系数是否为1 1。(1)y=1.8(1)y=1.8x x (xR) (2)y=0.9(xR) (2)y=0.9x x (xR)(xR)(3)(3)y=0y=0 x x (xR) (4)y=1 (xR) (4)y=1x x (xR) (xR) (5)y=x(5)y=x3 3 (6)y=(-3)(6)y=(-3)x x (xR) (xR) (7)y= (8)(7)y= (8)练习练习1 1：下列哪些是指数函数？
6、下列哪些是指数函数？x3212 xy* *判断一个函数是否是一个指数函数的步骤是：判断一个函数是否是一个指数函数的步骤是：一是看一是看底数底数是否是一个是否是一个正的且不为正的且不为1 1的常数；的常数；二是看二是看自变量自变量是否是一个是否是一个x x且在且在指数位置上指数位置上；三是看底数前面的三是看底数前面的系数是否为系数是否为1 1。探究探究2 2：函数函数xy32是指数函数吗？是指数函数吗？指数函数的解析式指数函数的解析式 y =y =xa中，中，xa的系数是的系数是1.1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如kayx (a0(a0且且a a1
7、 1，k kZ)Z)； 有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如 xay) 1a, 0(且a因为它可以化为因为它可以化为 xay1) 1a1, 01(且a不是不是* *判断一个函数是否是一个指数函数的步骤是：判断一个函数是否是一个指数函数的步骤是：一是看一是看底数底数是否是一个是否是一个正的且不为正的且不为1 1的常数；的常数；二是看二是看自变量自变量是否是一个是否是一个x x且在且在指数位置上指数位置上；三是看底数前面的三是看底数前面的系数是否为系数是否为1 1。例例1 1：已知指数函数已知指数函数f(x)=af(x)=ax x(a0(a0，且，且
8、a1a1），）， 且且f(3)=f(3)=，求，求f(0)f(0)、f(1)f(1)、f(-3)f(-3)的值的值. .二、指数函数的图象和性质二、指数函数的图象和性质用描点法画出指数用描点法画出指数函数函数y=2y=2x x和和 的图象的图象。x x1 1y y2 2。Rx2y、1x的图像的图像函数函数用列表描点的方法作出用列表描点的方法作出)( 1 10.50.51 12 22 20.250.253 30.130.130 01 13 38 82 24 4指数函数的图像指数函数的图像-1-1-4-4-3-3-2-2-1-101 11 12 22 23 34 43 34 4xy(2,4)(2,
9、4)(1,2)(1,2)( (0,1),1)(-1,(-1,0.5).5)(-2,(-2,0.25).25) y=1R）（x2yx x xy y。Rx21y、2x的图像的图像描点的方法作出函数描点的方法作出函数用列表用列表)()( 0.50.51 1-1-12 20 01 10.130.133 3-3-38 80.250.252 2-2-24 4-1-1-4-4-3-3-2-2-1-101 11 12 22 23 34 43 34 4xy(-2,4)(-2,4)(-1,2)(-1,2)( (0,1),1)(1,(1,0.5)5)(2,0.25)(2,0.25) y=1R）（x）21（yx x
10、xy y、比比较较函函数数与与函函数数图图像像xx13y2 (xR)y( )2R）（x）21（yx y=1R）（x2yx ( (0,1),1)xy0 两个函数图象关于两个函数图象关于y y轴对称轴对称Oxy(0,1)y=1xay Oxy(0,1)y=1xay 定义域：定义域：值域：值域：奇偶性：奇偶性：在在R R上是上是增增函数函数在在R R上是上是减减函数函数单调性：单调性：R R), 0( 非奇非偶函数非奇非偶函数过点（过点（0 0，1)1)即即x=0 x=0时，时，y=1y=1 x0 x0时，时，y1y1；x0 x0时，时，0y10y0 x0时，时，0y10y1；x0 x1y1 1 a1
11、0 a图图象象性性质质定义域：定义域：R R值域：值域：), 0( 奇偶性：奇偶性：非奇非偶函数非奇非偶函数过点过点(0(0，1) 1) 即即x=0 x=0时，时，y=1y=1 单调性：单调性： 指数函数指数函数y=ay=ax x (a0 (a0，且，且a1a1）的图象和性质：）的图象和性质：例例3.3.比较下列各题中两个值的大小：比较下列各题中两个值的大小：(1) 1.7(1) 1.72.52.5，1.71.73 3; ;(2) 0.8 (2) 0.8 ，0.8 ;0.8 ;(3) 1.7(3) 1.70.30.3，0.90.93.13.1. .2 3 1.1.若函数若函数y ya ax x
12、b b1(a1(a0 0且且a1)a1)的图象经过的图象经过第二、三、四象限，则一定有第二、三、四象限，则一定有( () ) A.0 A.0a a1 1，b b0 0 B.aB.a1 1，b b0 0 C.0 C.0a a1 1，b b0 0D.aD.a1 1，b b0 0 补充练习：补充练习：C2.2.如图是指数函数如图是指数函数y ya ax x，y yb bx x，y yc cx x，y yd dx x的图象，则的图象，则a a，b b，c c，d d与与1 1的大小关系的大小关系是是( () ) A.a A.ab b1 1c cd d B.b B.ba a1 1d dc c C.1 C
13、.1a ab bc cd d D.a D.ab b1 1d dc cB 补充练习：补充练习：x=1x=1Oxy(0,1)y=1xay Oxy(0,1)y=1xay 定义域：定义域：值域：值域：奇偶性：奇偶性：在在R R上是上是增增函数函数在在R R上是上是减减函数函数单调性：单调性：R R), 0( 非奇非偶函数非奇非偶函数过点（过点（0 0，1)1)即即x=0 x=0时，时，y=1y=1 x0 x0时，时，y1y1；x0 x0时，时，0y10y0 x0时，时，0y10y1；x0 x1y1 1 a10 a图图象象性性质质定义域：定义域：R R值域：值域：), 0( 奇偶性：奇偶性：非奇非偶函数非奇非偶函数过点过点(0(0，1) 1) 即即x=0 x=0时，时，y=1y=1 单调性：单调性： 指数函数指数函数y=ay=ax x (a0 (a0，且，且a1a1）的图象和性质：）的图象和性质：