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1、第四节第四节 常用经济函数及其经济分析中的导数常用经济函数及其经济分析中的导数一一.成本函数与收入函数成本函数与收入函数二二.边际成本、边际收入、边际利润边际成本、边际收入、边际利润首页首页上页上页下页下页首页首页上页上页下页下页归纳归纳: 边际边际是指自变量增加1个单位时,因变量的增量(即边际量边际量). 边际分析法边际分析法就是分析自变量变动1个单位时,因变量会变动多少的方法.用数学方法描述如下:设函数 可导.根据导数和微分的定义,有 ( )f x0( )limxyfxx 因此，当 很小时，有 。于是 x( )yfxx()( )( )yf xxf xfxx 特别地， 1x 当 时，有 。
2、( ) 1( )yfxfx ( )yf x( )fx这就是说，当自变量增加1个单位时,函数的增量近似地等于其导数值.因此,通常我们把函数 的导数 称为边际函数边际函数. 首页首页上页上页下页下页222|3|12xxyx3yx2x 例如，例如，函数 ，在点 处的边际函数值为 ，2x xy它表示当 时， 改变个单位， 改变12个单位1.边际成本边际成本( )CC qq( )C qq总成本函数 （ 为产量）的导数 ，称为产量为 单位时的边际成本( )C qq( )C q 经济意义：边际成本 表示当产量为 时，再生产个单位产品时总成本将改变 个单位 .边际需求边际需求 ( )QQ pp( )Q pp
3、需求函数 （ 为价格）的导数 ，称为价格为 单位时的边际需求首页首页上页上页下页下页( )Q pp( )Q p 经济意义：边际需求 表示当价格为 时，价格再上涨个单位，需求量将改变个 单位边际收入（收益）边际收入（收益）( )RR qq( )R qq 总收入函数 （ 为产量）的导数 ，称为产量为 单位时的边际收入( )R qq( )R q 经济意义：边际收入 表示当销售量为 时，再多销售个单位产品时总收入将改变个 单位 边际利润边际利润( )LL qq( )L qq 总利润函数 （ 为产量）的导数 ，称为产量为 单位时的边际利润 由于总利润为总收入与总成本之差，即有首页首页上页上页下页下页(
4、)( )( )L qR qC q上式两边求导，得( )( )( )L qR qC q即边际利润等于边际收入与边际成本之差即边际利润等于边际收入与边际成本之差( )L qq( )L q 经济意义：边际利润 表示当产量为 时，再生产个单位产品时总利润将改变个 单位首页首页上页上页下页下页最大利润最大利润( )RR q( )CC q 问题：已知总收入函数 及总成本函数 ，如何求出最大利润？ 对利润函数 在给定的区间上求最值而最大（或最小）利润有可能在区间端点和区间内部取得但是，若事先能断言最大（或最小）利润只能在区间内部取得，且利润函数L在区间内部只有唯一的驻点，则可断言，最大（或最小）利润在该点取
5、得LRC这表明在生产这表明在生产1千升基础上再多生产千升基础上再多生产1升，需成本升，需成本1元；在生产元；在生产4千升基础上再多生产千升基础上再多生产1升，仅需成本升，仅需成本075元，这表明：产量越高，成本越低元，这表明：产量越高，成本越低首页首页上页上页下页下页【例【例1】某商品产量为某商品产量为 （千升）时的成本函数（千升）时的成本函数为为 （千元），其中（千元），其中 ，求求 时的边际成本，并给以适当的经济解时的边际成本，并给以适当的经济解释释x( )34C xx05x1,4x 3( )2MCCxx解：解： 边际成本函数边际成本函数1x 1.5MC 4x 0.75MC 当当 时，时，
6、 ；当；当 时，时，首页首页上页上页下页下页( )L xx2( )2505L xxx10,25,30 x 例例2 2 某企业生产一种产品，每天的总利润 （元）与产量 （吨）之间的函数关系为 ，求 时的边际利润，并给以适当的经济解释解解 边际利润函数 ( )250 10MLL xx25x (25)0L 当 时， （元）；它表明在每天生产25吨的基础上，再多生产1吨，总利润没有变化，这1吨产量并没有产生利润10 x (10)150L 当 时， （元）；它表明在每天生产10吨的基础上，再多生产1吨，总利润将增加150元 当 时， （元）；它表明在每天生产30吨的基础上，再多生产1吨，总利润将要减少5
7、0元 30 x (30)50L 从本题可以看出：并非生产的产品数量越多，利润就越高首页首页上页上页下页下页【例【例3】设总收入和总成本设总收入和总成本(以元为单位以元为单位)分别由下分别由下列两式给出：列两式给出：其中其中 求获得最大利润时求获得最大利润时 的数量，的数量，怎样的生产水平将获得最小利润？怎样的生产水平将获得最小利润？ 2( )50.003,( )300 1.1R qqq C qq01000qq2( )50.003(300 1.1 )L qqqq2( )3.90.003300L qqq( )3.90.006L qq( )0L q650q 所以所以 时有最大利润，时有最大利润， 时
8、有最小利润时有最小利润 650q 0q (650)967.59L(0)300L (1000)600L( )( )( )L qR qC q解解: 因为总利润因为总利润 ，所以，所以即即:所以所以令令，得，得因为因为首页首页上页上页下页下页课外作业：课外作业：P89 习题习题3-4 1、3题题 P89 习题3-4 2题 课堂练习课堂练习 ： Cx2( )900100 xCC x.某产品总成本 （元）为产量 （个）的函数 求生产100个产品时的平均单位成本及边际成本(10,2)250.25xp12x .设某产品的需求函数是 ，求边际收入和 的边际收入值(4)30000 10000 xpxp10000 x 15000 x 设产品的需求函数为 ， 表示月需求量（单位：件）， 表示价格（单位：元）生产该产品的月固定成本为10000元，每件产品的可变成本是0.80元求产品的边际利润，分别求出 和 时的边际利润，并求出使边际利润为零的价格 18 结束语结束语