《2022年人教版高中数学必修五数列复习提纲及例题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年人教版高中数学必修五数列复习提纲及例题 .pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高一数学必修5数列复习提纲第1页共11页数列复习1. 数列的通项求数列通项公式的常用方法：（ 1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n在变化过程中的联系，初步归纳公式。（2）公式法：等差数列与等比数列。（3）利用nS与na的关系求na：11,(1),(2)nnnSnaSSn（4）构造新数列法； （5）逐项作差求和法； （ 6）逐项作商求积法2. 等差数列 na中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性；（2）1(1)naand()manm d；（3）nka也成等差数列； (4) 两等差数列对应项和( 差) 组成的新数列仍成等差数列.
2、(5)1211221213,mmmmmmmaaaaaaaaaLLLL仍成等差数列. （6）1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad，21()22nddSnan，2121nnSan，( )(21)nnnnAaf nfnBb. (7) 若mnpq，则mnpqaaaa；若2pqm，则2pqmaaa,()0pqpqaq ap pqa，,()()pqpqSq Sp pqSpq；m nmnSSSmnd. (8) “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；（9）等差中项：若,a A b成等差数列，则2abA叫做,a b的等差中项。（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法
3、、中项法、通项法、和式法、图像法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 高一数学必修5数列复习提纲第2页共11页3. 等比数列na中：（1）等比数列的符号特征 ( 全正或全负或一正一负) ，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。（2）11nnaa qnmma q；（3）|na、nka成等比数列； nnab、成等比数列nna b成等比数列 . （4）两等比数列对应项积(商) 组成的新数列仍成等比数列. （5）1211
4、,mkkkmaaaaaaLLL成等比数列 . （6）111111 (1) (1)(1) (1) (1)1111nnnnnaqnaqSaaaa qaqqqqqqqq. （7）pqmnpqmnbbbb；22mpqmpqbbbmnmnmnnmSSq SSq S. （8） “首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1 的项的积；“首小于 1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1 的项的积；（9）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数,a b同号时，实数,a b存在等比中项. 对同号两实数,a b的等比中项不仅存在，而且有一对Gab . 也就是说， 两实数要么没
5、有等比中项( 非同号时 ) ，如果有，必有一对 ( 同号时 ) 。（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法4. 等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列5. 数列求和的常用方法：（1）公式法 ：等差数列求和公式；等比数列求和公式1123(1)2nn nL，22221123(1)(21)6nn nnL，2135(21)nnL，2135(21)(1)nnL. （2）分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和 . （ 3）倒序相加法 ：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有
6、其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）. （4）错位相减法 ：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！ ） （这也是等比数列前n和公式的推导方法之一）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - -
7、 - - - 高一数学必修5数列复习提纲第3页共11页(5 ）裂项相消法 ：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和 . 常用裂项形式有：111(1)1n nnn11 11()()n nkk nnk，1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1. 研究通项的性质例题 1. 已知数列na满足1111,3(2)nnnaaan. （ 1）求32,aa；（ 2）证明：312nna. 解： （1）21231,314,3413aaaQ. （ 2）证明：由已知113nnnaa，故)()()(12211a
8、aaaaaannnnn1213133312nnnaL， 所以证得312nna. 例题 2. 数列na的前n项和记为11,1,21(1)nnnS aaSn（）求na的通项公式；（）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,ab abab成等比数列，求nT. 解： （）由121nnaS可得121(2)nnaSn，两式相减得：112,3(2)nnnnnaaaaan，又21213aS213aa故na是首项为 1，公比为3 的等比数列13nna（）设nb的公比为d，由315T得，可得12315bbb，可得25b故可设135,5bd bd，又1231,3,9aaa，由题意可得2
9、(51)(59)(53)dd，解得122,10dd等差数列nb的各项为正，0d2d2(1)3222nn nTnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 高一数学必修5数列复习提纲第4页共11页例题 3. 已知数列na的前三项与数列nb的前三项对应相同，且212322.aaa128nnan对任意的*Nn都成立，数列nnbb1是等差数列 . 求数列na与nb的通项公式；是否存在Nk，使得(0,1)kkba，请说明理由 .
10、 点拨：（1）2112322.28nnaaaan左边相当于是数列12nna前 n 项和的形式，可以联想到已知nS求na的方法，当2n时，1nnnSSa. （2）把kkab看作一个函数，利用函数的思想方法来研究kkab的取值情况 . 解： （1）已知212322aaa12nna8n(n*N）2n时，212322aaa2128(1)nnan(n*N）得，128nna，求得42nna，在中令1n，可得得4 1182a，所以42nna(nN* ）. 由题意18b，24b，32b，所以214bb，322bb，数列1nnbb的公差为2)4(2，1nnbb2)1(4n26n，121321()()()nnnb
11、bbbbbbbL( 4)( 2)(28)nL2714nn(n*N）. （2）kkba2714kk42k，当4k时，277( )()24f kk42k单调递增，且(4)1f，所以4k时，2( )714f kkk421k，又(1)(2)(3)0fff，所以，不存在k*N，使得(0,1)kkba. 例题 4. 设各项均为正数的数列an和bn满足： an、bn、an+1成等差数列， bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项 an，bn解：依题意得：2bn+1 = an+1 + an+2a2n+1 = bnbn+1 an、bn为正数，由得21211,
12、nnnnnnbbabba，代入并同除以1nb得：212nnnbbb，nb为等差数列 b1 = 2 ， a2 = 3 ，29,22122bbba则，2)1(),1(22)229)(1(22nbnnbnn，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 高一数学必修5数列复习提纲第5页共11页当 n2 时，2)1(1nnbbannn，又 a1 = 1，当 n = 1 时成立，2)1(nnan2. 研究前 n 项和的性质例题 5.
13、已知等比数列na的前n项和为2nnSab，且13a. （1）求a、b的值及数列na的通项公式；（2）设nnnba，求数列nb的前n项和nT. 解： （1）2n时，aSSannnn112.而na为等比数列，得aaa1112，又31a，得3a，从而123nna.又123,3aabbQ. （ 2）13 2nnnnnba，21123(1)3222nnnTL23111 1231(23 22222nnnnnTL） ，得2111111(1)232222nnnnTL，111 (1)2412(1)13232212nnnnnnnT. 例题 6. 数列na是首项为 1000，公比为110的等比数列，数列b n满足1
14、21(lglglg)kkbaaakL*()Nk，（1）求数列b n的前n项和的最大值； （2）求数列|b |n的前n项和nS. 解： （1）由题意：410nna，lg4nan，数列lgna是首项为3，公差为1的等差数列，12(1)lglglg32kk kaaakL，1(1)7322nn nnbnn由100nnbb，得67n，数列b n的前n项和的最大值为67212SS. （2）由（ 1）当7n时，0nb，当7n时，0nb，当7n时，212731132()244nnnSbbbnnnL当7n时，12789nnSbbbbbbLL27121132()2144nSbbbnnL名师资料总结 - - -精品
15、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 高一数学必修5数列复习提纲第6页共11页22113(7)4411321(7)44nnnnSnnn. 例题 7. 已知递增的等比数列na 满足23428aaa，且32a是2a，4a的等差中项 . （1）求na的通项公式na； （2）若12lognnnbaa，12nnSbbbL求使1230nnSn成立的n的最小值 . 解： （1）设等比数列的公比为q（q1） ，由a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q
16、3=2（a1q2+2） ，得： a1=2，q=2 或 a1=32，q=12（舍）an=2 2（n1）=2n（2） 12log2nnnnbaan， Sn=（1 2+2 22+3 23+ n 2n）2Sn=（ 1 22+2 23+ n 2n+1） ， Sn=2+22+23+2nn 2n+1=（ n1） 2n+12，若 Sn+n 2n+130 成立，则 2n+132，故 n4， n的最小值为5. 例题 8. 已知数列na的前 n 项和为 Sn，且11,nnS a成等差数列，*1,1Nna. 函数3( )logf xx. （I）求数列na的通项公式；（II）设数列nb满足1(3)()2nnbnf a，
17、记数列nb的前 n 项和为 Tn，试比较52512312nnT 与的大小 . 解： （I）11,nnS aQ成等差数列，121nnSa当2n时，121nnSa. 得：112()nnnnSSaa，13nnaa，13.nnaa当 n=1 时，由得112221Saa， 又11,a2213,3,aaana是以 1 为首项 3为公比的等比数列，13.nna（II）xlogxf3，133()loglog 31nnnf aan，11111()(3)()2(1)(3)213nnbnf annnn，1 111111111111()2 24354657213nTnnnnL1 1111()2 2323nn525,1
18、22(2)(3)nnn比较52512312nnT 与的大小，只需比较2(2)(3)nn与 312 的大小即可 . 222(2)(3)3122(56156)2(5150)nnnnnn又2(15)(10)nn*,Nn当*19Nnn且时，5252(2)(3)312,;12312nnnnT即当10n时，5252(2)(3)312,;12312nnnnT即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 高一数学必修5数列复习提纲第7页共
19、11页当*10Nnn且时，5252(2)(3)312,12312nnnnT即. 3. 研究生成数列的性质例题 9. （I） 已知数列nc，其中nnnc32，且数列nnpcc1为等比数列，求常数p；（II） 设na、nb是公比不相等的两个等比数列，nnnbac，证明数列nc不是等比数列. 解： （）因为 cn+1pcn是等比数列，故有（cn+1pcn）2=（ cn+2pcn+1） （cnpcn1） ，将 cn=2n3n代入上式，得2n1+3n1p（2n3n）2=2n2+3n2 p（2n+13n+1）2n+3np（2n13n1），即（ 2p）2n+（3p）3n2 =（2p）2n+1+（3p）3n+
20、1 （2p）2n1+（3p）3n1，整理得61（2 p） （3p） 2n 3n= 0，解得 p=2 或 p=3. （）设 an、bn的公比分别为p、q，pq，cn=an+bn. 为证 cn不是等比数列只需证22cc1 c3. 事实上，22c=（a1pb1q）2=21ap221bq22a1b1pq，c1 c3=（a1b1） （a1 p2b1q2）= 21ap221bq2a1b1（p2q2）. 由于 pq，p2q22pq，又 a1、b1不为零，因此22cc1 c3，故 cn不是等比数列 . 例题 10. n2（ n4）个正数排成n 行 n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所
21、有公比相等已知 a24=1，163,814342aa求 S=a11 + a22 + a33 + + ann解：设数列 1ka的公差为 d， 数列 ika（i=1，2，3， n）的公比为q则1ka= a11 + （ k1）d ， akk = a11 + （k1）dqk1依题意得：163)2(81)(1)3(31143311421124qdaaqdaaqdaa，解得： a11 = d = q = 21又 n2个数都是正数，a11 = d = q = 21， akk = kk2nnS212132122132，1432212132122121nnS，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -
22、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 高一数学必修5数列复习提纲第8页共11页两式相减得：nnnS22121例题 11. 已知函数3( )log ()fxaxb的图象经过点) 1 ,2(A和)2, 5(B，记( )*3,.f nnanN（1）求数列na的通项公式；（2）设nnnnnbbbTab21,2，若)(ZmmTn，求m的最小值；（3）求使不等式12)11 ()11)(11 (21npaaan对一切*Nn均成立的最大实数p. 解： （1）由题意得2)5(log1)
23、2(log33baba，解得12ba，)12(log)(3xxf*)12(log, 1233Nnnann（2）由（ 1）得nnnb212，nnnnnT21223225232113211132212232252232121nnnnnnnT得)21212121(2121n22222222221T211n2n2111nn1n321n1n1n1n21n2212321n2. nn2nn23n2321n2213T，设*,232)(Nnnnfn，则由1512132121)32(252232252)()1(1nnnnnnfnfnn得*,232)(Nnnnfn随n的增大而减小n当时，3nT又)(ZmmTn恒成立
24、，3minm（3）由题意得*21)11()11)(11 (121Nnaaanpn对恒成立记)11()11)(11(121)(21naaannF，则11n21n2) 1n() 1n(4) 1n(2)3n2)(1n2(2n2)a11()a11)(a11(1n21)a11)(a11()a11)(a11(3n21)n(F)1n(F2n211nn21)(),() 1(, 0)(nFnFnFnF即是随n的增大而增大名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - -
25、- - - - - - 高一数学必修5数列复习提纲第9页共11页)(nF的最小值为332)1 (F，332p，即332maxp. （二）证明等差与等比数列1. 转化为等差等比数列. 例题 12. 数列na中，2,841aa且满足nnnaaa122，*Nn. 求数列na的通项公式；设|21nnaaaS，求nS；设nb=1(12)nna*12(),()NNnnnTbbbnL，是否存在最大的整数m，使得对任意*Nn，均有nT32m成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解： （1）由题意，nnnnaaaa112，na为等差数列，设公差为d，由题意得2832dd，82(1)102nann.
26、（2）若50210nn则，|,521nnaaaSn时21281029,2nnaaannnL6n时，nnaaaaaaS765212555()2940nnSSSSSnn故40n9nnn9S22n56nn（3）111 11()(12)2 (1)21nnbnan nnnQ，nT1111111111(1)()()()()22233411nnnnL.2(1)nn若32nmT对任意*Nn成立，即116nmn对任意*Nn成立，*()1NnnnQ的最小值是21，1,162mm的最大整数值是7. 即存在最大整数,7m使对任意*Nn，均有.32nmT例题 13. 已知等比数列nb与数列na满足3 ,nanbnN*.
27、 （1）判断na是何种数列，并给出证明；（2）若8131220,aambbbL求. 解： （1）设nb的公比为 q，3nanb，qlog1naa3q331na1nan1。所以na是以3log q为公差的等差数列. （2）813,aam所以由等差数列性质可得120813,aaaam123aaa12020()20102aaam1220()10122033aaambbbLL名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 高一数学必修
28、5数列复习提纲第10页共11页2. 由简单递推关系证明等差等比数列例题 14. 已知数列na和nb满足：11a，22a，0na，1nnnba a（*nN） ，且nb是以q为公比的等比数列. （I）证明：22nnaa q；（II）若2122nnncaa，证明：数列nc是等比数列；（III ）求和：1234212111111nnaaaaaaL. 解法 1： （I）证： 由1nnbqb，有1221nnnnnnaaaqaa a，*Nnqaa2n2n. （II）证： 22nnqaa，22221231nnnaaqa qL，2n2222n2n2qa.qaa，22222222212121222(2)5nnnn
29、nnncaaa qa qaaqq. nc是首项为5，公比为2q的等比数列 . （III ）解： 由（ II）得2 221111nnqaa，2 22211nnqaa，于是1221321242111111111()()nnnaaaaaaaaaLLL242224221211111111(1)(1)nnaqqqaqqqLL21223111(1)2nqqqL. 当1q时，24221221113111(1)2nnaaaqqqLL32n. 当1q时，24221221113111(1)2nnaaaqqqLL223 1()2 1nqq2222312(1)nnqqq. 故212222231211111.(1)nn
30、nnqqaaaqqqL， ，解法 2： （I）同解法1（I）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 高一数学必修5数列复习提纲第11页共11页（II）证：222*1212221221221222()22Nnnnnnnnnnncaaq aq aqncaaaa，又11225caa，nc是首项为5，公比为2q的等比数列 . （III ）由解法1 中（ II）的类似方法得222221212()3nnnnaaaaqq，34
31、212121221234212111nnnnnaaaaaaaaaaaa aaaLL，2222212442123322kkkkkkkaaqqaaqQ，1 2knL， ，. 2n22n221q.q123a1.a1a1. 例题 15. 设数列0, 1,)1(,其中且项和为的前nnnnaSSna（1）证明：数列na是等比数列；（2）设数列na的公比( )qf，数列nb满足1b，bn=f （bn1） （nN*，n2） ，求数列nb的通项公式；（3）设1，1(1)nnnCab，求数列nC的前 n 项和n. （1）证明： 由11(1)(1)(2)nnnnSaSan相减得：11,(2),1nnnnnaaaana数列na是等比数列（2）解：1nb是首项为112b，公差为 1 的等差数列，12(1)1nnnb. 11nbn. （3）解：1时11111,( ),(1)( )22nnnnnnaCanb2111112( )3( )( )222nnTnL得：nnn21n2112T21所以：114(1() )2 ()22nnnTn. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -