《2022年高考数学理一轮复习教案第五篇平面向量第讲平面向量的数量积 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学理一轮复习教案第五篇平面向量第讲平面向量的数量积 .pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 3 讲平面向量的数量积【2013 年高考会这样考】1考查平面向量数量积的运算2考查利用数量积求平面向量的夹角、模3考查利用数量积判断两向量的垂直关系【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系基础梳理1两个向量的夹角已知两个非零向量a 和 b(如图)，作OAa，OBb，则 AOB (0 180 )叫做向量 a 与 b 的夹角，当 0 时，a 与 b 同向；当 180 时，a 与 b 反向；如果 a 与 b的夹角是 90 ，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab. 2两个向量
2、的数量积的定义已知两个非零向量a 与 b，它们的夹角为 ，则数量 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积 )，记作a b，即 a b|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即 0 a0. 3向量数量积的几何意义数量积 a b等于 a 的长度 |a|与 b在 a 的方向上的投影 |b| cos 的数量积4向量数量积的性质设 a、b都是非零向量， e是单位向量， 为 a 与 b(或 e)的夹角则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页
3、 - - - - - - - - - (1)e aa e|a|cos ；(2)ab? a b0；(3)当 a 与 b 同向时， a b|a| |b|；当 a 与 b 反向时， a b|a|b|，特别的， a a|a|2或者|a|a a；(4)cos a b|a|b|；(5)|a b|a|b|. 5向量数量积的运算律(1)a bb a；(2) a b (a b)a ( b)；(3)(ab) ca cb c. 6平面向量数量积的坐标运算设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为 ，则(1)a bx1x2y1y2；(2)|a|x21y21；(3)cosa，bx1x2y1y
4、2x21y21x22y22；(4)ab? a b0? x1x2y1y20. 7若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，ABa，则|a|x1x22 y1y22(平面内两点间的距离公式 )一个条件两个向量垂直的充要条件：ab? x1x2y1y20. 两个探究(1)若 a b0，能否说明 a 和 b 的夹角为锐角？(2)若 a b0，能否说明 a 和 b 的夹角为钝角？三个防范(1)若 a，b，c 是实数，则abac? bc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
5、- - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 即若向量 a，b，c 若满足 a ba c(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(a b)ca(b c)，这是由于 (a b)c 表示一个与 c 共线的向量， a(b c)表示一个与a 共线的向量，而a 与 c 不一定共线，因此 (a b)c与 a(b c)不一定相等(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中， AB与BC的夹角应为120 ，而不是 60 . 双基自测1(人教 A 版教材习题改编 )已知|a|3，|b|2，若 a b3，则
6、 a 与 b 的夹角为()A.3B.4C.23D.34解析设 a 与 b的夹角为 ，则 cos a b|a|b|33212.又 0 ， 23. 答案C 2若 a，b，c为任意向量， mR，则下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc) B(ab) ca cb cCm(ab)mambD(a b) ca (b c) 答案D 3(2011 广东)若向量 a，b，c满足 ab，且 ac，则 c (a2b)()A4 B3 C2 D0 解析由 ab及 ac，得 bc，则 c (a2b)c a2c b0. 答案D 4已知向量 a(1,2)，向量 b(x，2)，且 a(ab)，则实数 x 等于()A9 B
7、4 C0 D4 解析ab(1x,4)由 a(ab)，得 1x80. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - x9. 答案A 5(2011 江西 )已知 |a| |b|2，(a2b) (ab) 2，则a 与 b 的夹角为_解析由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得 a b2，cosa，ba b|a|b|22212，又 a，b0， 所以 a，b3. 答案3考向一求两平面向量的数量积【例 1】?(2011 合肥模拟 )在AB
8、C 中，M 是 BC 的中点， |AM|1，AP2PM，则PA (PBPC)_. 审题视点 由 M 是 BC 的中点，得 PBPC2PM. 解析如图，因为M 是 BC 的中点，所以 PBPC2PM，又AP2PM，|AM|1，所以 PA (PBPC) PA 2PM4|PM|249|AM|249，故填49. 答案49当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识【训练 1】 如图，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
9、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 在菱形 ABCD 中，若 AC4，则CA AB_. 解析ABAOOB，故 CA ABCA (AOOB)CA AOCA OB.而AO12CA，CAOB.所以CA AB12CA28. 答案8 考向二利用平面向量数量积求夹角与模【例 2】?已知|a|4，|b|3，(2a3b) (2ab)61. (1)求 a 与 b的夹角 ；(2)求|ab|和|ab|. 审题视点 由平面向量数量积的运算法则得a b 的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角解(1)(2a3b) (2
10、ab)61，解得 a b6. cos a b|a|b|64312，又 0 ， 23. (2)|ab|2a22a bb213，|ab|13. |ab|2a22a bb237. |ab|37. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|a a要引起足够重视，是求距离常用的公式【训练 2】 已知 a 与 b 是两个非零向量，且 |a|b|ab|，求 a 与 ab 的夹角解设 a 与 ab的夹角为 ，由|a|b|得|a|2|b|2. 又由|b|2|ab|2|a|22a b|b|2. a b12|a|2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
11、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 而|ab|2|a|22a b|b|23|a|2，|ab|3|a|. cos a ab|a|ab|a|212|a|2|a| 3|a|32. 0 180 ， 30 ，即 a 与 ab的夹角为 30 . 考向三平面向量的数量积与垂直问题【例 3】?已知平面向量 a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求|ab|. 审题视点 利用 ab? x1x2y1y20 及 ab? x1y2x2y10，求解解(1)若 ab，则
12、 a b(1，x) (2x3，x)1(2x3)x(x)0. 整理，得 x22x30，解得 x1 或 x3. (2)若 ab，则有 1(x)x(2x3)0，即 x(2x4)0，解得 x0 或 x2. 当 x0 时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|22022. 当 x2 时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2 5. 综上，可知 |ab|2 或 2 5. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把
13、这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算【训练 3】 已知平面内A，B，C 三点在同一条直线上，OA(2，m)，OB(n,1)，OC(5，1)，且OAOB，求实数 m，n 的值解由于 A，B，C 三点在同一条直线上，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 则ACAB，ACOCOA(7，1m)，ABOBOA(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0，即 mnn5m90，又OAOB，2nm0.联立，解得m6，n3或m3
14、，n32.规范解答 10如何解决平面向量与解三角形的综合问题【问题研究】平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向量描述它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体考查的要求并不高，解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题【解决方案】解决这类问题时，首先要考虑向量工具性的作用，如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题，然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最后用三角知识规范解答【示例】? (本题满分 12 分)(2010 安徽)ABC 的面积是 30，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，cos A1
15、213. (1)求AB AC；(2)若 cb1，求 a 的值先求 sin A，再利用面积公式求bc，最后利用数量积及余弦定理可解决名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 解答示范 由 cos A1213，得 sin A112132513.(2 分) 又12bcsin A30，bc156.(4分) (1)AB ACbccos A1561213144(8分) (2)a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)
16、 12156 1121325，又 a0(10 分) a5.(12 分) 三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用【试一试】已知 ABC 的面积 S 满足3S3，且AB BC6，设AB与BC的夹角为 . (1)求 的取值范围；(2)求函数 f( )sin2 2sin cos 3cos2 的最小值尝试解答 (1)AB BC6，|AB| |BC| cos 6.|AB| |BC|6cos . 又S12|AB| |BC| sin( )3tan ，33tan 3，即33tan
17、1. 又 (0，)，6 4. (2)f( )12cos2 sin 2 cos 2 sin 2 2 2sin 2 42，由 6，4，得 2 3，2，2 4712 ，34. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 当 2434 即 4时，f()min3.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -