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1、学习必备欢迎下载二次函数的综合题训练一、应用题1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数54yxm（m为常数）的图象与x轴交于点( 3 0)A，与y轴交于点C以直线1x为对称轴的抛物线2yaxbxc（abc， ，为常数， 且a0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平
2、行的直线交抛物线于111()Mxy，222()Mxy，两点，试探究2112PPMMM M是否为定值，并写出探究过程2. 抛物线2yxbxc经过点A、B、C，已知10A，0 3C，（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图 2，抛物线顶点为E，EFx轴于F点，0Mm，是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若=90MNC，请指出实数m的变化范围，并说明理由二、复合题3. 如图，在平面直角坐标系中，直线242yx交x轴于点A，交直线yx交于点B. 抛物线22yaxxc分别交线段AB 、OB于点C、D，点C
3、和点D的横坐标分别为16 和 4，点P在这条抛物线上. (1) 求点C、D的纵坐标 . (2) 求a、c的值 . (3) 若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长 . (4) 若Q为线段OB或线段AB上一点，PQx轴. 设P、Q两点之间的距离为d（d0） ，点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围 . 参考公式：二次函数2yaxbxc（a0）图象的顶点坐标为24()24,bacbaa4. 如图，抛物线l交x轴于点3010AB， 、，交y轴于点03C，将抛物线l沿x轴翻折得抛物线1l. （1）求1l的解析式；精选学习资料 - - - - - - - -
4、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载（2）在1l的对称轴上找出点P. 使点P到点A的对称点1A及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线1l于EF、两点 . 若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径. 5. (本题满分12 分）已知直线25yx与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线2yxbxc的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N（1）如图，当点M与点A重合时，求：抛物线的解析式； （ 4 分）点N的坐标和线段MN的长；（ 4 分）（2）抛物线2yxbxc在直线AB上平移，是否存在点M，使得OMN与
5、AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由（4 分）三、猜想、探究题6. 如图， 抛物线2yxbxc与x轴交于AB、两点， 与y轴交于点C，点O为坐标原点， 点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且2OF，3EF（1）求抛物线所对应的函数关系式；（2）求ABD的面积；（3）将AOC绕点C逆 时针旋转90，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由7. 如图，在平面直角坐标系中，直线22xy交x轴于点A，交y轴于点B，将AOB绕原点O顺时针旋转 90o后得到COD，抛物线l经过点A、C 、D（1）求点A、B的坐标；（ 2）求抛物线l的
6、解析式；（ 3）已知在抛物线l与线段AD所围成的封闭图形（不含边界）中，存在点),(baP，使得PCD是等腰三角形，求a的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载8. 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为10 ，B点在抛物线211222yxx的图象上， 过点B作BDx轴，垂足为D，且B点横坐标为3（1）求证：BDCCOA；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使A CP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求
7、出点P的坐标；若不存在，请说明理由9. 如图，抛物线cbxxy2过点（ 1， 4）和 ( 2，5). 请解答下列问题：(1) 求抛物线的解析式；(2) 若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，与y轴的交点为C则在该抛物线上是否存在点D，使得ABC与ABD全等？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 注：抛物线cbxaxy2的对称轴是abx210. 已知抛物线yax22xc的图像与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3） A xyO C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载（
8、1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由11. 已知：如图，直线33yx与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，OAB是等腰直角三角形（1）求过ABC、 、三点的抛物线的解析式；（2）若直线CDAB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和PAB的最大面积；若没有，请说明理由12. 如图， 抛物线2yaxbxc经过(30)A，、(
9、3 3 0)B，、(0 3)C，三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D. 设抛物线的顶点为P，连接PAADDP、，线段AD与y轴相交于点E. （1）求该抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以QCD、为顶点的三角形与ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；（3）将CED绕点E顺时针旋转， 边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PMDN、，若2PMDN，求点N的坐标（直接写出结果）. 13. 己知：二次函数22(2)2yxmxm的图象与x轴交于点A(1x， 0) 和点B(2x，0) ，1x2x，与y轴交于点C，且满足1211
10、12xx. （1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线3yx上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载二次函数的综合题训练参考答案一、应用题1. 解： （ 1）点( 3 0)A，在一次函数54yxm的图象上，5( 3)04m，解得154m；（1 分）一次函数的解析式为51544yx，令0 x，得154y，点C的坐标为15(0)4，抛物线2yaxbxc的对称轴为1，可设抛物线的解析式为2(1)ya xk， 依
11、题意， 得160154akak，解得144ak；（2 分）抛物线的函数表达式21(1)44yx或21115424yxxx（3 分）（2）存在（4 分）AF为四边形的一边时，如图：CEx轴，由抛物线的对称性，得15(2)4E，（5 分）此时四边形的面积为：1515242ACEFS四边形（6 分）AF为四边形的对角线时，如图：设AF与CE交于M点，即M为CE的中点，设()EEE xy，()MMM xy，则有22CEMCMMxxxyyyM在x轴上，0My，154Cy，154Ey，又21(1)44EEyx，即2151(1)444Ex，解得131Ex或131x（不合题意，舍去），E点的坐标为15(131
12、)4，（7 分）此时四边形的面积为：1515 311052(1316)444AFCACEFSSAFOC四边形（8 分）如图，作C关于1x对称的点C，有15(2)4C，直线AC与1x的交点即为P点，则P点就是使ACP的周长取得最小值的点，直线AC的表达式为3944yx，当1x时，3y，(13)P ，过(13)P ，的直线设为：3(1)yk x，即3ykxk，（9 分）由111()Mxy，122()Mxy，可得：22111(1)(3)M Pxy，22222(1)(3)M Pxy，22121212()()M Mxxyy，将3ykxk代入，消去y得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名
13、师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载2221111(1)()11M Pxkxkkx，222222(1)()11M Pxkxkkx，22212121212()()1M Mxxkxkxkxx，121212122212212121212()1()111()4x xxxx xxxM PM PkkM Mxxxxx x，（10 分）联立解析式，得方程21(1)443yxykxk，整理得2(42)430 xkxk，2224(42)4(43)16160backkk，此方程有两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得：1224xxk，1243x xk；（11 分）将122
14、4xxk，1243x xk代入12122122121212()11()4x xxxM PM PkM Mxxx x22434211(24 )4(43)kkkkk224114 1kk1212M PM PM M有定值，且定值为1（12 分）2. 解： （1）由题103bcc，解得：23bc，所以抛物线解析式为223yxx（2）令2230 xx，1213xx，即30B，设直线BC的解析式为ykxb，330bkb13kb故直线BC的解析式为3yx，设3P aa，则223D aaa，222333PDaaaaaBDCPDCPDBSSS11133222PD aPDaPD2332aa23327228a当32a时
15、，BDC的面积最大，此时3 3.2 2P，（3）由（ 1） ，222314yxxx，所以143OFEFOC，过C作CHEF于H点，则1CHEH. 当M在EF左侧时，因为90MNC，则MNFNCH，得MFFNNHHC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载设FNn，则3NHn，131mnn，即2310nnm，关于n的方程有解，23410m，得5.4m当M在EF右侧时，RtCHE中，1=45CHEHCEH，即=45CEF，作EMCE交x轴于点M，则45FEM，4FMEF，5OM，即N为点E时，5OM，5m.
16、 综上，m的变化范围为：55.4m二、复合题3. 解： （ 1）在242yx中，当x=16 时，y=10. 在yx中，当x=4 时y=4. 点C的纵坐标为10，点D的纵坐标为4. （2）由（ 1）知，点C的坐标为 (16,10)，点D的坐标为 (4,4). 抛物线图象经过点C、D，2563210,1684.acac解得1,810.aca的值为18， c的值为 10. （3） 在yx中，当x=5 时y=5. 点Q的横坐标为5. 由（ 2）可知，抛物线的解析式为212108yxx. 当y=5 时，2121058xx，解得826x. 点P的横坐标为82 6. 当点P在点Q左侧时，线段PQ的长为5(8
17、26)2 63. 当点P在点Q右侧时，线段PQ的长为(82 6)532 6. 线段PQ的长为2 63或32 6. （4）当 0m4 或 12m16 时，d随m增大而减小 . 4. 解： （1）由题意知，抛物线l上的点ABC、 、关于y轴的对称点113010AB， ， ，03C，1 分设1l的解析式为20yaxbxc a则309330abab12ab1l的解析式为223yxx3 分（2）1l的对称轴为1x，P在直线1x上，故11PAPCPBPC，当点P与点1B、点C不在一直线上时，1PB C中11PBPCB C，4 分当点P与点1B、点C不在一直线上时，这些线段间关系为：11PAPCPBPC1B
18、 C故此时点P到1AC、两点的距离差最大. 5 分设1B C的解析式为3ykx，将110B，代入上式得3k直线1B C的解析式为33yx6 分而直线33yx和直线1x的交点即为.P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载由133xyx得16xy16P ，即为所求 . 7 分（3）设12.E xyF xy，所求圆的半径为r. 由图可知212xxr8 分对称轴为1x，122xx9 分由211222xxrxx得21xr，即1F ry，10 分将1F ry，代入1l的解析式223yxx，得21213yrr，即24
19、yr，圆与x轴相切，ry. 11 分当0y时，240rr，解得1211711722rr，（舍）12 分当0y时，240rr，解得1211711722rr，（舍）13 分故所求的圆有两个，在x轴上的圆半径为1172r，在x轴下方的圆半径为117.2r14 分5. 1 ）解：直线25yx与x轴和y轴交于点A和点B，5(,0)2A，(0, 5)B 1 分解法一：当顶点M与点A重合时，5(,0)2M. 2 分 抛物线的解析式是：25()2yx即22554yxx 4 分解法二：当顶点M与点A重合时，5(,0)2M. 2 分52( 1)2b，5b. 又 24( 1)04( 1)cb，254c. 3 分 抛
20、物线的解析式是：22554yxx 4 分N在直线25yx上，设( ,25)N aa，又N在抛物线22554yxx上，2252554aaa 5 分解得112a，252a（舍去）1(, 4)2N 6 分过N作NCx轴，垂足为C( 如图 ) 1(, 4)2N，1(,0)2C4NC51222MCOMOC 7 分2222422 5MNNCMC 8 分（2）存在 . 1(2, 1),M10 分2(4,3)M. 12 分三、猜想、探究题6. 解： （1）因为四边形OCEF为矩形，2OF，3EF，所以点C的坐标为(0 3)，点E的坐标为(2 3)，把0 x，3y；2x，3y分别代入精选学习资料 - - - -
21、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载2yxbxc中得3342cbc，解之得23bc所以抛物线所对应的函数关系式为223yxx；（2）因为2223(1)4yxxx，所以抛物线的顶点坐标为(14)D ，所以ABD中AB边上的高为4，令0y，得2230 xx，解之得11x，23x所以3( 1)4AB，所以ABDS的面积14482；（3）AOC绕点C逆时针旋转90，CO落在CE所在的直线上，又由（2）可知1OA，所以点A对应点G的坐标为（ 3，2） ，当3x时，232 3302y，所以点G不在该抛物线上7. 解： （1）当x=0 时，y
22、=2 当y=0 时，由 2x+2=0 得x=-1 A（-1 ，0） B（0，2）（答对一个坐标得2 分）（2）由旋转可知：OC=OA=1，OD=OB=2 C（0，1） ，D（2，0）设抛物线l的解析式是cbxaxy2)0(a依题意得02410cbaccba解得12121cba 抛物线l的解析式是121212xxyy C B D O A x G F E H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载（3）在CODRt中，由C（0，1） ，D（2，0）可得512C22D若PCD是等腰三角形，则有以下三种情况：当
23、 CP=CD时，此时点P在抛物线l与线段AD所围成的封闭图形外，不合题意；（学生未答不扣分） ，当DP=DC时，以点D为圆心，DC长为半径画弧交x 轴于点H，此时点P在sup4 ()CH上（不含点C、H） ，此时a的取值范围是025a；当PC=PD时，作线段CD的垂直平分线FG，交CD于点E，交 x 轴于点F，交抛物线于点G此时点P在线段FG上（不含点F、G 、E） ，求得 E（1，21） ，DE=25. 在DOCRtDEFRt,中，DCDODFDECDOcos，5225DF，解得45DF, 43452OF，即 F(43，0). 易得过E、F的直线解析式是232xy，联立方程组得1212123
24、22xxyxy解得2293,229321xx( 舍去）点 G的横坐标是2293，此时a的取值范围是229343a，且1a. 综合，当PCD是等腰三角形时，a的取值范围是025a或229343a，且1a. 8. 解： （ 1）90BCDACO，90ACOOAC，BCDOACABC为等腰直角三角形，BCAC在BDC和COA中，90BDCCOABCDOACBCACBDCCOA（AAS ） （2）C点坐标为10 ，BD=CO=1B点的横坐标为3，B点坐标为31 ，设BC所在直线的函数关系式为ykxb，则有0,31,kbkb解之，得1,21.2kbBC所在直线的函数关系式为1122yx（3）存在二次函数
25、解析式为211222yxx=21117228x，对称轴为直线12x若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点1P，使1CPACBCAC，点1P为直线BC与对称轴直线12x的交点由题意，得112212yxxA B D C O x y P1P2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载解之，得111214xy11124P，若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点2P，使2APAC，过点A作2APBC，交对称轴直线12x于点2PCD=OA， A（0，2） 易求得直线2AP的解析式为122yx，由1
26、2212yxx得221294xy21 92 4P，满足条件的点有两个，坐标分别为12111 9242 4PP-，-、-，9. 解： （1）根据题意，得14425bcbc，解得23bc，所求抛物线的解析式为322xxy（2）存在点D根据抛物线的对称性，点A和点B是对称点，要使ABCBAD，则点D应为点C的对称点223yxx，C(0 ，3) ，对称轴1x点D的坐标为 (2 ，3) 10. 解： （1）因为点A（3，0） 、B（0，3）在抛物线上，所以3069cca解得31ca所以，所求抛物线的解析式为yx22x3 （2）由（ 1）知y (x1)2 4 所以抛物线的对称轴为x1 方法 1 由抛物线性
27、质知，点A、C关于对称轴对称连接AB，由轴对称性质知，AB与对称轴的交点即为所求的点D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载直线AB的解析式为y3x设点D（1，m） ，所以m31 2 所以，所求点D的坐标为（ 1，2）方法 2 点B关于对称轴的对称点为E（2，3）连接CE，由轴对称性质知，CE与对称轴的交点即为所求的点D直线CE的解析式为yx1 设点D（1，m） ，所以m11 2 所以，所求点D的坐标为（ 1，2）（3）解法 1 假设存在点P（x，y）使得ABP的面积最大连接OP，则OABOPBOPA
28、ABPSSSS2923292323212121yxxyOBOAxOByOAxxxxx3232932232282723232x当23x时，点P（23，415）在第一象限，此时ABP的面积最大所以，所求点P为（23，415）解法 2 假设存在点P（x，y）使得ABP的面积最大过点P作PQOA，垂足为Q，有PQOB那么OABOAPBABPSSS四边形OABQAPOQPBSSS梯形OBOAQPQAOQQPOB21212129233321321321yxyxxy（以下步骤与解法1 相同，参照解法1 评分）解法 3 假设存在点P（x，y）使得ABP的面积最大过点P作PMAB，垂足为M，作PQOA，垂足为Q
29、，PQ交AB于点N，有PQOB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载直线AB的解析式为y3x，于是N的坐标为（x，3x）因为OAOB，所以OAB是等腰直角三角形PQOBMNPOBA45MNP是等腰直角三角形（或MNPOBA）PNPM22（或ABPNOAMP，即PNPNABOAPM22）PNPQNQyNQx22x3(3 x) x23x 10 分xxPNABPMABSABP32223212221212827232332322xxx（以下步骤与解法1 相同，参照解法1 评分）说明其他方法参照评分标准按步骤
30、相应给分11. 解： （1）AC、分别是直线33yx与y轴和x轴的交点0 310AC，又OAB是等腰直角三角形3 0B，1 分设过ABC、 、三点的抛物线解析式为：2yaxbxc30930cabcabc解得：123abc223yxx3 分（2）设直线AB解析式为：ykxb0 330AB，330bkb解得13kb直线AB：3yx4 分CDAB设直线CD的解析式为：1yxb直线CD过点10C，11b直线CD：1yx5 分又直线1yx与抛物线223yxx相交于D点2123yxyxx解得：1110 xy（与C点重合，舍去）或2245xy45D，7 分（3）PAB有最大面积 . 8 分P点在抛物线上设2
31、23P xxx，过P作PEx轴于E点PABPEBAOBAOEPSSSS梯形223233233 3222xxxxxx23922xx9 分当32x时，278PABS最大10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载当32x，215234yxx3 1524P，11 分12. 解： （1）由题意可设(3)(3 3)ya xx33( 3 3)a，即13a2112 3(3)(3 3)3333yxxxx2 分（2）2212 313(3)4333yxxx顶点P的坐标为( 3 4)，设直线BC的解析式为ymxn，则30
32、3 3.nmn，333.mn，即333yx当3x时，2y，即点D的坐标为( 3 2)，4 分设对称轴l与x轴相交于点H22229274122CDCBDBOCOBHDHB422PDCD2 3tan32BDH，60BDH60ADHBDHPDCBCO，60120CDAADP ，且4ADBD6 分若以QCD、为顶点的三角形与ADP全等，则分两种情况：4DQDA，且120CDQPDA点Q在DH的延长线上（记为1Q）或在AD的延长线上（记为2Q） 点1Q的坐标为(32)，7 分作2Q Fx轴，垂足为F，则22424 3Q FDHAFAH，即234 3Qx，23 3Qx点2Q的坐标为(3 3 4)，8 分4
33、CQDA，且120DCQPDA点Q在y轴上，（记为3Q）或在第二限（记为4Q） 点3Q的坐标为(0 7)，9 分作4Q Gy轴，垂足为G，则424CQCG2CG，1OG，4432 32Q GCQ点4Q的坐标为( 2 31)，综上，点Q的坐标为( 32)3 3 4(0 7) ( 2 31)，、(，) 、 ，、，10 分（3）点N的坐标为713( 3)3，12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载13. 解： （1）2122xxm1x22xm又121112xx得：12122()xxx x22(2)2m
34、m220mm12m，21m3分当2m时，224yxx24416120bac与x轴无交点，不合题意，舍去4分当1m时，二次函数的解析式是22yxx综上所述，这个二次函数的解析式是22yxx5分（2）根据题意，求得A（2，0） ，B（1，0） ，C（0，2）过A作AM/BC，则直线AM的解析式是24yx解方程组243yxyx，得12xy设直线24yx与直线3yx的交点为M，则M的坐标为M（ 1， 2） 8分AM=22125又BC=5AM=BCAMBC四边形ACBM是平行四边形M点就是P点，故在3yx上存在一点P，使四边形PACB是平行四边形，P的坐标为（1 2，） 10分注：其它解法参照计分. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页