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1、江西省 2013 年中等学校招生考试 数学试题满分 120 分，考试时间120 分钟 . 一、选择题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共 18 分）1. 1 的倒数是（） A1 B 1 C 1 D0 2.下列计算正确的是（） Aa2+a2=a5B(3ab)2=9a2b2 C a6b a2=a3bD(ab3)2=a2b6 3.下列数据是2013 年 3 月 7 日 6 点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：城市北京合肥南京哈尔滨成都南昌污染指数342 163 165 45 227 163 则这组数据的中位数和众数分别是（） A164 和 163 B105 和 163 C105 和 164 D
2、163 和 164 4.如图， 直线 y=x+a2 与双曲线y=x4交于 A，B 两点， 则当线段AB 的长度取最小值时，a的值为 （） A0 B1 C2 D 5 5.一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则他的左视图可以是（） 6.若二次涵数y=ax+bx+c(a 0) 的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2， 0)，且 x10 Bb24ac0Cx1x0 x2Da(x0 x1)( x0 x2)0)的图象和矩形ABCD 的第一象限， AD 平行于x轴，且 AB=2，AD=4，点 A 的坐标为 (2，6) （1）直接写出B、C、D 三点的坐标；（2）若将矩形向下平
3、移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式20生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml 的矿泉水，会后对所发矿精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页泉水的情况进行统计，大至可分为四种：A全部喝完； B喝剩约31；C喝剩约一半；D开瓶但基本未喝同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：（ 1）参加这次会议的有多
4、少人？在图（2）中 D 所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；（计算结果请保留整数） （ 2）若开瓶不但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？（ 3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60 人，每次会议人数约在40 至 60 人之间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有多少瓶？（可使用科学计算器）21如图 1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图 2 所示，量得连杆OA 长为 10cm，雨刮杆AB 长为 48cm,OAB=120 若启动一次刮雨器，雨刮杆AB 正好
5、扫到水平线CD 的位置，如图3 所示（ 1）求雨刮杆AB 旋转的最大角度及O、B 两点之间的距离； （结果精确到0.01）（ 2）求雨刮杆AB 扫过的最大面积 （结果保留 的整数倍）（参考数据：sin60 =23，cos60 =21，tan60 =3，72126.851 ，可使用科学计算器）22如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2 的圆与 y 轴交于点A，点 P（4，2）是 O 外一点，连接AP，直线 PB 与 O 相切于点 B，交 x 轴于点 C（1）证明 PA 是 O 的切线；（2）求点 B 的坐标；（3）求直线 AB 的解析式七、 （本大题共2 小题，第23 题 10 分，
6、第 24 题 12 分，共 22 分）23某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页 操作发现：在等腰 ABC 中， AB=AC，分别以AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF AB 于点 F，EGAC 于点 G，M 是 BC 的中点，连接MD 和 ME，则下列结论正确的是（填序号即可）AF=AG=21AB； MD =ME；整个图形是轴对称图形；DAB=DMB 数学思考：在任意 ABC 中，分别以AB 和 AC 为斜边
7、，向 ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图2 所示， M是 BC 的中点，连接MD 和 ME，则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； 类比探索：在任意 ABC 中，仍分别以AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3 所示，M 是 BC 的中点，连接MD 和 ME，试判断 MED 的形状答：24已知抛物线y n=-(x-an)2+an（n 为正整数，且0a1a2 an）与 x 轴的交点为An-1（bn-1,0）和 An(bn，0)，当 n=1 时，第 1 条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与 x 轴的交点为A0（0，0）和 A1（b1，0） ，其
8、他依此类推（1）求 a1,b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（，） ；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（，）; 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是；（3）探究下列结论：若用 An-1An表示第 n 条抛物线被x 轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出An-1An；是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由参考答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页一、选择题（本大题共6 个小题，每小
9、题3 分，共 18 分）每小题只有一个正确选项1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分）7.(x+2)(x2) 8.65 9.12,34yxyx10.2611. (n+1)212.x25x+6=0 13.25 14. 2，3，4 三、 （本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）15.解：由 x+21得 x 1，由 2x+63x 得 x3，不等式组的解集为1 x0， a1=1，即 y1=(x 1)2+1 方法一：令y1=0 代入得： (x 1)2+1=0， x1=0，x2=2， y1与 x 轴交于 A0（0， 0） ，A1（2
10、，0） b1=2，方法二： y1=(xa1)2+a1与 x 轴交于点 A0（ 0，0） ，(b1 1)2+1=0， b1=2 或 0，b1=0（舍去），b1=2，又抛物线y2=(xa2)2+a2与 x 轴交于点A1（2，0） ， (2a2)2+ a2=0， a2=1 或 4， a2 a1， a2=1（舍去），取 a2=4，抛物线y2=(x4)2+4（ 2） （9， 9） ；（n2，n2）y=x详解如下：抛物线y2=(x 4)2+4 令 y2=0 代入得： ( x4)2+4=0，x1=2，x2=6，y2与 x 轴交于点A1（2，0） ，A2（6，0） ，又抛物线y3=(x a3)2+a3与 x轴
11、交于 A2（6，0） ，(6a3)2+a3=0 a3=4 或 9， a3 a3， a3=4（舍去），只取 a3=9，招物线 y3的顶点坐标为（9，9） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页由 y1的顶点坐标为（1，1） ， y2的顶点坐标为（4，4） ，抛物线 y3的的顶点坐标为（9，9） ，依次类推抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2） 所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，顶点坐标满足的函数关系式是：y= x； A0（0，0） ，A1（ 2，0） ，A0A1=2，又 yn=(xn2)2+n2，令 yn=0，(xn2
12、)2+n2=0，即 x1=n2+n，x2=n2n，A n1(n2n，0)， A n(n2+n，0)，即 A n1A n=( n2+n)( n2n)=2 n 存在，是平行于y=x 且过 A1（2，0）的直线，其表达式为y=x2江西省 2013 年中等学校招生考试数学试卷解析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页说明： 1本卷共有七个大题，24 个小题，全卷满分120 分，考试时间120 分钟。2本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分。一、选择题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共
13、 18 分）每小题只有一个正确选项1 1 的倒数是（） A1 B 1 C 1 D0 【答案】B. 【考点解剖】本题考查了实数的运算性质，要知道什么是倒数【解题思路】根据倒数的定义， 求一个数的倒数， 就是用 1 除以这个数， 所以 1 的倒数为1( 1)1，选 B. 【解答过程】1( 1)1，选 B. 【方法规律】根据定义直接计算【关键词】实数倒数2下列计算正确的是（） Aa3+a2=a5B(3ab)2=9a2b2 C a6ba2=a3bD( ab3)2=a2b6 【答案】D. 【考点解剖】本题考查了代数式的有关运算，涉及单项式的加法、除法、完全平方公式、幂的运算性质中的同底数幂相除、积的乘方
14、和幂的乘方等运算性质，正确掌握相关运算性质、法则是解题的前提【解题思路】根据法则直接计算【解答过程】A.3a与2a不是同类项，不能相加（合并），3a与2a相乘才得5a；B.是完全平方公式的应用，结果应含有三项，这里结果只有两项，一看便知是错的，正确为222(3)96abaabb；C.两个单项式相除，系数与系数相除，相同的字母相除（同底数幂相除，底数不变，指数相减），正确的结果为624a baa b；D.考查幂的运算性质（积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方，底数不变，指数相乘），正确，选D. 【方法规律】熟记法则，依法操作. 【关键词】单项式多项式幂的运算3下列数
15、据是2013 年 3 月 7 日 6 点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：城市北京合肥南京哈尔滨成都南昌污染指数342 163 165 45 227 163 则这组数据的中位数和众数分别是（） A164 和 163 B105 和 163 C105 和 164 D163 和 164 【答案】A. 【考点解剖】本题考查的是统计初步中的基本概念中位数、众数，要知道什么是中位数、众数【解题思路】根据中位数、众数的定义直接计算【解答过程】根据中位数的定义将一组数据从小到大或从大到小排序，处于中间（数据个数为奇数时）的数或中间两个数的平均数（数据为偶数个时）就是这组数据的中位数；众数是指一组数据中出现
16、次数最多的那个数，所以 342、163、165、45、227、163 的中位数是163 和 165 的平均数164，众数为 163，选 A. 【方法规律】熟知基本概念，直接计算. 【关键词】统计初步中位数众数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页4 如图，直线 y=x+a2 与双曲线y=x4交于 A， B两点，则当线段 AB 的长度取最小值时， a 的值为（） A0 B1 C2 D 5 【答案】C. 【考点解剖】本题以反比例函数与一次函数为背景考查了反比例函数的性质、待定系数法，以及考生的直觉判断能力【解题思路】反比
17、例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，只有当A、B、O 三点共线时，才会有线段 AB 的长度最小OAOBAB， （当直线AB 的表达式中的比例系数不为1 时，也有同样的结论）. 【解答过程】把原点（ 0，0）代入2yxa中，得2a.选 C. 【方法规律】要求 a 的值，必须知道x、y 的值（即一点的坐标）由图形的对称性可直观判断出直线AB过原点（ 0，0）时，线段AB 才最小，把原点的坐标代入解析式中即可求出a 的值 . 【关键词】反比例函数一次函数双曲线线段最小5一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则他的左视图可以是（） 【答案】C. 【考点解剖】本题考查的投影与视图中的
18、画已知物体的三视图，要正确掌握画三视图的有关法则【解题思路】可用排除法，B、D 两选项有迷惑性，B 是主视图， D 不是什么视图，A 少了上面的一部分，正确答案为C. 【解答过程】略.【方法规律】先要搞准观看的方向，三视图是正投影与平行投影的产物，反映物体的轮廓线，看得到的画成实线，遮挡部分画成虚线. 【关键词】三视图坐凳6若二次涵数y=ax+bx+c(a 0)的图象与 x 轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且 x10 Bb24ac 0 Cx1x0 x2Da(x0 x1)( x0 x2)0,a0 且有102xxx，则0102()()a xxxx的值为负；在图2 中， a0 且
19、有102xxx，则0102()()a xxxx的值也为负 .所以正确选项为D. 【解答过程】略.【方法规律】先排除错误的，剩下的再画图分析（数形结合）【关键词】二次函数结论正误判断二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分）7分解因式x24= 【答案】(x+2)(x2). 【考点解剖】本题的考点是因式分解，因式分解一般就考提取公因式法和公式法（完全平方公式和平方差公式），而十字相乘法、分组分解等方法通常是不会考的【解题思路】直接套用公式即【解答过程】24(2)(2)xxx.【方法规律】先观察式子的特点，正确选用恰当的分解方法. 【关键词】平方差公式因式分解8如图 ABC 中， A
20、=90点 D 在 AC 边上， DEBC，若 1=155，则 B 的度数为【答案】 65. 【考点解剖】本题考查了平行线的性质、邻补角、直角三角形两锐角互余等知识，题目较为简单，但有些考生很简单的计算都会出错，如犯18015535之类的错误【解题思路】由1155，可求得25BCDCDE,最后求65B【解答过程】 ADE=155, EDC=25. 又 DE BC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页 C=EDC =25 , 在 ABC 中， A=90， B+C=90, B=65. 【方法规律】一般求角的大小要搞清楚所
21、求角与已知角之间的等量关系，本题涉及三角形内角和定理、两直线平行，内错角相等，等量代换等知识和方法. 【关键词】邻补角内错角互余互补9某单位组织34 人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2 倍多 1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到瑞金的人数为y 人，请列出满足题意的方程组是【答案】12,34yxyx. 【考点解剖】本题考查的是列二元一次方程组解应用题（不要求求出方程组的解），准确找出数量之间的相等关系并能用代数式表示【解题思路】这里有两个等量关系：井冈山人数+瑞金人数 =34，井冈山人数=瑞金人数 2+1.所以所列方程组为34,21.xy
22、xy【解答过程】略. 【方法规律】抓住关键词，找出等量关系【关键词】列二元一次方程组10如图，矩形ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接DE 和 BF，分别取DE、BF 的中点 M、N，连接 AM，CN， MN，若 AB=22，BC=23，则图中阴影部分的面积为【答案】26. 【考点解剖】本题考查了阴影部分面积的求法，涉及矩形的中心对称性、面积割补法、矩形的面积计算公式等知识，解题思路方法多样，计算也并不复杂，若分别计算再相加，则耗时耗力，仔细观察不难发现阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半（即2 6），这种“整体思想”事半功倍，所以平时要加强数学思想、方法的学习与积累【
23、解题思路】BCN 与 ADM 全等，面积也相等，口DFMN 与口BEMN 的面积也相等，所以阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半【解答过程】12 32 22 62，即阴影部分的面积为2 6. 【方法规律】仔细观察图形特点，搞清部分与整体的关系，把不规则的图形转化为规则的来计算. 【关键词】矩形的面积二次根式的运算整体思想11观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为（用含 n 的代数式表示） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页【答案】(n+1)2 . 【考点解剖】本题考查学生
24、的观察概括能力，发现规律，列代数式【解题思路】找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示【解答过程】略.【方法规律】由图形的变化转化为数学式子的变化，加数为连续奇数，结果为加数个数的平方. 【关键词】找规律连续奇数的和12若一个一元二次方程的两个根分别是RtABC 的两条直角边长，且SABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程【答案】x25x+6=0. 【考点解剖】本题是道结论开放的题（答案不唯一），已知直角三角形的面积为3（直角边长未定），要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况（即保证方程的根为整数），如直角边长分别为2、3 的直角三角形的面
25、积就是3，以 2、3 为根的一元二次方程为2560 xx；也可以以 1、6 为直角边长，得方程为2760 xx.（求作一元二次方程，属“一元二次方程根与系数的关系”知识范畴，这种题型在以前相对考得较少，有点偏了.）【解题思路】先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程【解答过程】略. 【方法规律】求作方程可以用根与系数的关系，也可由因式分解法解一元二次方程. 【关键词】直角三角形根求作方程13如图，ABCD 与DCFE 的周长相等，且BAD =60， F=110，则 DAE 的度数为【答案】25. 【考点解剖】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质【解题思路】已知两个平行
26、四边形的周长相等，且有公共边CD,则有 AD=DE ,即 ADE 为等腰三角形，顶角 ADE=BCF=60+70=130, DAE=25【解答过程】ABCD 与DCFE 的周长相等，且有公共边CD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页 AD=DE, ADE =BCF=60+70=130. DAE=11(180)502522ADE. 【方法规律】先要明确 DAE 的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，分别将 BAD=130转化为 BCD =130, F=110转化为 DCF =70,从而求得 A
27、DE= BCF=130. 【关键词】平行四边形等腰三角形周长求角度14平面内有四个点A、O、B、C，其中 AOB=120， ACB=60， AO=BO=2，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是【答案】 2，3，4. 【考点解剖】本题主要考查学生阅读理解能力、作图能力、联想力与思维的严谨性、周密性，所涉及知识点有等腰三角形、圆的有关知识，分类讨论思想，不等式组的整数解，在运动变化中抓住不变量的探究能力【解题思路】由 AOB=120， AO=BO=2 画出一个顶角为120、 腰长为 2 的等腰三角形， 由60与120互补，60是120的一半，点C 是动点想到构造圆来解决此题【解答过程】【方法规律
28、】构造恰当的图形是解决此类问题的关键. 【关键词】圆整数值三、 （本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）15解不等式组,33) 3(2, 12xxx并将解集在数轴上表示出来【答案】 解：由 x+21 得 x 1，由 2x+63x 得 x3，不等式组的解集为1x0) 的图象和矩形ABCD 的第一象限，AD 平行于x轴，且 AB=2，AD =4，点 A的坐标为 (2，6) （ 1）直接写出B、C、D 三点的坐标；（ 2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名
29、师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页【答案】（1）B（2，4） ，C（6，4） ，D（6，6）. （2）如图，矩形ABCD 向下平移后得到矩形A B C D，设平移距离为a，则 A（ 2，6a） ，C（ 6，4a）点 A，点 C在 y=xk的图象上，2(6a)=6(4a)，解得 a=3，点 A（ 2，3） ，反比例函数的解析式为y=6x【考点解剖】本题以矩形为背景考查用待定系数法求反比例函数的解析式【解题思路】先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B、C、D 三点的坐标，再从矩形的平移过程发现只有 A、C 两点能同时在双曲线上（这是种合情推理，不必证明），把A、C 两
30、点坐标代入y=xk中，得到关于 a、k 的方程组从而求得k 的值【解答过程】略. 【方法规律】把线段的长转化为点的坐标，在求k 的值的时候，由于k 的值等于点的横坐标与纵坐标之积，所以直接可得方程2(6a)=6(4a)，求出 a 后再由坐标求k，实际上也可把A、C 两点坐标代入y=xk中，得到关于a、 k 的方程组从而直接求得k 的值 . 【关键词】矩形反比例函数待定系数法20生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml 的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大至可分为四种：
31、A全部喝完；B喝剩约31； C喝剩约一半；D开瓶但基本未喝同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页（ 1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中 D 所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；（计算结果请保留整数） （ 2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？（ 3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60 次，每次会议人数约在40 至 60 人之间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿
32、泉水（500ml/瓶）约有多少瓶？（可使用科学计算器）【答案】（1）根据所给扇形统计图可知，喝剩约31的人数是总人数的50%，2550%=50，参加这次会议的总人数为50 人，505360=36，D 所在扇形圆心角的度数为36，补全条形统计图如下；（2）根据条形统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为：(2531500+1050021+5500)50 =32750050183 毫升；（3）该单位每年参加此类会议的总人数约为24000 人3600 人，则浪费矿泉水约为3000183500=1098 瓶【考点解剖】本题考查的是统计初步知识，条形统计图与扇形统计图信息互补，文字量大，要求考生具有比较强的阅
33、读理解能力.本题所设置的问题比较新颖，并不是象传统考试直接叫你求平均数、中位数、众数或方差，而是换一种说法，但考查的本质仍然为求加权平均数、以样本特性估计总体特性.显然这对考生的能力要求是非常高的【解题思路】（1）由扇形统计图可看出B 类占了整个圆的一半即50%（遗憾的是扇形中没有用具体的数字（百分比）表示出来，这是一种很不严谨的命题失误），从条形统计图又知B 类共 25 人，这样已知部分数的百分比就可以求出总人数，而D 类有 5 人，已知部分数和总数可以求出D 类所占总数百分比，再由百分比确定所占圆的圆心角的度数；已知总人数和A、B、D 类的人数可求出C 类的人数为10 人，将条形统计图中补
34、完整；（2）用总的浪费量除以总人数50 就得到平均每人的浪费量；（ 3）每年开 60 次会，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页每次会议将有40 至 60 人参加，这样折中取平均数算一年将有3000 人参加会议，用3000 乘以（ 2）中的结果（平均每人的浪费量），得到一年总的浪费量，再转换成瓶数即可【解答过程】略. 【方法规律】能从实际问题中抽出数学问题，从题中抽出关键词即要弄清已知什么，要求什么（不要被其它无关信息干扰）. 【关键词】矿泉水统计初步六、 （本大题共2 小题，每小题9 分，共 18 分）21如图
35、1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图 2 所示，量得连杆OA 长为 10cm，雨刮杆AB 长为 48cm， OAB=120若启动一次刮雨器，雨刮杆AB 正好扫到水平线CD 的位置，如图3 所示（ 1）求雨刮杆AB 旋转的最大角度及O、B 两点之间的距离； （结果精确到0.01）（ 2）求雨刮杆AB 扫过的最大面积 （结果保留 的整数倍）（参考数据：sin60=23，cos60=21，tan60=3，72126.851，可使用科学计算器）【答案】 解： （1）雨刮杆AB 旋转的最大角度为180 连接 OB，过 O 点作 AB 的垂线交BA 的延
36、长线于EH， OAB=120， OAE=60在 RtOAE 中， OAE=60， OA=10，sin OAE=OAOE=10OE，OE=53，AE=5. EB=AE+AB=53，在 RtOEB 中，OE=53，EB=53，OB=22BEOE=2884=272153.70；（2）雨刮杆AB 旋转 180得到 CD，即 OCD 与 OAB 关于点 O 中心对称， BAO OCD， SBAO=SOCD，雨刮杆AB 扫过的最大面积S=21(OB2OA2) =1392. 【考点解剖】本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一
37、定的理解困难）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页【解题思路】将实际问题转化为数学问题，（1）AB 旋转的最大角度为180；在 OAB 中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由OAB=120想到作AB 边上的高，得到一个含60角的 RtOAE 和一个非特殊角的RtOEB.在 RtOAE中，已知 OAE=60，斜边OA=10，可求出 OE、AE 的长，进而求得RtOEB 中 EB 的长，再由勾股定理求出斜边OB 的长； （2）雨刮杆 AB 扫过的最大面积就是一
38、个半圆环的面积（以OB、OA 为半径的半圆面积之差） . 【解答过程】略. 【方法规律】将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量. 【关键词】刮雨器三角函数解直角三角形中心对称扇形的面积22如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2 的圆与 y 轴交于点A，点 P（4，2）是 O 外一点，连接AP，直线 PB 与 O 相切于点B，交 x 轴于点 C（1）证明 PA 是 O 的切线；（2）求点 B 的坐标；（3）求直线 AB 的解析式【答案】（1）证明：依题意可知，A（0，2）A（0， 2） ，P（4，2） ，AP x 轴 OAP=90，且点A
39、在 O 上，PA 是 O 的切线；（2）解法一：连接OP， OB，作 PEx 轴于点 E，BDx 轴于点 D，PB 切 O 于点 B， OBP=90，即 OBP=PEC，又 OB=PE=2， OCB=PEC OBC PECOC=PC （或证 RtOAP OBP，再得到 OC=PC 也可）设 OC=PC =x，则有 OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在 RtPCE 中， PC2=CE2+PE2，x2=(4x)2+22，解得 x=25，4 分BC=CE =425=23，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 28 页21OBB
40、C=21OCBD，即21223=2125BD， BD=56OD=22BDOB=25364=58，由点 B 在第四象限可知B（58，56） ；解法二：连接OP，OB，作 PEx 轴于点 E，BDy 轴于点 D，PB 切 O 于点 B， OBP=90即 OBP= PEC又 OB=PE =2， OCB=PEC， OBC PECOC=PC （或证 RtOAP OBP，再得到 OC=PC 也可）设 OC=PC =x，则有 OE=AP =4， CE=OEOC=4x，在 RtPCE 中， PC2=CE2PE2, x2=(4x)2+22，解得 x=25，4 分BC=CE=425=23，BDx 轴， COB=O
41、BD，又 OBC=BDO= 90， OBC BDO， BDOB=ODCB=BOOC，即BD2=BD23=225BD=58， OD=56由点 B 在第四象限可知B（58，56） ；（3）设直线 AB 的解析式为y=kx+b，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 28 页由 A（0，2） ，B（58，56） ，可得5658,2bkb；解得, 2, 2kb直线 AB 的解析式为y= 2x+2【考点解剖】本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等【解题思路】（1） 点 A 在圆上，
42、要证PA 是圆的切线，只要证PAOA（ OAP=90）即可，由A、P两点纵坐标相等可得APx 轴，所以有 OAP+AOC=180得 OAP=90；（2） 要求点 B 的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B 到 x 轴、 y 轴的距离，自然想到构造RtOBD，由 PB 又是 O 的切线，得 RtOAP OBP，从而得 OPC 为等腰三角形，在RtPCE 中, PE=OA =2, PC+CE=OE =4,列出关于CE 的方程可求出CE、OC 的长， OBC 的三边的长知道了，就可求出高BD,再求 OD 即可求得点B 的坐标；（ 3）已知点A、点 B 的坐标用待定系数法可求出直线AB 的解析式【解答
43、过程】略. 【方法规律】从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法. 【关键词】切线点的坐标待定系数法求解析式七、 （本大题共2 小题，第23 题 10 分，第 24 题 12 分，共 22 分）23某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：在等腰 ABC 中， AB=AC ，分别以AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF AB 于点 F，EGAC 于点 G，M 是 BC 的中点，连接MD 和 ME，则下列结论正确的
44、是（填序号即可）AF=AG=21AB； MD=ME ；整个图形是轴对称图形；DAB=DMB 数学思考：在任意 ABC 中，分别以AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图2 所示， M是 BC 的中点，连接MD 和 ME，则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探索：在任意 ABC 中，仍分别以AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3 所示，M 是 BC 的中点，连接MD 和 ME，试判断 MED 的形状答：【答案】解：操作发现：数学思考：答： MD=ME ，MDME，精选学习资料 - - - - - - - - - 名
45、师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 28 页、 MD=ME ；如图 2，分别取AB，AC 的中点 F，G，连接 DF，MF ，MG，EG， M 是 BC 的中点， MFAC，MF =21AC又 EG 是等腰 RtAEC 斜边上的中线， EGAC 且 EG=21AC， MF=EG 同理可证 DF=MG MFAC， MFA BAC=180同理可得 MGA+BAC=180， MFA= MGA又 EGAC， EGA=90同理可得 DFA=90， MFA+ DFA= MGA=EGA，即 DFM= MEG，又 MF=EG ，DF=MG ， DFM MGE（SAS） ， MD=ME 2、
46、MD ME；证法一： MGAB， MFA+ FMG=180，又 DFM MGE， MEG=MDF . MFA+ FMD +DME+MDF =180，其中 MFA+FMD +MDF =90， DME=90. 即 MDME；证法二：如图2，MD 与 AB 交于点 H， ABMG， DHA =DMG ，又 DHA=FDM +DFH , 即 DHA =FDM +90, DMG =DME +GME， DME=90即 MDME；类比探究答：等腰直角三解形【考点解剖】本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高【解题思路】（1） 由图形
47、的对称性易知、都正确，DAB=DMB= 45也正确；（ 2）直觉告诉我们MD 和 ME 是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图 1DFM MGE 的启发， 应想到取中点构造全等来证MD=ME ，证 MD ME 就是要证 DME=90，由 DFM MGE 得 EMG=MDF , DFM 中四个角相加为180， FMG 可看成三个角的和， 通过变形计算可得DME=90 （3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直角三解形. 【解答过程】略. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 28 页【方法规律】由特殊到一般，
48、形变但本质不变（仍然全等）【关键词】课题学习全等开放探究24已知抛物线抛物线y n=- (x-an)2+an（n 为正整数，且0a1a20， a1=1即 y1=(x1)2+1 方法一：令y1=0 代入得： (x1)2+1=0， x1=0，x2=2， y1与 x 轴交于 A0（0， 0） ，A1（2，0） b1=2，方法二： y1=(xa1)2+a1与 x 轴交于点 A0（ 0，0） ， (b11)2+1=0， b1=2 或 0，b1=0（舍去）b1=2又抛物线y2=(xa2)2+a2与 x 轴交于点A1（2，0） ， (2a2)2+ a2=0， a2=1 或 4， a2 a1， a2=1（舍去
49、）取 a2=4，抛物线y2=(x4)2+4（ 2） （9， 9） ；（n2，n2）y=x详解如下：抛物线y2=(x4)2+4 令 y2=0 代入得： (x4)2+4=0，x1=2，x2=6y2与 x 轴交于点A1（2，0） ，A2（6，0） 又抛物线y3= (x a3)2+a3与 x轴交于 A2（6，0） ， (6a3)2+a3=0 a3=4 或 9， a3 a3， a3=4（舍去），即 a3=9，抛物线y3的顶点坐标为（9，9） 由抛物线y1的顶点坐标为（1，1） ，y2的顶点坐标为（4，4） ，y3的顶点坐标为（9，9） ，依次类推抛物线 yn的顶点坐标为（n2，n2） 所有抛物线的顶点的
50、横坐标等于纵坐标，顶点坐标满足的函数关系式是：y= x； A0（0，0） ，A1（ 2，0） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 28 页A0A1=2又 yn=(xn2)2+n2，令 yn=0， (xn2)2+n2=0，即 x1=n2+n，x2=n2n，A n1(n2n，0)，A n(n2+n，0)，即 A n1 A n=( n2+n)( n2n)=2 n存在是平行于直线y=x 且过 A1（2，0）的直线，其表达式为y=x2【考点解剖】本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表示数（符号意识），数