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1、九年数学竞赛试题一、选择题 (每小题 7 分，共 42 分) 1. 在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点. 设 k为整数，当直线 y=x-2 与 y=kx+k 的交点为整点时， k 的值可以取 ( ) (A)4 个(B)5 个(C)6 个(D)7 个2. 如图， AB是O 的直径， C为 AB上的一个动点 (C 点不与A、B重合)，CD AB，AD 、CD分别交 O 于 E、F，则与 AB AC相等的一定是 ( ) (A)AEAD(B)AEED(C)CFCD(D) CF FD3. 在ABC与ABC 中，已知 AB AB， BC BC ，CA C A.下列结论：(1) AB
2、C的边 AB上的高小于 ABC 的边 AB上的高；(2) ABC的面积小于 ABC 的面积；(3) ABC的外接圆半径小于 ABC 的外接圆半径；(4) ABC的内切圆半径小于 ABC 的内切圆半径 . 其中，正确结论的个数为 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D) 4 4. 设，那么 S与 2 的大小关系是 ( ) (A)S=2 (B)S2 (C)S2 (D)S 与 2 之间的大小与 x 的取值有关5. 折叠圆心为 O 、 半径为 10cm的圆纸片，使圆周上的某一点A与圆心 O重合.对圆周上的每一点，都这样折叠纸片，从而都有一条折痕. 那么，所有折痕所在直线上点的全体为 ( ) 精选学
3、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页(A) 以 O为圆心、半径为10cm的圆周(B) 以 O为圆心、半径为5cm的圆周(C) 以 O为圆心、半径为5cm的圆内部分 (D) 以 O为圆心，半径为5cm的圆周及圆外部分6. 已知 x，y，z 都是实数，且 x2+y2+z2=1，则 m=xy+yz+zx( ) (A) 只有最大值 (B) 只有最小值(C) 既有最大值又有最小值 (D) 既无最大值又无最小值二、填空题 (每小题 7 分，共 56 分) 7. 如图是一个树形图的生长过程， 依据图中所示的生长规律， 第 15行的实心圆点
4、的个数等于 _. 8. 如图 3，在ABC中，AD是 BC边上的中线， M是 AD的中点， CM 的延长线交 AB于 N，则 AN:AB的值为 _. 9. 如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm ，宽 BC=5cm ，然后以虚线CE(E点在 AD上) 为折痕，使 D点落在 AB边上 . 则 AE=_cm ，DCE=_ .10. 如图 4， BC是O 的直径， AC切O 于点 C ， AB交O 于点 D， 若 AD:DB=2:3，AC=10 ，sinB 的值为 _ 11. 直角三角形 ABC中，A=90 ， AB=5cm ，AC=4cm ，则A的平分线 AD的长为_cm. 精选学习资料 -
5、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页12. 如图，C 通过原点，并与坐标轴分别交于A，D两点. 已知OBA=30 ，点 D的坐标为 (0,2) ，则点 A，C的坐标分别为 A( , ) ；C( , ). 13. 若关于 x 的方程 rx2-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数，则整数 r 的值可以是_. 14. 将 2,3,4,5,n(n为大于 4 的整数 ) 分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全平方数 . 那么，整数 n 可以取得的最大值是 _. 三、解答题 (每题 13分，共 52 分) 15. 九年(1) 班尚剩班费
6、 m(m为小于 400 的整数 ) 元，拟为每位同学买1 本相册. 某批发兼零售文具店规定：购相册50 本起可按批发价出售，少于50 本则按零售价出售， 批发价比零售价每本便宜2 元，班长若为每位同学买1 本，刚好用完 m元；但若多买 12 本给任课教师， 可按批发价结算， 也恰好只要 m元. 问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？16. 已知关于 x 的方程 x2+4x+3k-1=0的两个实根的平方和不小于这两个根的积；反比例函数的图像的两个分支在各自的象限内，点的纵坐标 y 随点的横坐标 x 的增大而减小 . 求满足上述条件的k 的整数值 . 精选学习资料 - - - - - -
7、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页17. 某中学预计用 1500 元购买甲商品 x 个，乙商品 y 个，不料甲商品每个涨价 1.5 元，乙商品每个涨价1 元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10 个，总金额多用 29 元. 又若甲商品每个只涨价1 元， 并且购买甲商品的数量只比预定数少 5 个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5 元. (1) 求 x、y 的关系式；(2) 若预计购买甲商品的个数的2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于 210，求 x，y 的值. 18. 如图，在 ABC中，BC=6 ，AC=4，C=45 ，P为 BC
8、上的动点，过 P作 PD AB交 AC于点 D，连结 AP ，ABP 、APD 、CDP 的面积分别记为 S1，S2，S3，设 BP=x. (1)试用 x 的代数式分别表示S1，S2，S3；(2) 当 P 点位于 BC上某处使得 APD的面积最大时，你能得出S1、S2、S3之间或 S1、S2、S3两两之间的哪些数量关系 ( 要求写出不少于 3 条) ？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页九年数学竞赛试题答案一、选择题1.A2.A3.A4.D5.D6.C 二、填空题7.377 8.1:39.， 30 10.11.12.(
9、,0) ， (,1) 13.0，1 或 7 14.28 15.设该班共有x 名同学，相册零售价每本y 元.由题设，得xy=(x+12)(y-2) ，且整数 x 满足 38x50.由得 12y-2x-24=0 ，y=+2，xy=+2x.由及 xy=m 为整数，知整数x 必为 6 的倍数，再由，x 只可能为42 或 48. 此时相应的y 为 9 或 10. 但 m400，x=42，y=9. 答： (略). 16.由题意，方程x2+4x+3k-1=0有实数根，故=42-4(3k-1) 0，解之，得 k.设 x1，x2为的根，由根与系数关系知x1+x2=-4，x1 x2=3k-1 ，因x1x2，故(x
10、1+x2)2-3x1x20 ，即(-4)2-3(3k-1) 0，k.又由当 x0 或 x0 时，分别随x 值增大而减小，知1+5k0，即 k-.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页综合，得-k. 满足题中条件的k 可取整数值为0, 1. 17.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a 元和 b 元，则原计划是：ax+by=1500，由甲商品单价上涨1.5 元，乙商品单价上涨1 元，并且甲商品减少10 个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529.再由甲商品单价上涨1 元， 而数量比预计数少5 个， 乙
11、商品单价上涨仍是1 元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5.由，得：- 2 并化简，得x+2y=186. (2)依题意有：2052x+y210 及 x+2y=186. 得 54y. 由于 y 是整数，得y=55，从而得x=76. 答：略 . 18.(1)由题意知：BP=x，0 x6，且有，故 AD= BP=x=x. 过 P作 PMAC 交 AC 于 M 点，过 A 作 AN BC 交 BC 于 N 点，则PM=PC sinC=(BC-PB)sin45 =(6-x) ，S2=SAPD=AD PM=x(6-x)=2x-x2；又 AN=AC sinC=4 sin45 =4，故
12、S1=SABP=BP AN=2x ；S3=SCDP=CD PM 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页=(AC-AD)PM =(4-x) (6-x) =(6-x)2. (2)因为 S2=2x-x2=3-(x-3)2，所以当 x=3 时， S2取最大值S2=3，此时 S1=6，S3=3，因此， S1，S2，S3之间的数量关系有S1=S2+S3，S2=S3，S1=2S2， S1=2S3. (以上 4 个关系只要写出3 个即可 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页