《2022年中考试题分类汇编相似三角形 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考试题分类汇编相似三角形 .pdf（39页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、17、 （2013?牡丹江）如图，在ABC 中 A=60 ，BM AC 于点 M，CNAB 于点 N，P为 BC 边的中点，连接PM，PN，则下列结论： PM=PN； PMN 为等边三角形； 当 ABC=45 时， BN=PC其中正确的个数是（）A1 个B2 个C3 个D4 个考点 ： 相 似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线分析：根 据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断 正确；先证明 ABM ACN ，再根据相似三角形的对应边成比例可判断 正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出ABM= ACN=30 ，再根据三角形的内角和定理求出BCN+ CBM=60
2、，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出BPN+ CPM=120 ，从而得到 MPN=60 ，又由 得 PM=PN ，根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形可判断 正确；当 ABC=45 时， BCN=45 ，由 P 为 BC 边的中点，得出BN=PB=PC，判断 正确解答：解 ： BM AC 于点 M，CNAB 于点 N，P 为 BC 边的中点， PM=BC，PN=BC， PM=PN，正确； 在ABM 与ACN 中， A=A， AMB= ANC=90 ， ABM ACN ，正确； A=60 ，BM AC 于点 M，CNAB 于点 N， ABM= ACN=30 ，在 A
3、BC 中， BCN+ CBM 180 60 30 2=60 ，点 P是 BC 的中点， BM AC，CNAB ， PM=PN=PB=PC ， BPN=2BCN ， CPM=2 CBM ， BPN+CPM=2（ BCN+ CBM ） =2 60 =120 ， MPN=60 ， PMN 是等边三角形，正确； 当 ABC=45 时， CNAB 于点 N，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 39 页 BNC=90 ， BCN=45 ， BN=CN ， P 为 BC 边的中点， PN BC，BPN 为等腰直角三角形 BN=PB=PC，
4、正确故选 D点评：本 题主要考查了直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键39、（ 2013 成都市）如图， 点在线段AC 上， 点 D,E 在 AC 同侧，C90A，BDBE，AD=BC. （1）求证： AC=AD+CE; （2）若 AD=3,CE=5 ，点 P为线段 AB 上的动点，连接DP，作PQDP，交直线 BE 于点Q. i)若点 P与 A,B 两点不重合，求DPPQ的值；ii)当点 P 从 A 点运动到AC 的中点时， 求线段 DQ 的中点所经过的路径 （
5、线段） 长。 （直接写出结果，不必写出解答）。解析：（1）证明： A=C=90DB BE 有 ADB+ ABD=90 以及 ABD+ EBC=90 ADB= EBC 又 AD=BC RtADB RtEBC ? AB=EC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 39 页 AC=AB+BC=EC+AD （2）连结DQ, DPQ= DBQ=90 , D,PB,Q 四点共圆 . 且 DQ 为该圆直径，那么就有DQP=DBP RtDPQRtDAB 35DPDAPQAB )P 到 AC 中点时， AP=4，AD=3 ，由勾股定理得DP=5
6、 由35DPPQ?253PQ.5 343DQ又34DB4 343BQ12 3423MMBQMM即为中点运动轨迹。41、 （2013?徐州）如图，在RtABC 中， C=90 ，翻折 C，使点 C 落在斜边AB 上某一点 D 处，折痕为EF（点 E、F 分别在边 AC 、BC 上）（1）若 CEF 与ABC 相似 当 AC=BC=2 时， AD 的长为； 当 AC=3 ，BC=4 时， AD 的长为1.8 或 2.5；（2）当点 D 是 AB 的中点时， CEF 与 ABC 相似吗？请说明理由考点 ： 相 似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）分析：（1）若 CEF 与ABC 相似 当 AC
7、=BC=2 时， ABC 为等腰直角三角形； 当 AC=3 ，BC=4 时，分两种情况：（ I）若 CE：CF=3：4，如答图 2 所示，此时EFAB， CD 为 AB 边上的高；（ II）若 CF： CE=3：4，如答图3 所示由相似三角形角之间的关系，可以推出 A=ECD 与 B= FCD，从而得到CD=AD=BD ，即 D 点为 AB 的中点；（ 2） 当点 D 是 AB 的中点时，CEF 与ABC 相似可以推出 CFE=A， C=C，从而可以证明两个三角形相似解答：解 ： （1）若 CEF 与ABC 相似 当 AC=BC=2 时， ABC 为等腰直角三角形，如答图1 所示精选学习资料
8、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 39 页此时 D 为 AB 边中点， AD=AC= 当 AC=3 ，BC=4 时，有两种情况：（ I）若 CE：CF=3：4，如答图 2 所示 CE：CF=AC ：BC， EFBC由折叠性质可知，CDEF， CDAB，即此时CD 为 AB 边上的高在 RtABC 中， AC=3 ，BC=4 ， BC=5 ， cosA=AD=AC ?cosA=3 =1.8；（ II）若 CF： CE=3：4，如答图3 所示 CEF CAB ， CEF=B由折叠性质可知，CEF+ECD=90 ，又 A+ B=90 ， A=
9、ECD， AD=CD 同理可得：B=FCD，CD=BD ，此时 AD=AB= 5=2.5综上所述，当AC=3， BC=4 时， AD 的长为 1.8 或 2.5（ 2）当点 D 是 AB 的中点时， CEF 与ABC 相似理由如下：如答图 3 所示，连接CD，与 EF 交于点 Q CD 是 RtABC 的中线， CD=DB=AB ， DCB= B由折叠性质可知，CQF=DQF=90 ， DCB+ CFE=90 ， B+A=90 ， CFE=A，又 C= C， CEF CBA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 39 页点评：
10、本 题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质第（1） 问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意46、 （2013?苏州）如图，点P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点，连接DP 并延长 DP 交边AB 于点 E，连接 BP 并延长交边AD 于点 F，交 CD 的延长线于点G（1）求证： APB APD ；（2）已知 DF：FA=1：2，设线段DP 的长为 x，线段 PF 的长为 y 求 y 与 x 的函数关系式； 当 x=6 时，求线段FG 的长考点 ： 相 似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质分析：（1）根据菱形的性质得出DAP=
11、PAB，AD=AB ，再利用全等三角形的判定得出 APB APD ；（ 2） 首先证明 DFP BEP， 进而得出=，=， 进而得出=， 即=，即可得出答案； 根据 中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6 ，进而得出=，求出即可解答：（1）证明：点P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点， DAP= PAB，AD=AB ，在 APB 和 APD 中， APB APD （SAS） ；（ 2）解： APB APD， DP=PB， ADP= ABP，在 DFP 和 BEP 中， DFP BEP（ASA ） ， PF=PE，DF=BE ， GDAB，精选学习资料 - - - - - - - -
12、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 39 页=， DF：FA=1：2，=，=，=，=，即=， y=x； 当 x=6 时， y= 6=4， PF=PE=4，DP=PB=6 ，=，=，解得： FG=5，故线段 FG 的长为 5点评：此 题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据平行关系得出=，=是解题关键47、 （2013?衢州）【提出问题】（1）如图 1，在等边 ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点B、C） ，连结 AM ，以 AM 为边作等边 AMN ，连结 CN求证： ABC= ACN 【类比探究】（2）如图 2，在等边
13、ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点C） ，其它条件不变，（1）中结论 ABC= ACN 还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图 3，在等腰 ABC 中， BA=BC ，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点B、C） ，连结 AM ，以 AM 为边作等腰 AMN ，使顶角 AMN= ABC 连结 CN试探究 ABC与 ACN 的数量关系，并说明理由考点 ： 相 似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 39 页分析：（1）利用 SAS 可证明
14、 BAM CAN ，继而得出结论；（ 2）也可以通过证明 BAM CAN ，得出结论，和（1）的思路完全一样（ 3）首先得出BAC= MAN ，从而判定 ABC AMN ，得到=，根据 BAM= BAC MAC ， CAN= MAN MAC ，得到 BAM= CAN ，从而判定 BAM CAN ，得出结论解答：（1）证明： ABC 、 AMN 是等边三角形， AB=AC ， AM=AN ， BAC= MAN=60 ， BAM= CAN ，在 BAM 和CAN 中， BAM CAN （SAS） ， ABC= ACN （ 2）解：结论 ABC= ACN 仍成立理由如下：ABC 、AMN 是等边三角
15、形， AB=AC ， AM=AN ， BAC= MAN=60 ， BAM= CAN ，在 BAM 和CAN 中， BAM CAN （SAS） ， ABC= ACN （ 3）解： ABC= ACN 理由如下：BA=BC ，MA=MN ，顶角 ABC= AMN ，底角 BAC= MAN ， ABC AMN ，=，又 BAM= BAC MAC ， CAN= MAN MAC ， BAM= CAN ， BAM CAN ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 39 页 ABC= ACN 点评：本 题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形
16、的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论48、 （2013?绍兴）在 ABC 中， CAB=90 ，AD BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点， EC 与AD 交于点 G，点 F 在 BC 上（1）如图 1，AC ：AB=1 ：2，EFCB，求证： EF=CD （2）如图 2，AC ：AB=1 ：，EFCE，求 EF：EG 的值考点 ： 相 似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）根据同角的余角相等得出CAD= B，根据 AC： AB=1 ：2 及点 E 为 AB 的中点，得出AC=BE ，再利用AAS 证明 ACD
17、 BEF，即可得出EF=CD；（ 2） 作 EHAD 于 H， EQ BC 于 Q， 先证明四边形EQDH 是矩形，得出 QEH=90 ，则 FEQ=GEH， 再由两角对应相等的两三角形相似证明EFQ EGH， 得出 EF：EG=EQ：EH，然后在 BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在 AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又 BE=AE ，进而求出EF：EG 的值解答：（1）证明：如图1，在 ABC 中， CAB=90 ，AD BC 于点 D， CAD= B=90 ACB AC：AB=1 ：2， AB=2AC ，点 E 为 AB 的中点， AB=2BE ， AC=BE 在
18、 ACD 与 BEF 中， ACD BEF， CD=EF，即 EF=CD；（ 2）解：如图2，作 EHAD 于 H，EQBC 于 Q， EHAD ，EQBC，AD BC，四边形EQDH 是矩形， QEH=90 ， FEQ=GEH=90 QEG，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 39 页又 EQF=EHG=90 ， EFQ EGH ， EF：EG=EQ：EH AC：AB=1 ：， CAB=90 ， B=30 在 BEQ 中， BQE=90 ， sinB=， EQ=BE在 AEH 中， AHE=90 ，AEH= B=30 ，
19、cosAEH=， EH=AE 点 E 为 AB 的中点， BE=AE ， EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1 ：点评：本 题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形， 综合性较强， 有一定难度 解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH 是矩形50 、 (2013年 广 东 省9 分 、 25 压 轴 题 ) 有 一 副 直 角 三 角 板 ,在 三 角 板 ABC中 , BAC=90 ,AB=AC=6,在三角板DEF中, FDE=90 ,DF=4,DE=34. 将这副直角三角板按如题25 图(1) 所示位置摆放, 点 B与点
20、F重合 , 直角边 BA与 FD在同一条直线上. 现固定三角板ABC,将三角板 DEF沿射线 BA方向平行移动 , 当点 F 运动到点A时停止运动 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 39 页(1)如题 25 图(2),当三角板 DEF 运动到点D 与点 A 重合时 ,设 EF 与 BC 交于点 M, 则 EMC=_ 度；(2)如题 25 图（ 3），在三角板DEF 运动过程中 ,当 EF 经过点 C 时,求 FC 的长 ; (3)在三角板DEF 运动过程中 ,设 BF=x,两块三角板重叠部分面积为y,求y与x的函数解析式
21、 ,并求出对应的x取值范围 . 解析 ：（1）15；（ 2）在 Rt CFA中,AC=6, ACF= E=30, FC=30cosAC=63423(3) 如图 (4), 设过点 M作 MN AB于点 N,则 MN DE,NMB= B=45, NB=NM,NF=NB-FB=MN-xMN DE FMN FED,FDFNDEMN, 即434xMNMN，xMN233当20 x时,如图 (4) ,设 DE 与 BC 相交于点 G ,则 DG=DB=4+ xxxxMNBFDGDBSSyBMFBGD23321)4(2121212即844312xxy; 当3262x时,如图 (5), xxMNBFACSSyB
22、MFBCA23321362121212即184332xy; 当4326x时, 如图 (6) 设 AC 与 EF 交于点 H，AF= 6x， AHF =E=30AH=)6(33xAF2)6(23)6(3)6(21xxxSyFHA综上所述，当20 x时，844312xxy题 25 图(4) FNMEDCBAGFNMEDCBA题 25 图(5) HFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 39 页当3262x，184332xy当4326x时，2)6(23xy51、 （2013?遵义）如图，在Rt ABC 中， C=90 ，
23、AC=4cm ，BC=3cm 动点 M，N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点 A，B 移动，同时动点P 从点 B出发， 以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动， 连接 PM，PN，设移动时间为t（单位： 秒，0t2.5） （1）当 t 为何值时，以A，P，M 为顶点的三角形与ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC 的面积 S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由考点 ： 相 似形综合题分析：根 据勾股定理求得AB=5cm （ 1）分类讨论：AMP ABC 和APM ABC 两种情况利用相似三角形的对应边成比例来求t
24、 的值；（ 2）如图，过点P 作 PHBC 于点 H，构造平行线PHAC ，由平行线分线段成比例求得以t 表示的 PH 的值；然后根据 “ S=SABCSBPH” 列出 S 与 t 的关系式 S= （t）2+（0t 2.5） ，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值解答：解 ：如图，在RtABC 中， C=90 ，AC=4cm ， BC=3cm 根据勾股定理，得=5cm（ 1）以 A，P， M 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况： 当AMP ABC 时，=，即=，解得 t=； 当APM ABC 时，=，即=，解得 t=0（不合题意，舍去） ；精选学习资料 - - - - - - - -
25、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 39 页综上所述，当t=时，以 A、P、M 为顶点的三角形与 ABC 相似；（ 2）存在某一时刻t，使四边形APNC 的面积 S有最小值理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC 的面积 S有最小值如图，过点P作 PHBC 于点 H则 PHAC，=，即=， PH=t， S=SABCSBPH，= 3 4 （3t）?t，=（t）2+（0t2.5） 0， S 有最小值当 t=时， S最小值=答：当 t=时，四边形APNC 的面积 S 有最小值，其最小值是点评：本 题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的
26、求法以及三角形面积公式解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边52、 （2013?泰州）如图，在矩形ABCD 中，点 P 在边 CD 上，且与C、D 不重合，过点A作 AP 的垂线与CB 的延长线相交于点Q，连接 PQ，M 为 PQ 中点（1）求证： ADP ABQ ；（2）若 AD=10 ，AB=20 ，点 P在边 CD 上运动，设DP=x，BM2=y，求 y 与 x 的函数关系式，并求线段BM 的最小值；（3）若 AD=10 ，AB=a ，DP=8，随着 a 的大小的变化，点M 的位置也在变化当点M 落在矩形 ABCD 外部时，求a的
27、取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 39 页考点 ： 相 似形综合题分析：（1）由对应两角相等，证明两个三角形相似；（ 2）如解答图所示，过点M 作 MN QC 于点 N，由此构造直角三角形BMN ，利用勾股定理求出y 与 x 的函数关系式，这是一个二次函数，求出其最小值；（ 3） 如解答图所示， 当点 M 落在矩形ABCD 外部时， 须满足的条件是“ BEMN ” 分别求出 BE 与 MN 的表达式，列不等式求解，即可求出a 的取值范围解答：（1）证明： QAP= BAD=90 ， QAB= PAD，又 ABQ=
28、 ADP=90 ， ADP ABQ （ 2）解： ADP ABQ ，即，解得 QB=2x DP=x，CD=AB=20 ， PC=CDDP=20 x如解答图所示，过点M 作 MN QC 于点 N， MN QC，CDQC，点 M 为 PQ 中点，点N 为 QC 中点， MN 为中位线， MN=PC= （20 x）=10 x，BN=QC BC= （BC+QB ） BC=（10+2x） 10=x 5在 RtBMN 中，由勾股定理得： BM2=MN2+BN2= （10 x）2+（x5）2=x220 x+125， y=x220 x+125（0 x 20） y=x220 x+125= （x 4）2+45，当
29、 x=4 即 DP=4 时， y 取得最小值为45，BM 的最小值为=（ 3）解：设PQ 与 AB 交于点 E如解答图所示，点M 落在矩形ABCD 外部，须满足的条件是BEMN ADP ABQ ，即，解得 QB=a ABCD， QBE QCP，即，解得 BE= MN 为中位线，MN=PC= （a8） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 39 页 BEMN ，（ a8） ，解得 a12.5当点 M 落在矩形 ABCD 外部时， a 的取值范围为：a12.5点评：本 题综合考查了相似三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、二次函
30、数的最值、解一元一次不等式等知识点，涉及考点较多，有一定的难度解题关键是：第（2）问中， 由 BM2=y，容易联想到直角三角形与勾股定理；由最值容易联想到二次函数；第（ 3）问中需要明确“ 点 M 落在矩形ABCD 外部 ” 所要满足的条件54、 （2013 泰安）如图，四边形ABCD 中，AC 平分 DAB ，ADC= ACB=90 ，E 为 AB的中点，（1）求证： AC2=AB ?AD ；（2）求证： CEAD ；（3）若 AD=4 ， AB=6 ，求的值考点 ：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线分析： （1）由 AC 平分 DAB ，ADC= ACB=90 ，可证得 ADC
31、 ACB ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB ?AD ；（2）由 E 为 AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE ，继而可证得DAC= ECA ，得到 CEAD ；（3）易证得 AFD CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值解答： （1）证明： AC 平分 DAB ， DAC= CAB ， ADC= ACB=90 ， ADC ACB ，AD ：AC=AC ：AB ，AC2=AB ?AD ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 39 页（2）证明： E
32、为 AB 的中点，CE=AB=AE ， EAC= ECA ， DAC= CAB ， DAC= ECA，CEAD ；（3）解： CEAD ， AFD CFE，AD ：CE=AF ：CF，CE=AB ，CE= 6=3，AD=4 ，点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用55、 （2013?苏州）如图，点O 为矩形 ABCD 的对称中心， AB=10cm ，BC=12cm ，点 E、F、G 分别从 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s，点 F的运动速度为3cm/s，点 G
33、的运动速度为1.5cm/s，当点 F到达点 C（即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中，EBF 关于直线 EF 的对称图形是EBF设点 E、F、G 运动的时间为t（单位： s） （1）当 t=2.5s 时，四边形EBFB 为正方形；（2）若以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在实数t，使得点B 与点 O 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由考点 ： 相 似形综合题分析：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF ，列一元一次方程求解即可；（ 2） EBF 与FCG 相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算
34、；（ 3）本问为存在型问题假设存在， 则可以分别求出在不同条件下的t 值，它们互相矛盾，所以不存在解答：解 ： （1）若四边形EBFB 为正方形，则BE=BF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 39 页即： 10t=3t，解得 t=2.5；（ 2）分两种情况，讨论如下： 若EBF FCG，则有，即，解得： t=2.8； 若EBF GCF，则有，即，解得： t=142（不合题意，舍去）或t=14+2当 t=2.8s 或 t=（ 14+2）s时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似（ 3）假设
35、存在实数t，使得点 B 与点 O 重合如图，过点O 作 OMBC 于点 M，则在 RtOFM 中， OF=BF=3t ，FM=BCBF=6 3t， OM=5 ，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即： 52+（63t）2=（ 3t）2解得： t=；过点 O 作 ONAB 于点 N，则在 RtOEN 中， OE=BE=10 t， EN=BE BN=10 t 5=5 t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即： 62+（5t）2=（10t）2解得： t=3.9 3.9，不存在实数t，使得点B与点 O 重合点评：本 题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、 相似三角形的判定性质、勾股
36、定理、解方程等知识点题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 39 页56、 （2013?包头）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与 BD 相交于点O，点 E 是 BC 上的一个动点，连接DE，交 AC 于点 F（1）如图 ，当时，求的值；（2）如图 当 DE 平分 CDB 时，求证： AF=OA；（3）如图 ，当点 E 是 BC 的中点时，过点F 作 FGBC
37、 于点 G，求证： CG=BG考点 ： 相 似形综合题分析：（1）利用相似三角形的性质求得EF 于 DF 的比值， 依据 CEF 和 CDF 同高， 则面积的比就是EF 与 DF 的比值，据此即可求解；（ 2） 利用三角形的外角和定理证得ADF= AFD ， 可以证得AD=AF ， 在直角 AOD中，利用勾股定理可以证得；（ 3）连接 OE，易证 OE 是BCD 的中位线，然后根据FGC 是等腰直角三角形，易证 EGF ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得解答：（ 1）解：=，=四边形ABCD 是正方形， AD BC，AD=BC ， CEF ADF ，=，=，=；（ 2）证明： DE
38、 平分 CDB ， ODF=CDF，又 AC、BD 是正方形ABCD 的对角线 ADO= FCD=45 ， AOD=90 ， OA=OD ，而 ADF= ADO+ ODF ， AFD= FCD+ CDF， ADF= AFD ， AD=AF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 39 页在直角 AOD 中，根据勾股定理得：AD=OA ， AF=OA（ 3）证明：连接OE点 O 是正方形ABCD 的对角线 AC、BD 的交点点 O 是 BD 的中点又点 E 是 BC 的中点， OE 是 BCD 的中位线， OECD，OE=CD
39、， OFE CFD=，=又 FGBC，CDBC， FGCD， EGF ECD ，=在直角 FGC 中， GCF=45 CG=GF，又 CD=BC ，=，= CG=BG点评：本 题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键57、（ 2013 哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0 为坐标原点， A点的坐标为 (3 ，0) ，以 0A为边作等边三角形OAB ，点 B在第一象限，过点B作 AB的垂线交x 轴于点 C动点 P从 0 点出发沿 0C向 C点运动，动点Q从 B点出发沿BA向 A点运动， P,Q 两点同时出发，速度均为 1 个单位秒。设运动时
40、间为t 秒精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 39 页 (1)求线段 BC的长； (2)连接 PQ交线段 OB于点 E，过点 E作 x 轴的平行线交线段BC于点 F。设线段 EF的长为 m ，求 m与 t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围： (3)在(2) 的条件下，将BEF绕点 B逆时针旋转得到BE1F1, 使点 E的对应点E1落在线段 AB上， 点 F 的对应点是F1， E1F1交 x 轴于点 G， 连接 PF、 QG ， 当 t 为何值时，2BQ-PF= 33QG? 考点 ： 等边三角形判定与性质、相
41、似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程分析 ：（1）由 AOB为等边三角形得ACB= OBC=300，由此 CO=OB=AB=OA=3，在 RTABC中，AC为 6 ，从而 BC=3 3（2）过点 Q作 QN 0B 交 x轴于点 N，先证 AQN 为等边三角形，从而NQ=NA=AQ=3-t ，NON=3- (3-t)=t PN=t+t=2t ，再由 POE PNQ后 对应边成比例计算得3122OEt再由 EF=BE易得出m与 t 之间的函数关系式(3) 先证 AE G为等边三角形，再证QGA=900通过两边成比例夹角相等得FCP BCA 再用含t 的式
42、子表示BQ 、PF、QG通过解方程求出解答 ：(1) 解：如图l AOB为等边三角形 BAC= AOB=60 。BCAB ABC=900 ACB=300OBC=300 ACB= OBC CO=OB=AB=OA=3 AC=6 BC=32AC=3 3(2) 解：如图l 过点 Q作 QN 0B交 x 轴于点 N QNA= BOA=600=QAN QN=QA AQN为等边三角形NQ=NA=AQ=3-t NON=3- (3-t)=t PN=t+t=2t OE QN POE PNQ OEPOQNPN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共
43、39 页132OEt3122OEtEFx 轴 BFE= BCO= FBE=300EF=BE m=BE=OB-OE1322t(0t3) (3) 解：如图2 11180120BE FBEFEBFEFB AEG=600= EAG GE1=GA AE G为等边三角形1113312222QEBEBQmtttt11113122QEGAAEABBEBQtQE l= 2 3=4 l+ 2+3+ 4=1800 2+3=900即 QGA=900EFOC BFBEBCBO33 333223 3BFmBFmt313322BCCF3CPCOOPt313332263 3tCFtCPCBCA FCP= BCA FCP BC
44、A 32PFCPtPFABCA2BQ PF=33QG 33312(33 )2322ttt t=1 当 t=1 时， 2BQ PF=33QG 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 39 页59、 （2013?咸宁）阅读理解：如图 1， 在四边形ABCD 的边 AB 上任取一点E （点 E 不与点 A、点 B 重合） ，分别连接 ED，EC，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点； 如果这三个三角形都相似，我们就把 E叫做四边形 ABCD的边 AB
45、 上的强相似点解决问题：（1） 如图 1， A= B=DEC=55 ， 试判断点E 是否是四边形ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图 2，在矩形ABCD 中， AB=5 ，BC=2 ，且 A，B，C，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2 中画出矩形ABCD 的边 AB 上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图 3，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点D 落在 AB 边上的点E 处若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究AB 和 BC 的数量关系考点 ： 相 似形综合题分析：（1）要证
46、明点E 是四边形ABCD 的 AB 边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明ADE BEC ，所以问题得解（ 2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可（ 3）因为点 E 是梯形 ABCD 的 AB 边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE 和 BE 的数量关系，从而可求出解解答：解 ： （1）点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点理由： A=55 ， ADE+ DEA=125 DEC=55 ， BEC+DEA=125 ADE= BEC （2 分） A=B， ADE BEC点 E 是四边形ABCD 的 AB
47、边上的相似点（ 2）作图如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 39 页（ 3）点 E 是四边形ABCM 的边 AB 上的一个强相似点， AEM BCE ECM ， BCE=ECM= AEM 由折叠可知： ECM DCM ， ECM= DCM ，CE=CD ， BCE=BCD=30 ， BE=CE=AB 在 RtBCE 中， tan BCE=tan30 ，点评：本 题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论60、 (2013 年黄石 ) 如图 1，点C将线段AB
48、分成两部分，如果ACBCABAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S、2S，如果121SSSS，那么称直线为该图形的黄金分割线. （1）如图 2，在ABC中，36A，ABAC，C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；（2）若ABC在（ 1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是ABC的黄金分割线，并证明你的结论；（3）如图 4，在直角梯形ABCD中，90DC，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交
49、于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论. E A C B A D B C A C D H A B B F C D 图 1 图 2 图 3 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 39 页解析 ：解：（ 1）点D是AB边上的黄金分割点，理由如下：36A，ABAC72BACBCD平分ACB36DCB72BDCBABCD，BBBCDBACBCBDABBC又BCCDADADBDABABD是AB边上的黄金分割点 （3 分）（2）直线CD是ABC的黄金分割线，理由
50、如下：设ABC的边AB上的高为h，则12ADCSAD h，12DBCSBD h，12ABCSAB h:ADCABCSSADAB，:DBCADCSSBDADD是AB的黄金分割点ADBDABAD:ADCABCDBCADCSSSSCD是ABC的黄金分割线 （3 分）（3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线BCADEBGEAH，EGCEHDBGEGAHEHGCEGHDEH由、得BGGCAHHD即BGAHGCHD同理，由BGFDHF，CGFAHF得BGGCHDAH即BGHDGCAH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 39 页由、得