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1、学习必备欢迎下载不等式恒成立问题的处理恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型； 其他类不等式恒成立一、 一次函数型给定一次函数y=f(x)=ax+b(a 0),若 y=f(x) 在m,n 内恒有 f(x)0 ， 则根据函数的图象 （直线）可得上述结论等价于0)(0)(nfmf同理，若在 m,n内恒有 f(x)2a+x 恒成立的x 的取值范围。解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10, 设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在-2,2上恒大于0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或x3. 例 2. 已知
2、Pxbxbxaa(log)(log)logloglog2222161（其中 a 为正常数），若当x 在区间 1，2内任意取值时，P 的值恒为正，求b 的取值范围。解： P 变形为Pbbxbaaa(log)loglog(log)222611n m o x y n m o x y 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载设txtlog201，则，Pf tbbtbaaa( )(log)log(
3、log)22611因此，原题变为当t 在区间 0，1内任意取值时，f（ t）恒为正，求b 的取值范围。由充要条件，当(log)log(log)aaabbb2261010（ 1）或fbfbaa( )(log)( )log01016202（2）解（ 1）得132 2132 213logab解（ 2）得113logab故，当a1时，13aba当0113aaba时，例 3 设Pxaxa(log)()log22221，若当a22，时，P0 恒成立， 求 x 的变化范围。解：设Pf axaxx( )(log)loglog2221221当a22，时的图像是一条线段，所以a 在2 2,上变动时， P 恒为正值
4、的充要条件是ff()( )2020即logloglog2222243010 xxx解得loglog2231xx或即 x 的取值范围是0128，二、二次函数型（1） 当二次函数的定义域为R 时： 若二次函数y=ax2+bx+c (a0)大于 0恒成立，则有00a若二次函数y=ax2+bx+c (a0)小于 0 恒成立，则有00a例 1.若函数268ymxmxm在 R 上恒成立，求m 的取值范围。略解：要使268ymxmxm在 R 上恒成立，即2680mxmxm在 R 上恒成立。1o0m时，800m成立名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归
5、纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2o0m时，2036483210mmmm m，01m由1o，2o可知，01m例 2已知函数) 1(lg22axaxy的定义域为R，求实数a的取值范围。解 ： 由 题 设 可 将 问 题 转 化 为 不 等 式0)1(22axax对Rx恒 成 立 ， 即 有04)1(22aa解得311aa或。所以实数a的取值范围为),31() 1,(。练习 1： .已知函数2( )3f xxaxa，在 R 上( )0f x恒成立，求a的取值范围。（2）当二次函
6、数的定义域不是R 时，即二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解；有时也可以转化为求最值。例 1：若2,2x时，03)(2aaxxxf恒成立，求a的取值范围。解：22( )324aaf xxa，令( )f x在2,2上的最小值为( )g a。当22a，即4a时，( )( 2)730g afa73a又4aQa不存在。当222a，即44a时，2( )()3024aag afa62a又44aQ42a 当22a， 即4a时 ，( )(2)70g afa7a又4aQ74a总上所述，72a。变式 2：若2,2x时，( )2f x恒成立，求a的取值范围。解法一 ：分析：题
7、目中要证明axf)(在2,2上恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间2,2 时恒大于等于 0 的问题。略解：2( )320f xxaxa，即2( )10f xxaxa在2,2上成立。24 10aa22 222 2a名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载24(1)0(2)0( 2)02222aaffaa或2225a综上所述，2225a。解法二：（利用根的分布情况知
8、识）当22a，即4a时，( )( 2)732g afa54,3aa不存在。当222a，即44a时，2( )()3224aag afa，222222a2224a当22a，即4a时，( )(2)72g afa，5a54a综上所述2225a。例2. 已 知 函 数f xxmxm( )()()2525在 其 定 义 域 内 恒 为 非 负 ， 求 方 程212 1xmm|的根的取值范围。解：因为f（x）恒为非负，则()()mm58502解得53m，方程化为212 1xmm()(|)当52m时，则21 21xmm()()所以2231422xmmm()所以242xx，当 23m时，则211131822xm
9、mmm()()，所以log233x所以方程的根的取值范围是，3例 2设22)(2mxxxf，当), 1x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。解：设mmxxxF22)(2，则当), 1x时，0)(xF恒成立当120)2)(1(4mmm即时，0)(xF显然成立；2 2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为：1220)1(0mF解得23m。综
10、上可得实数m的取值范围为)1 , 3。三、其他类不等式恒成立问题一般转化为求最值将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）axf)(恒成立min)(xfa2）axf)(恒成立max)(xfa例 1已知xxxxgaxxxf4042)(,287)(232，当3, 3x时，)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围。解：设cxxxxgxfxF1232)()()(23，则由题可知0)(xF对任意3, 3x恒成立令01266)(2xxxF，得21xx或而,20)2(,7)1(aFaF,9)3(,45)3(aFaF045)(maxaxF45a即实数a的取值范围为),45。例
11、2函数), 1 ,2)(2xxaxxxf，若对任意), 1x，0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：若对任意), 1x，0)(xf恒成立，即对), 1x，02)(2xaxxxf恒成立，考虑到不等式的分母), 1x，只需022axx在), 1x时恒成立而得而抛物线axxxg2)(2在), 1x的最小值03) 1()(minagxg得3aO x yx -1 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必
12、备欢迎下载注：本题还可将)(xf变形为2)(xaxxf，讨论其单调性从而求出)(xf最小值。分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag2）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag实际上，上题就可利用此法解决。例 1已知函数4, 0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立， 求实数a的取值范围。解：将问题转化为xxxa24对4,0(x恒成立。令xxxxg24)(，则min)(xga由
13、144)(2xxxxxg可知)(xg在4,0(上为减函数，故0)4()(mingxg0a即a的取值范围为)0 ,(。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例 2.已知函数( )lg()xxf xab，常数10ab，求（ 1）函数( )yf x的定义域；（2）当ba、满足什么条件时( )f x在区间1,上恒取正。解： （1）( )lg()xxfxabQ0 xxab1)(xba，又10abQ0 x定义域|0 x x（2）欲使0)lg(xxba在1,恒成立，则1xxba在1,恒成立，由于10ab，所以函数xxbay在1,单调递增，所以babaxx1ab且10ab。例5 已知函数)(
14、xf在定义域4，上为减函数，若27(sin )( 12cos)4f mxfmx对于任意的xR成立， 求m的取值范围。（纠错 64 页）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 3 若不等式12xxa在xR上恒成立（ 或改为有解 ）求的取值范围。数形结合法数学家华罗庚曾说过： “数缺形时少直观，形缺数时难入微” ，这充分说明了数形结合思想的妙处， 在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。
15、我们知道， 函数图象和不等式有着密切的联系：1）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。例 1设xxxf4)(2 , axxg134)(, 若恒有)()(xgxf成立 , 求实数a的取值范围 . 分析：在同一直角坐标系中作出)(xf及)(xg的图象如图所示，)(xf的图象是半圆)0(4)2(22yyx)(xg的图象是平行的直线系03334ayx。要使)()(xgxf恒成立，则圆心)0 ,2(到直线03334ayx的距离满足25338ad解得355aa或（舍去 ) x -2 -4 y O -4 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -