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1、一元一次方程提高试题讲练一 分类讨论例1 a 取什么值时，方程a(a 2)x=4(a 2) 有唯一的解？无解？有无数多解？是正数解？解：当a0 且 a2 时，方程有唯一的解，x=a4当 a=0 时，原方程就是0 x= 8，无解；当 a=2 时，原方程就是0 x=0 有无数多解由可知当a0 且 a2 时，方程的解是x=a4, 只要 a 与 4 同号，即当 a0 且 a2 时，方程的解是正数。例2 k 取什么整数值时，方程k(x+1)=k 2（x2）的解是整数？（ 1x）k=6 的解是负整数？解：化为最简方程（k2）x=4 当 k+2 能整除 4，即 k+2=1， 2， 4 时，方程的解是整数k=
2、1， 3，0， 4，2， 6 时方程的解是整数。化为最简方程kx=k 6，当 k0 时 x=kk6=1k6，只要 k 能整除 6, 即 k= 1， 2， 3， 6 时， x 就是整数当k=1,2,3时，方程的解是负整数5， 2， 1。例3 己知方程a(x 2)=b(x+1) 2a 无解。问a 和 b 应满足什么关系？解：原方程化为最简方程：(a b)x=b 方程无解，ab=0 且 b0 a 和 b 应满足的关系是a=b 0。例 4 a、b 取什么值时，方程（3x2）a+（2x3）b=8x 7 有无数多解？解：原方程化为最简方程：（3a+2b8）x=2a+3b7，根据0 x0 时，方程有无数多解
3、，可知当07320823baba时，原方程有无数多解。解这个方程组得12ba答当 a=2 且 b=1 时，原方程有无数多解。例 5 解关于 x 的方程 (mx-n)(m+n)=0 解 把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 整理得 m(m+n)x=n(m+n) 当 m+n 0，且 m=0时，方程无解；当 m+n=0时，方程的解为一切实数说明含有字母系数的方程，
4、一定要注意字母的取值范围解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论例 6 解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2解 将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2(1) 当 a2-b20 时，即 a b 时，方程有唯一解(2) 当 a2-b2=0 时，即 a=b 或 a=-b 时，若 a-b 0，即 ab，即 a=-b 时，方程无解；若a-b=0 ，即 a=b，方程有无数多个解例 7 已知 (m2-1)x2-(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程，求代数式199
5、(m+x)(x-2m)+m 的值解 因为 (m2-1)x2-(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程，所以m2-1=0 ，即 m= 1(1) 当 m=1时，方程变为 -2x+8=0 ，因此 x=4，代数式的值为199(1+4)(4-21)+1=1991 ；(2) 当 m=-1 时，原方程无解所以所求代数式的值为1991名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例 8 已知关于x 的方程 a(2x-
6、1)=3x-2无解，试求a 的值解 将原方程变形为2ax-a=3x-2 ，即 (2a-3)x=a-2由已知该方程无解，所以例 9 k 为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k 的解是正数？解 按未知数x 整理方程得(k2-2k)x=k2-5k 要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k) 0看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)因为 k20，所以只要k5 或 k2 时上式大于零，所以当k 2 或 k 5 时，原方程的解是正数，所以k5 或 0k2 即为所求例 10 若 abc=1，解方程解 因为 abc=1，所以原方程可变形为化简整理为名师归纳总结 精品
7、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化例 11 若 a，b，c 是正数，解方程解法 1 原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc移项、合并同类项得abx-(a+b+c)+bcx-(a+b+c) +acx-(a+b+c)=0，因此有x-(a+b+c)(ab+bc+ac)=0因
8、为 a0，b0， c0，所以 ab+bc+ac0，所以x-(a+b+c)=0 ，即 x=a+b+c 为原方程的解解法 2 将原方程右边的3 移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 其余两项做类似处理设 m=a+b+c ，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0 所以 x=a+b+c 为原方程的解说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之
9、一例 12 设 n 为自然数， x 表示不超过x 的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉 ，由于 n 是自然数，所以n 与(n+1) , ， nx 都是整数，所以x 必是整数解 根据 分析 ， x 必为整数，即x=x ，所以原方程化为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 合并同类项得故有所以 x=n(n+1) 为原方程的解例 13 已知关于x 的方程且 a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试
10、求自然数a 的最小值解 由原方程可解得a 最小，所以x 应取 x=160所以所以满足题设的自然数a 的最小值为2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 练 习1. 关于 x 的方程 ax=x+2 无解，那么a_ 2. 在方程 a(a 3)x=a 中，当 a 取值为时，有唯一的解；当a时无解；当 a时 , 有无数多解；当a时 , 解是负数。3.k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？x=k4x=16k
11、x=kk32x=123kk4.k 取什么值时，方程xk=6x 的解是正数？是非负数？5.m取什么值时，方程3（m+x ）=2m 1的解是零？是正数？6.己知方程221463ax的根是正数，那么a、b 应满足什么关系？7.m取什么整数值时，方程mmx321) 13(的解是整数 ? 8.己知方程axxb231)1(2有无数多解，求a、b 的值。练习 参考答案1. 1 3 9 无解无解无数多个解2.a=1 3. a 3,a 0；a=3；a=0；a3 且 a0 4. k=1, 2, 4 2，0，3， 1，4， 2， 7， 5 1， 3 4， 5，02（153123kkk）5. k0 8. 化为最简方程
12、mx=m+3, 当 m= 1, 3 时，有整数解9. 化为最简方程(3a b)x=b+2 当0203bba时方程无解，解得232ba几种类型的一元一次方程的解法例 1. （2001 年湖南常德中考题）已知| 31|2x，则x（）. （A）1 （B）13（C）1 或13（D）无解例 2. （1996 年“希望杯”赛题）若|,xa则|xa（）. （ A）0 或 2a（B）xa（C）ax（D）0 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - -
13、- - - - - - - 例 3. （2001 年重庆市竞赛题）若|20002000 | 202000 x. 则x等于（）. （A）20 或 21 （B ） 20 或 21 （C） 19 或 21 （D）19 或 21 练 习1. （1997 年四川省初中数学竞赛题）方程|5|25xx的根是 _. 2. （ 2000 年 山 东 省 初 中 数 学 竞 赛 题 ） 已 知 关 于x的 方 程22()mxmx的 解 满 足1|102x，则x的值是（）. （A）10 或25（B） 10 或25（C） 10 或25（D） 10 或253. （2000 年重庆市初中数学竞赛题）方程|56|65xx的
14、解是 _. . 例 4. （ “迎春杯”竞赛题）解方程|3|1|1xxx练 习1. （2000 年“希望杯”竞赛题）若0a，则200011|aa等于（）. （A）2007a（B） 2007a（C） 1989a（D）1989a2. （ “江汉杯”竞赛题）方程|1|99|2 | 1992xxx共有（）个解 . （A）4 （B）3 （C）2 （D） 1 例 5. （第 11 届 “希望杯”竞赛题）适合| 27 |21|8aa的整数的值的个数有 （） . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -
15、 - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - （A）5 （B）4 （C）3 （D）2 例 6. （1999 年武汉市竞赛题）若0,0ab则使|xaxbab成立的的取值范围是_. 练 习1.（1998 年“希望杯” 竞赛题） 适合关系式|34 | 32 |6xx的整数的值是 （）. （A）0 （B）1 （ C ）2 （D）大于 2 的自然数2. （ “祖冲之杯”竞赛题）方程成立的未知数的取值范围是_. 例 7. 解下列关于的方程：()()()(0)cxb cxa bxb ax ac. 例 8. 解关于x的方程：. 练 习解关于的方程. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -