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1、 八年级上期末复习资料第十一章 三角形一、知识框架二、知识概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫
2、做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：三角形的内角和：三角形的内角和为 180。三角形外角的性质：性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.多边形内角和公式：n 边形的内角和等
3、于(n-2)180。多边形的外角和：多边形的外角和为 360.多边形对角线的条数：从边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分成(n-2)个三角形.边形共有 n(n-3)/2 条对角线.7、全等三角形（1）全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（2）三角形全等的判定三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角
4、形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）（3）全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。中考规律盘点及预测三角形的两边之和大于第三边的性质历年来是经常考到的填空题的类型，三角形角度的计算也是考到的填空题的类型，三角形
5、全等的判定是很重要的知识点，在考试中往往会考到。典例分析例 1 如图，已知1=2，则不一定能使ABDACD 的条件是（） A、AB=ACB、BD=CD C、B=CD、BDA=CDA考点：全等三角形的判定。例2 1、在ABC 中，已知B = 40，C = 80，则A =2、在ABC 中，A = 60，C = 50，则B 的外角= 。考点：1、2 两题均为三角形的内角之和为 1803、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ），4cm，8cm ，6cm，11cm ，6cm，10cm ，8cm，12cm4、小华要从长度分别为 5cm、6cm、11cm、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那
6、么他选的三根木棒的长度分别是_ .考点：3、4 两题是三角形的两边之和大于第三边的性质例3 如图，AD 是ABC 的角平分线，DFAB，垂足为 F，DE=DG，ADG和AED 的面积分别为 50 和 39，则EDF 的面积为（ ）A、11 B、C、7D、考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质。例4 如图，在下列条件中，不能证明ABDACD 的是（ ）=DC，AB=ACB.ADB=ADC，BD=DCD.B=C，BD=DCC.B=C，BAD=CAD考点：全等三角形的判定 B F C E A D例 5 如图，点 、 、 、 在同一条直线上，点 、 在直线BE的 两， 使得AB DE BF CE
7、侧， ， = ，请添加一个适当的条件：AC DF= .考点：全等三角形的判定与性质.第二章 特殊三角形复习总目标1、掌握等腰三角形的性质及判定定理2、了解直角三角形的基本性质2、掌握勾股定理的计算方法知识点概要1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。3、三角形中的中位线连接三角形
8、两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹
9、角与这夹角所对的三角形的顶角相等。4、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余（2）在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（4）勾股定理：直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平222（5）摄影定理例中项ACB=90CD2= AD BD2AC = AD ABCDABBC= BD AB2（6）常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC中考规律盘点及预测特殊三角形中的等腰三角形与第一章的全等三角形的证明结合起来这种题型会常出现，等腰三角形的性质是基础知识，必须得掌握并灵活的运用到各类题型中去，这类题型中考也是必考
10、的。典例分析1212例 1 在ABC 中，AB=AC，1= ABC，2= ACB，BD 与 CE 相交于点 O，如图，BOC 的大小与A 的大小有什么关系1313若1= ABC，2= ACB，则BOC 与A 大小关系如何 11若1= ABC，2= ACB，则BOC 与A 大小关系如何nn考点：等腰三角形例2 如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，以 BP 为边作PBQ=60，且 BQ=BP，连结 CQ（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论（2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由点评 利用等边三角形
11、性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明例 3 已知：在 中，的度数.，求点评 这题运用到等腰三角形的等角对等边的性质，像这类的求角度的题是会经常出现的类型，应熟练掌握这类题型的解题方法例4 如图，已知：在 中，.求： 的度数.， 点评 这题运用到全等三角形的证明与等腰三角形知识的结合，比较灵活，要求学生能灵活的将两类知识结合起来运用，这类题型在考试中也是比较常见的。第三章 一元一次不等式复习总目1、理解不等式的三个基本性质2、会用不等式的基本性质解一元一次不等式并掌握不等式的解题步骤3、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组知识点概要一、不等式的概念1、不等式：用不等号
12、表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表示不等式的方法二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。4、说明：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。如果不等式乘
13、以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为 0，否则不等式不成立；三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将 x 项的系数化为 1四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等
14、式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。6、不等式与不等式组不等式：用符号，=，号连接的式子叫不等式。不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。7、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的
15、解集。求不等式解集的过程叫做解不等式 中考规律盘点及预测一元一次不等式（组）的解法及其应用，在初中代数中有比较重要的地位，它是继一元一次方程、二元一次方程的学习之后，又一次数学建模思想的学习，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，在近几年来的考试中会出现此类型的题目典型分析点评 这类题型是常见的解一元一次不等式组，并结合数轴解题，在解题过程中要注意运算的准确性及数轴的表示法的正整数解。点评 此类题型关键是正整数解，这要结合数轴将其正整数解出来，在运算过程中要注意正负数的运算，这在考试中是会经常出现的题型例3 m 为何整数时，方程组的解是非负数点评 本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为
16、非负数概念，即。先解方程组用 m 的代数式表示 x, y, 再运用“转化思 想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求 m 的取值范围，最后切勿忘记确定 m 的整数值。例 4 解不等式-33x-15。 （两种解法）点评 这题把不等式拆分成两个不等式并组成不等式组， 做题很灵活，解法有两种，在解题过程中要注意正负数移项时的符号例 5 有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小 2，如果这个两位数大于 20 并且小于 40，求这个两位数。点评 这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数-十位上的数字与个位上的数；一个相等关系
17、：个位上的数十位上的数+2,一个不等关系：20原两位数0 时，y 随 x 增大而增大k0 时，y 随 x 增大而减小4求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。(3)用待定系数法求函数解析式。“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：利用一次
18、函数的定义构造方程组。利用一次函数 y=kx+b 中常数项 b 恰为函数图象与 y 轴交点的纵坐标，即由 b 来定点；直线 y=kx+b 平行于 y=kx，即由 k 来定方向 。利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。利用题目已知条件直接构造方程 。中考规律盘点与预测通过对近几年各地的中考试题的研究发现，对关于一次函数往往与反比例函数结合起来出现在选择题中，与三角形结合出现在计算题中。典型分析例 1：已知 y=，其中 = (k0 的常数)， 与 成正比例，求证 y与 x 也成正比例。 例 2：已知一次函数 =(n-2)x+ -n-3 的图象与 y 轴交点的纵坐标为-1，判断 =
19、(3- ) 是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。点评：由于一次函数的解析式含有待定系数 n，故求解析式的关键是构造关于 n 的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与 y轴交点纵坐标”来构造方程。例 3：直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x 平行，且与直线 y=-3(x-6)相交，交点在 y 轴上，求此直线解析式。点评：一次函数 y=kx+b 图象的位置由系数 k、b 来决定：由 k 来定方向，由 b 来定点，即函数图象平行于直线 y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定 k，由与 y 轴交点定 b。例 4：直线与 x
20、轴交于点 A（-4，0），与 y 轴交于点 B，若点 B 到 x 轴的距离为 2，求直线的解析式。 点评：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。（1）图象是直线的函数是一次函数；（2）直线与 y 轴交于 B 点，则点 B（0， ）；（3）点 B 到 x 轴距离为 2，则| |=2；（4）点 B 的纵坐标等于直线解析式的常数项，即 b= ；（5）已知直线与 y 轴交点的纵坐标 ，可设 y=kx+ ，下面只需待定 k 即可。例 5：已知一次函数的图象，交 x 轴于 A（-6，0），交正比例函数的图象于点 B，且点 B 在第三象限，它的横坐标为-2，AOB
21、 的面积为 6 平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。点评：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；（2）此例需要把条件（面积）转化为点 B 的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式 AOBD=6（过点 B 作 BDAO 于 D）计算出线段长 BD=2，再利用| |=BD 及点 B 在第三象限计算出 =-2。若去掉第三象限的条件，想一想点 B 的位置有几种可能，结果会有什么变化（答：有两种可能，点 B 可能在第二象限（-2，2），结果增加一组 y=-x,y= (x+3).例 2：已知一次函数 =(n-2)x+ -n-3
22、的图象与 y 轴交点的纵坐标为-1，判断 =(3- ) 是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。点评：由于一次函数的解析式含有待定系数 n，故求解析式的关键是构造关于 n 的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与 y轴交点纵坐标”来构造方程。例 3：直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x 平行，且与直线 y=-3(x-6)相交，交点在 y 轴上，求此直线解析式。点评：一次函数 y=kx+b 图象的位置由系数 k、b 来决定：由 k 来定方向，由 b 来定点，即函数图象平行于直线 y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定 k，
23、由与 y 轴交点定 b。例 4：直线与 x 轴交于点 A（-4，0），与 y 轴交于点 B，若点 B 到 x 轴的距离为 2，求直线的解析式。 点评：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。（1）图象是直线的函数是一次函数；（2）直线与 y 轴交于 B 点，则点 B（0， ）；（3）点 B 到 x 轴距离为 2，则| |=2；（4）点 B 的纵坐标等于直线解析式的常数项，即 b= ；（5）已知直线与 y 轴交点的纵坐标 ，可设 y=kx+ ，下面只需待定 k 即可。例 5：已知一次函数的图象，交 x 轴于 A（-6，0），交正比例函数的图象于点 B，且
24、点 B 在第三象限，它的横坐标为-2，AOB 的面积为 6 平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。点评：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；（2）此例需要把条件（面积）转化为点 B 的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式 AOBD=6（过点 B 作 BDAO 于 D）计算出线段长 BD=2，再利用| |=BD 及点 B 在第三象限计算出 =-2。若去掉第三象限的条件，想一想点 B 的位置有几种可能，结果会有什么变化（答：有两种可能，点 B 可能在第二象限（-2，2），结果增加一组 y=-x,y= (x+3).例 2
25、：已知一次函数 =(n-2)x+ -n-3 的图象与 y 轴交点的纵坐标为-1，判断 =(3- ) 是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。点评：由于一次函数的解析式含有待定系数 n，故求解析式的关键是构造关于 n 的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与 y轴交点纵坐标”来构造方程。例 3：直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x 平行，且与直线 y=-3(x-6)相交，交点在 y 轴上，求此直线解析式。点评：一次函数 y=kx+b 图象的位置由系数 k、b 来决定：由 k 来定方向，由 b 来定点，即函数图象平行于直线 y=kx，经过(0,
26、b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定 k，由与 y 轴交点定 b。例 4：直线与 x 轴交于点 A（-4，0），与 y 轴交于点 B，若点 B 到 x 轴的距离为 2，求直线的解析式。 点评：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。（1）图象是直线的函数是一次函数；（2）直线与 y 轴交于 B 点，则点 B（0， ）；（3）点 B 到 x 轴距离为 2，则| |=2；（4）点 B 的纵坐标等于直线解析式的常数项，即 b= ；（5）已知直线与 y 轴交点的纵坐标 ，可设 y=kx+ ，下面只需待定 k 即可。例 5：已知一次函数的图象，交 x 轴于 A
27、（-6，0），交正比例函数的图象于点 B，且点 B 在第三象限，它的横坐标为-2，AOB 的面积为 6 平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。点评：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；（2）此例需要把条件（面积）转化为点 B 的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式 AOBD=6（过点 B 作 BDAO 于 D）计算出线段长 BD=2，再利用| |=BD 及点 B 在第三象限计算出 =-2。若去掉第三象限的条件，想一想点 B 的位置有几种可能，结果会有什么变化（答：有两种可能，点 B 可能在第二象限（-2，2），结果增加一组 y=-x,y= (x+3).