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1、第四章 三角函数教材分析三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础 本章教学时间约用36课时，具体分配如下(仅供参考)： 4.1角的概念的推广 约2课时 4.2弧度制 约2课时 4.3任意角的三角函数 约2课时 4.4同角三角函数的基本关系式 约2课时 4.5正弦、余弦的诱导公式 约3课时 4.6两角和与差的正弦、余弦、正切 约7课时 4.7二倍角的正弦、余弦、正切 约3课时 4.8正弦函数、余弦函数的图
2、象和性质 约4课时 4.9函数y=Asin(x+) 的图象 约3课时 4.10正切函数的图象和性质 约2课时 4.11已知三角函数值求角 约2课时 小结与复习 约4课时 一、 内容与要求 (一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等 (二)章头引言安排了一个实际问题求半圆内接矩形的最大面积这个问题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值 第一大节是“任意角的三角函数”教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三
3、角函数的概念由锐角直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的两个基本关系式及正弦、余弦的诱导公式教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用 第二大节是“两角和与差的三角函数”教科书先引入平面内两点间距离公式(只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明)，用距离公式推出余弦的和角公式，然后顺次推出(尽量用启发式)其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解 第三大节是“三角函数的图象和性质”教科书先利用正弦线画出函数 ，x0,的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左
4、、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx、arccosx、arctanx等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案 (三)本章的教学要求是： 1使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算 2使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、
5、余弦的诱导公式 3使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力 4使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆） 5 使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A、的物理意义 6使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号a
6、rcsinx、arccosx、arctanx表示二、 考点要求1理解弧度的定义，并能正确地进行弧度和角度的换算2掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，会求的周期，或者经过简单的恒等变形可以化为上述函数的三角函数的周期能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式3了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能解决正弦、曲线有关的实际问题4能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式5了解三角函数的积化和差与和差化积公式6能正确地运
7、用上述公式简化三角函数式、求某些角的三角函数值证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题7掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程、并能运用它们解斜三角形三、考点分析 三角函数是一种重要的初等函数，由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密切联系，它既是研究其他各部分知识的重要工具，又是高考考查双基的重要内容之一本章分两部分，第一部分是三角函数部分的基础，不要求引入难度过高，计算过繁，技巧性过强的题目，重点应放在结知识理解的准确性、熟练性和灵活性上试题以选择题、填空题形式居多，试题难度不高，常与其他知识结合考查复习时应把握好以下几点：1理解弧度制表示角的优点在于把角的集合与实数集一一对应起来
8、，二是就可把三角函数看成以实数为自变量的函数2要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念3在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取4单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，用三角函数线的数值来代替三角函数值，比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多，因此，三角函数是讨论三角函数性质的一个强有力的工具5要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒
9、等变形时需特别注意保持定义域的不变性6函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调敬意的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小7对于具有周期性的函数，在作图时只要先作它在一个周期中的图象，然后利用周期性就可作出整个函数的图象8对于，等表达式，要会进行熟练的变形，并利用等三角公式进行化简本章第二部分是两角和与差的三角函数，考查的知识共7个，高考中在选择题、填空题和解答题三种题型中都考查过本章知识，题目多为求值题，有直接求某个三角函数值的，也有通过三角变换求函数的变量范围，周期，最小、大值和讨论其他性质；以及少量的化简，证明题考查的题量一般为34个，分值在1222分，都是容易题和中
10、等题，重点考查内容是两角和与差的正弦、余弦及正切公式，和差化积、各积化和差公式 考生丢分的原因主要有以下两点：一是公式不熟，二是运算不过关，因此复习时要注意以下几点： 1熟练掌握和、差、倍、半角的三角函数公式复习中注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧 常值代换，特别是“1”的代换，如：，等等 项的分拆与角的配凑 降次与升次 万能代换 另外，注意理解两角和、差、倍、半角公式中角的实质，可以把公式中的角看成一种整体形式，可以锦成其他变量或函数，这样可加大公式的应用范围和力度 2要会运用和差化积与积化和差公式对三角函数和差式，要善于转化为积的形式，反之亦然，对于形如的式子，要引入辅助角并
11、化成的形式，这里辅助角所在的象限由的符号决定，角的值由确定对这种思想，务必强化训练，加深认识 3归纳总结并熟练掌握好三角函数的化简与求值的常用方法和技巧 三角函数化简时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名等其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等 三角函数的求值问题，主要有两种类型一关是给角求值问题；另一类是给值求角问题它们都是通过恰当的变换，设法再与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数式之间建立起联系选用公式时应注意方向性、灵活性，以造成消
12、项或约项的机会，简化问题 4关于三角函数式的简单证明三角恒等证明分不附加条件和附加条件两种，证明方法灵活多样一般规律是从化简入手，适当变换，化繁为简，不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定 不附加条件的三角恒等式证明：多用综合法、分析法、在特定的条件下，也可使用数学归纳法 附加条件的三角恒等式证明：关键在于恰当而适时地使用所附加的条件，也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系常用的方法是代入法和消元法 三角恒等证明中要重点会用和差与积的互化公式，掌握等价转化的思想和变量代换的方法证明的关键是：发现差异观察等式两边角、函数、运算间的差异；寻找联系选择恰当公式，找出差异间的联
13、系；合理转化促进联系，创造性地应用基本公式 而关于角的恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，要证，先证明的同名三角函数值相等，即，再证明在三角函数的同一单调区间内，而后由函数的单调性得出 5在解有关三角形的问题中，锐角三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面积公式，的妙用和三角形内角和的制约关系的作用 6求三角函数最值的常用方法是：配方法、判别式法、重要不等式法、变量代换法、三角函数的单调性和有界性等其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值四、三角函数中应注意的问题(一)本章内容的重点是：任意角三角函数的概念，同角三角函数间的关系式、诱导公式及其运用，正弦、余
14、弦的和角公式，正弦曲线的画法和正弦函数的性质难点是：弧度制的慨念，综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明，周期函数的概念，函数的图象与正弦曲线的关系关键是：使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的变化，正弦曲线的画法和正弦函数的性质 由于课时较紧，教学中应遵循大纲所规定的内容和要求，不要随意补充已被删简的知识点例如，三角函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲，三个；除（kZ）外，其余诱导公式中，要求学生记住并能灵活运用的，只是用正弦、余弦表示那几个，以后求tan可通过用科学计算器或者转化为 来求；在推导
15、正切的和角公式以及画正切函数的图象时，出现了正切的诱导公式，但这只作为推导的中间步骤，不要求学生记忆；积化和差与和差化积公式、半角公式也只是作为和(差)角公式的应用出现一下，结果不要求记忆，更不要求运用；此外，也不要补充“把化成一个角的三角函数的形式”这样的例习题 (二)在讲述弧度制的优点、角度制的不足时，要注意科学性事实上，角的概念推广后，无论用弧度制还用角度制，都能在角的集合与实数集R及之间建立起一种一一对应的关系说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角的弧度数，或度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的，但每一种对应法则下对应的实数是唯一的所以不
16、要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应有的教师认为角度制的计量单位太小，而弧度制的计量单位大，而且可以省略不写，这种说法虽有一定道理，但在科学上并不具有充足的理由，因为小有小的好处，何况坐标系中两条数轴上的单位长度可以不一致关键在于用角度制表示角的时候，我们总是十进制、六十进制并用的，例如角其中61、21、12都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的，这样，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进数)，要经过一番计算，这就不太方便了 (三)定义了任意角的三角函数以后，严格地说，例如，只有 ，才可以说是正弦函数；六种函数统称三角函数，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数，
17、例如可以说是2x的正弦函数(这时可说它是三角函数)，也可以说是正弦函数与正比例函数 的复合函数，但不能说是x的正弦函数另一点是函数的定义域，三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的，所以教学中不宜随便说(或写)“正弦函数y=sinx”，需知“函数，”只是正弦函数的一个周期，不要把部分当作整体 (四)关于已知三角函数值求角，在讲解相关例题时，可以利用设辅助角(即通过设辅助元素把未知转化为已知，这是化归思想的运用)来求解，把求解过程调整为： 1、如果函数值为正数，则先求出对应的锐角，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值相应的锐角 2、决定角x可能是第几象限角 3、如果函数值为负数，则根据角x可能是
18、第几象限角，得出 内对应的角如果它是第二象限角，那么可表示为 ;如果它是第三或第四象限角，那么可表示为 或也可以把上述辅助角看作参变量(x为自变量)，那么所提供的方法就可以看作参数的应用新大纲把参数的知识分散在有关的教学内容中，教学时适时提醒学生注意使用，这是有好处的 (五)本章所使用的符号及其用法，全部与国家标准所规定的取得一致，在板书中逐渐达到规范化物理教科书也是这样做的因此在布置和批改作业时，对于本章中的几道与物理(力学、电学)有关的习题，解答时使用的符号及其用法，应与教科书上的相同，以免与物理教师讲课时的要求发生矛盾，弄得学生无所适从 (六)注意符合学生的认识规律除了从实际问题引入数学
19、概念之外，在这方面的措施有：(1)重建数形结构首先通过平面直角坐标系 (数形结合)定义任意角的三角函数，在得到“终边相同的角的同一三角函数的值相等”即第一组诱导公式后，就引入与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式(三角函数线)表示出来；然后学习同角三角函数的两个基本关系式，其他诱导公式，以及两角和与差的三角函数，这一部分属于式的化简、求值、恒等关系的证明以及它们的简单应用，研究方法以数为主，以形为辅；最后学习三角函数的图象和性质、其应用包括已知三角函数值求角，这一部分的研究方法则以形为主，以数为辅 (2)利用学生已有的认知结构首先利用二次函数的知识来解决问
20、题；建立任意角的概念时，利用学生观看体操节目已有的例如对于“转体720度”的直觉和语词记忆；画余弦函数的图象时，利用正弦曲线和诱导公式，已知三角函数值求角时，利用三角函数的图象和性质 (3)精简认知结构，略去或简化不必要的程序例如，从锐角三角函数直接推广到任意角三角函数，略去了讲钝角三角函数这一程序这样做不仅节约了课时，而且密切了“任意角”与 “任意角三角函数”的联系，反而加强了后者这一知识的发生和形成过程 下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大
21、家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗
22、筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看
23、得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又
24、皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每
25、一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什
26、么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，
27、你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手
28、又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，
29、知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？