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1、填空题解题方法与技巧耿广祥数学填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有“小巧灵活、覆盖面广、跨度大”等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力。由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低。解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”。下面举例剖析常用的思维方法。一，直接法涉及概念、性质的辨析或运算等的填空题，直接从题设条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、
2、简捷的方法解决问题。解析：直接探究函数的周期性和对称性，借助周期性和对称中心简化求函数值，根据题意，f（x+1）为偶函数，则函数f （x）的图像关于直线zl对称，则有f（-x）一f（2+z），若函数f（z+2）为奇函数，则函数f（x）的图像关于点（2，0）对称，则有一f（一x）=f（4 +x），则有f（x+4）=-f（x+2），设t=x+2，则f（t+2）一-f（t），变形可得f（t+4）=一f（t+2）=f（t），则函数f（x）是周期为4的周期函数，又由函数f（x）的图像关于点（2，0）对称，则f（1）+f（3）=0且f（2）=O，则有f（2）=-f （0） =0，可得f（4）=0，所以f（
3、i）=f（1）+f（2）+f（2 019）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（2 013）+f（2 014）+f（2 015）+f（2 016）+f（2 017） +f（2 018） +f（2 019）=f （1）+f（2）+f（3）=0。故答案为o。升华：本题根据f（x+1）为偶函数，f（z+2）为奇函数，可得f（z+4）=f（x），结合函数的对称性可得f（1）+f（3）=0且f（2）=f（0）=f（4）=O，从而简化求得结果。例2如图1，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB
4、为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积的最大值为（单位：cm3）。升华：直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键。本题直接构建三棱锥体积的目标函数，用导数法求最值。升华：求双曲线离心率常见的有以下两种思维方法：求出a，c的值，代人公式e=c;只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，转化为a，c的齐次式，然后转化为关于e
5、的方程或不等式，解方程或不等式，即可得e的值或取值范围。二.数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通過对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果。这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形。升华：函数f（x）=x一x，其中x表示不超过x的最大整数，称f（x）为取整函数，利用x的意义可分段研究此函数的一系列性质，本题实质是取整函数添加了x=1的对称轴后与对数的复合函数交点个数的创新问题，熟练作出函数图像，运动变化可避免0升华：数形结合法可直观快捷地
6、得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数。应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的一一对应关系。三，特例法当填空题的已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值（特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出待求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。升华：求值或比较大小等问题均可利用特殊值代人法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题。四，构造法首先应观察已知代数式的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学
7、结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景（几何背景、代数背景），从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速简化推导与运算过程。升华：构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题。在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧。通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等。五.正反互推法多选型给出的命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论。这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或
8、结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论。例8 已知。a b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与6成30角;当直线AB与a成60角时，AB与6成60角;直线AB与a所成角的最小值为45;直线AB与a所成角的最小值为60。其中正确的是_ 。（填写所有正确结论的编号）解析1：反馈题设，构建满足条件的圆锥模型，借助线线所成角的定义、定理及结论进行逻辑推理判断。由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，设ACBC=1，由ACa，ACb，又AC圆锥底面
9、，在底面内可以过点B，作BDa，交底面圆C于点D，如图7所示。连接DE，则DEBD，所以DEb，连接AD，在等腰ABD中，AB =AD一2，当直线AB与a成60角时，ABD=60，故BD=2。又在RtBDE中，BE=2，所以DE=2，过点B作BFDE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF=DE=2，所以ABF为等边三角形，所以ABF=60，即AB与6成60。角，所以正确，错误。因为ABC=45是斜线AB与平面BCD所成的角，由斜线和斜线在面上的射影所成角是斜线和在平面内不过斜足的所有直线所成角的最小角，即最小角定理可知正确。因为可以满足平面ABC上直线a，直线AB与a所成的最大角为90
10、，所以错误。故正确的说法为。解析2：反馈题设，构建正方体模型建立空间直角坐标系，通过计算推理判断。由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形，如图8所示。不妨设图中所示正方体的边长为1，故|AC| =1，|AB |=2，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆。以C为坐标原点，以CD，CB，CA分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量a=（0，1，0），|a |=1。B点起始坐标为（0，1，0），直线6的方向单位向量b=（1，0，0），|b|=1。设B点在运动过程中的坐
11、标为B（cos，sin，0），其中为BC与CD的夹角，0，2）。那么AB在运动过程中的向量AB=（-cos，-sin，1），| AB |=2。升华：正反互推法适用于：一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假;二是多种知识点的汇总考查。前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断。利用正反互推法可以快速解决多选型问题。立体几何中的有关结论的判断和新定义的多项填空题等可构造模型借助定义、定理及结论进行传统法推理判断，还可构造模型借助空间向量的坐标运算求大小进而推理判断，这是由立体几何的“空间问题模型化、平面化和代数化”的本质属性决定的。六，归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，
12、一般是由题目的已知可以得出几个结论（或直接给出了几个结论），然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题。归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想。例9 图9中是应用分形几何学作出的一个分形规律图，按照图9所示的分形规律可得图lO所示的一个树形图，我们采用“坐标”来表示图10各行中的白圈黑圈的個数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数），比如第一行记为（0，1），第二行记为（1，2），第三行记为（4，5），照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为_ 。解析：本题中如何求出第四行中白圈与黑圈的“坐标”是解题的一个关键，也是一个
13、难点，观察所给条件不难发现，可以运用特殊到一般的规律进行处理，进而求解由图9所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为2个黑圈1个白圈，记某行白圈z个，黑圈y个，坐标为（x，y），则第一行记为（0，1），第二行记为（1，2），第三行记为（4，5），第四行白圈数为25+4=14，黑圈数为5+24=13，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为（13，14）。故答案为（13，14）。升华：这类问题是近几年高考的热点。解决这类问题的关键是找准归纳对象。如率题把函数的前几个值一一列举出来。观察前面列出的函数值的规律，归纳猜想一般结论或周期，从而求得问题。（责任编辑 王福华）以下资料为赠送资料
14、：滴水之中见精神主题班会教案活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你
15、了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约
16、用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写
17、）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访
18、一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们
19、人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵。