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1、概率论与数理统计概率论与数理统计部分难点问题解析部分难点问题解析 设设 A1, A2, ,An 为样本空间为样本空间 S 的一个完备事件组，的一个完备事件组，B 为为一个随机事件一个随机事件. 若若 P (Ai ) 0, i =1,2,n, 则成立：则成立：第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率全概率公式全概率公式 与与 贝叶斯贝叶斯 公式公式全概率公式全概率公式 P (B) = P (A1) P (B|A1)+ P (A2) P (B|A2)+ P (An) P (B|An);贝叶斯公式贝叶斯公式 P (Am | B ) = . P (Am ) P (B | Am ) P (B )
2、难点类型：利用两公式求概率难点类型：利用两公式求概率. 例例1 由三台机床加工一大批零件，加工比例分别为由三台机床加工一大批零件，加工比例分别为5:3:2，合格率分别为合格率分别为0.94 , 0.90, 0.95，在全部产品中随机抽取一个，在全部产品中随机抽取一个, (1) 求此零件合格的概率（产品合格率）；求此零件合格的概率（产品合格率）； (2) 已知抽到的是合格品，求此零件为已知抽到的是合格品，求此零件为1号机床加工的概率号机床加工的概率. 解解 设设 Ai : 零件由零件由i 号加工号加工(i=1,2,3 ), B: 抽到零件合格抽到零件合格. 因此因此P(A1)=0.5, , P(
3、A2)=0.3, , P(A3)=0.2 ; ; P(B|A1)=0.94, , P(B|A2)=0.90, , P(B|A3)=0.95 . .(2) 由贝叶斯公式，由贝叶斯公式， (1) 由全概率公式，由全概率公式，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.47+0.27+0.19=0.93；P(A1) P(B|A1) 0.47 P (B ) 0.93 P (A1 | B ) = = = 0.505 . 例例2 盒中有盒中有9新、新、6旧共旧共15只乒乓球，上午比赛时从盒中任取只乒乓球，上午比赛时从盒中任取两球，用后放回，下午比赛时再从盒中
4、任取两球两球，用后放回，下午比赛时再从盒中任取两球. (1) 求下午取两球都为新球的概率；求下午取两球都为新球的概率； (2) 已知下午取两球都为新球，求上午取两球为已知下午取两球都为新球，求上午取两球为1新新1旧的概率旧的概率. 解解 Ai :上午取两球有上午取两球有i 个新球个新球(i=0,1,2), B:下午取两新球下午取两新球. 因此因此(2) 由贝叶斯公式，由贝叶斯公式， (1) P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2547P(A1) P(B|A1) P (B ) P (A1 | B ) = = 0.5385 .21529221
5、516191215260)(,)()(CCAPCCCAP,CCAP 215272215281215290)|(,)|()|(CCABPCCABP,CCABP 例例3 ( 产品检验问题产品检验问题 ) 要验收要验收 100 件产品的方法是：抽取件产品的方法是：抽取 3 件件产品，若测出次品就拒绝接收产品，若测出次品就拒绝接收 . 已知一件次品被测出的概率为已知一件次品被测出的概率为 0.95 ，一件合格品被误测为次品的概率是，一件合格品被误测为次品的概率是 0.01 . 若这若这 100 件产品件产品中恰好有中恰好有 4 件次品，求这批件次品，求这批 100 件产品被接受的概率件产品被接受的概率
6、. 解解 设设A: 产品被接受（抽到的产品被接受（抽到的3件产品件产品都被认为是合格都被认为是合格的）的）. Bk : 抽到的抽到的 3 件产品恰有件产品恰有k 个次品个次品(k= 0,1,2,3). 其中其中P (Bk ) 服从超几何分布服从超几何分布: C4k C96 3 k C1003P (Bk ) = ， P ( A | Bk ) = 0.05 k0.99 3 k (k= 0,1,2,3). 由全概率公式，这批产品被接受的概率是由全概率公式，这批产品被接受的概率是P (A ) = k=03 P (Bk ) P (A | Bk ) = k=03 0.05k0.99 3 k 0.8629
7、. C4k C96 3 k C1003第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布难点类型难点类型PY y = P g ( X ) y = P X g 1 ( y )，解法解法即即两端求导数两端求导数FY ( y )= FX ( g 1 ( y )，fY ( y )= fX ( g 1 ( y ) g 1 ( y ) . 已知已知 X 的密度函数的密度函数 fX(x)，求，求 Y = g ( X ) 的密度函数的密度函数. 例例1 已知已知 X 具有密度函数具有密度函数 O xf (x)41/2求求 Y = 2X + 8 的密度函数的密度函数.
8、 f X (x) = ， 0 x 4 ， 0 ， 其其 它它.x8 解解 即即 FY ( y ) = FX ( ). y 8 2两端求导得两端求导得, y 8 2 y 8 2fY ( y ) = fX ( )( ) = fX( ) . y 8 2 1 2 y 8 2PY y = P 2X+8 y =P X ， ,. , 04280 328)( 它它其其，yyyfY . , 0,168 , 328 它它其其yyPX 例例2 设随机变量设随机变量X 的密度函数为的密度函数为，求，求Y =1 e 2 X 的密度函数的密度函数 fY ( y ). 0,00,2)(2xxexfxX 解解 即即 FY (
9、 y ) = FX ( ).两端求导得两端求导得, PY y = P1 e 2 X y = ,.,00)1ln(21)1(212)()1ln(21(2 它它其其，yyeyfyY . 它它其其,0, 10,1y)1ln(21y )1ln(21y )1(21)1ln(21()(yyfxfXY 即即YU(0,1). 例例3 证明证明 若若 XN (0,1) , 即即X 具有概率密度具有概率密度xxex221( ),2 则则 Y = X 2 的概率密度为的概率密度为 . 0 , 0 , 0 21)(2 21 yyeyyfyY， 第三章第三章 多维多维随机变量及其分布随机变量及其分布二维连续型随机变量及
10、其概率密度二维连续型随机变量及其概率密度1. 已知已知 (X,Y) 的密度函数的密度函数 f (x, y)，求其分布函数，求其分布函数F (x, y).其中区域其中区域 D 为为: u x, v 0 存在，则有存在，则有 中心极限定理中心极限定理 定理定理 ( 棣莫弗棣莫弗- 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 ) 若若 Xn b (n , p ) , 则有则有)(lim1xxnnXPnkkn .)()1(limxxpnpnpXPnn )(/1lim1xxnXnPnkkn .或者或者 解解易知，易知，E (Vk ) = 5 , , D (Vk ) = 100/12 , , 由独立同分布中心极限定理由独立
11、同分布中心极限定理 ，有，有).1 , 0(2024048)12/10(548NVV 近近似似地地 于是有于是有 PV 255=1024025510240 VP 例例1 某仪器同时收到某仪器同时收到48个独立的噪音电压个独立的噪音电压 Vk U(0,10) (k=1,48) . 记记 V = V1 + V2 + + V48 . 求求PV 255的近似值的近似值. 5 . 010240 VP 1 (0.5)= 0.3085. 以以 X 记记90000次海浪冲击时纵摇角大于次海浪冲击时纵摇角大于3 的次数，的次数，则则 X b ( 90000 , , 1/3 ) . 例例2 一船舶在海上航行，已知
12、每遭受一次海浪的冲击，纵一船舶在海上航行，已知每遭受一次海浪的冲击，纵摇角大于摇角大于3 的概率为的概率为 p=1/3，若船舶遭受，若船舶遭受90000次海浪冲击，问次海浪冲击，问其中有其中有 2950030500 次纵摇角大于次纵摇角大于3 的概率是多少？的概率是多少？ 解解由棣莫弗由棣莫弗 - 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 ，近似地有，近似地有).1 , 0(210030000)1(NXpnpnpX 近近似似地地 P 29500X 30500=21005002100300002100500 XP225210030000225 XP535. 3210030000535. 3 XP1)535. 3
13、(2)535. 3()535. 3( =0.9996. (1) 以以Xk 记第记第k个学生个学生来参加家长会的人数，则有来参加家长会的人数，则有 例例3 设每个学生无家长、有设每个学生无家长、有1名家长、有名家长、有 2名家长来参加家长名家长来参加家长会的概率分别为会的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有学生若学校共有学生400名，且各学名，且各学生参加会议的家长数独立同分布生参加会议的家长数独立同分布. 求下列概率：求下列概率： (1) 参加家长会的参加家长会的家长数超过家长数超过450； (2) 有有1名家长来参加会议的学生数不超过名家长来参加会议的学生数不超过340. 解解
14、由独立同分布定理由独立同分布定理. 参加家长会的家长数参加家长会的家长数 Xk 0 1 2pk 0.05 0.8 0.15可求得，可求得，E (Xk ) = 1.1 , , D (Xk ) = 0.19 , , k=1,2,400.,4001 kkXX).1 , 0(19. 020440NXnnX 近近似似地地 P X 45019. 0201019. 020440 XP147. 119. 020440 XP 1 (1.147)=0.1357 . (2) 若以若以Y 表示有表示有1名家长来参加会议的学生数，则名家长来参加会议的学生数，则 Y b(400,0.8)，由棣莫弗，由棣莫弗 拉普拉斯定理
15、得拉普拉斯定理得P Y 45083203408320 YP5 . 28320 YP (2.5)=0.9938 . 例例3 设每个学生无家长、有设每个学生无家长、有1名家长、有名家长、有 2名家长来参加家长名家长来参加家长会的概率分别为会的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有学生若学校共有学生400名，且各学名，且各学生参加会议的家长数独立同分布生参加会议的家长数独立同分布. 求下列概率：求下列概率： (1) 参加家长会的参加家长会的家长数超过家长数超过450； (2) 有有1名家长来参加会议的学生数不超过名家长来参加会议的学生数不超过340. 解解).1 , 0(8320)1(N
16、XpnpnpY 近近似似地地 点估计的常用方法点估计的常用方法第六章第六章 参数估计参数估计最大似然估计最大似然估计 由总体由总体X的概率密度的概率密度 f (x) (或分布律或分布律P X= xi )建立似然函数建立似然函数 niinxfxxxLL121),();,()( niinxXPxxxLL121);,()( 或或 求似然函数求似然函数 L ( x1, x2, xn ;) 的最大值的最大值. 例例1 设设 X b(1, p). X 1 , X 2 , X n 是来自是来自X 的一个样本，的一个样本，试求参数试求参数 p 的的最大似然估计量最大似然估计量. 解解 X 的分布律为的分布律为
17、PX=x= px (1 p) 1 x，x = 0,1 .设设 x 1 , , x n 为样本值为样本值. 似然函数为似然函数为,)1()1()(1111 niiniiiixnxnixxpppppL),1ln()(ln)()(ln11pxnpxpLniinii 两边取对数，两边取对数，求导数，令其为零，得求导数，令其为零，得, 01)(ln11 pxnpxpLdpdniinii解得解得 p 的的最大似然估计值为最大似然估计值为.11xxnpnii 所以，所以， p 的的最大似然估计量为最大似然估计量为.Xp 例例2 设设 X N( , 2). x 1 , x 2 , x n 是来自是来自X 的一
18、的一个样本值，试求参数个样本值，试求参数 , 2 的的最大似然估计量最大似然估计量. 解解 X 的概率密度为的概率密度为故似然函数为故似然函数为 niixfL122),;(),( 等式两边取对数，得等式两边取对数，得.2)(exp21),; (222 xxf.)(21exp)()2(1222 22 niinnx .)(21ln2 )2ln(2 ),(ln12222 niixnnL , 0 1ln12 niinxL 令其两个偏导数为零，得方程组令其两个偏导数为零，得方程组. 0)(212 ln12422 niixnL 解得解得 , 2 的最大似然估计值分别为的最大似然估计值分别为,11xxnni
19、i 所以，所以， , 2的的最大似然估计量分别为最大似然估计量分别为.)(1212xxnnii ,11XXnnii .)(1212XXnnii 现测得一组容量为现测得一组容量为8的样本观察值为的样本观察值为 1, 3, 0, 2, 3, 3, 1, 3，试求，试求 p 的最大似然估计值的最大似然估计值.例例2 设总体设总体X的分布律为的分布律为其中其中 p (0 p1/2)为参数，为参数，解解 似然函数似然函数 L( p) = 81iixXP=2 p(1 p)2 (1 2 p) 4 ( p2)2ppp218126 . 0)21)(1(3141222 ppppp,12137 pX0123pip22p(1p) p212p取对数取对数 ln L(p)=2ln2p+ ln(1 p)+ 4 ln(1 2p)+4ln p， 令令 ln L(p) =解得解得,2112137 p舍去舍去所以所以p的极大似然估计值为的极大似然估计值为.2828. 012137 p