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1、信息论与编码试题集与答案考试必看 信息论与编码试题集与答案考试必看在无失真的信源中，信源输出由H(X)来度量； 在有失真的信源中，信源输出由R(D)来度量。 1.要使通信系统做到传输信息有效、可靠和保密，必须首先信源编码，然后_加密_编码，再_信道_编码，最后送入信道。 2.带限AWGN波形信道在平均功率受限条件下信道容量的基本公式，也就是有名的香农公式是； 当归一化信道容量C/W趋近于零时，也即信道完全丧失了通信能力，此时Eb/N0为-1.6dB，我们将它称作香农限，是一切编码方式所能达到的理论极限。 3.保密系统的密钥量越小，密钥熵H(K)就越小，其密文中含有的关于明文的信息量I(M； C
2、)就越大。 4.已知n7的循环码，则信息位长度k为3，校验多项式h(x)=。 5.设输入符号表为X0，1，输出符号表为Y0，1。输入信号的概率分布为p(1/2，1/2)，失真函数为d(0，0)=d(1，1)=0，d(0，1)=2，d(1，0)=1，则Dmin0，R(Dmin)1bit/symbol，相应的编码器转移概率矩阵p(y/x)； Dmax0.5，R(Dmax)0，相应的编码器转移概率矩阵p(y/x)。 6.已知用户A的RSA公开密钥(e,n)=(3,55)，,则40，他的秘密密钥(d,n)(27,55)。若用户B向用户A发送m=2的加密消息，则该加密后的消息为8。 二、判断题1.可以用
3、克劳夫特不等式作为唯一可译码存在的判据。 （）2.线性码一定包含全零码。 （）3.算术编码是一种无失真的分组信源编码，其基本思想是将一定精度数值作为序列的编码，是以另外一种形式实现的最佳统计匹配编码。 （）4.某一信源，不管它是否输出符号，只要这些符号具有某些概率特性，就有信息量。 （）5.离散平稳有记忆信源符号序列的平均符号熵随着序列长度L的增大而增大。 （）6.限平均功率最大熵定理指出对于相关矩阵一定的随机矢量X，当它是正态分布时具有最大熵。 （）7.循环码的码集中的任何一个码字的循环移位仍是码字。 （）8.信道容量是信道中能够传输的最小信息量。 （）9.香农信源编码方法在进行编码时不需要
4、预先计算每个码字的长度。 （）10.在已知收码R的条件下找出可能性最大的发码作为译码估计值，这种译码方法叫做最佳译码。 （）三、计算题某系统（7，4）码其三位校验位与信息位的关系为： （1）求对应的生成矩阵和校验矩阵； （2）计算该码的最小距离； （3）列出可纠差错图案和对应的伴随式； （4）若接收码字R=xxxx，求发码。 解：1.2.dmin=33.SE0000000000001000000101000000101000000100101000100011100100000110xxxx110xxxx4.RHT=001接收出错E=0000001R+E=C=xxxx(发码)四、计算题已知的联
5、合概率为： 求，解:0.918bit/symbol=1.585bit/symbol0.251bit/symbol五、计算题一阶齐次马尔可夫信源消息集，状态集，且令，条件转移概率为，(1)画出该马氏链的状态转移图； (2)计算信源的极限熵。 解：(1)（2）H(X|S1)=H(1/4,1/4,1/2)=1.5比特/符号H(X|S2)=H(1/3,1/3,1/3)=1.585比特/符号H(X|S3)=H(2/3,1/3)=0.918比特/符号比特/符号六、计算题若有一信源，每秒钟发出2.55个信源符号。 将此信源的输出符号送入某一个二元信道中进行传输（假设信道是无噪无损的，容量为1bit/二元符号
6、），而信道每秒钟只传递2个二元符号。 （1）试问信源不通过编码（即x10,x21在信道中传输）（2）能否直接与信道连接？（3）若通过适当编码能否在此信道中进行无失真传输？（4）试构造一种哈夫曼编码(两个符号一起编码)，（5）使该信源可以在此信道中无失真传输。 解：1.不能，此时信源符号通过0，1在信道中传输，2.55二元符号/s2二元符号/s2.从信息率进行比较，2.55*=1.841。 85、在实际的游程编码过程中，对长码一般采取截断处理的方法。 86、“0”游程和“1”游程可以分别进行哈夫曼编码，两个码表中的码字可以重复，但C码必须不同。 87、在多符号的消息序列中，大量的重复出现的，只起
7、占时作用的符号称为冗余位。 88、“冗余变换”即：将一个冗余序列转换成一个二元序列和一个缩短了的多元序列。 89、L-D编码是一种分帧传送冗余位序列的方法。 90、L-D编码适合于冗余位较多或较少的情况。 91、信道编码的最终目的是提高信号传输的可靠性。 92、狭义的信道编码即：检、纠错编码。 93、BSC信道即：无记忆二进制对称信道。 94、n位重复码的编码效率是1/n。 95、等重码可以检验全部的奇数位错和部分的偶数位错。 96、任意两个码字之间的最小汉明距离有称为码的最小距dmin，则dmin=。 97、若纠错码的最小距离为dmin，则可以纠正任意小于等于t=个差错。 98、若检错码的最
8、小距离为dmin，则可以检测出任意小于等于l=dmin-1个差错。 99、线性分组码是同时具有分组特性和线性特性的纠错码。 100、循环码即是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。 三、判断（每题1分）（50道）必然事件和不可能事件的自信息量都是0。错自信息量是的单调递减函数。对单符号离散信源的自信息和信源熵都具有非负性。对单符号离散信源的自信息和信源熵都是一个确定值。错单符号离散信源的联合自信息量和条件自信息量都是非负的和单调递减的。对自信息量、条件自信息量和联合自信息量之间有如下关系： 对自信息量、条件自信息量和互信息量之间有如下关系： 对当随即变量X和Y相互独立时，条件熵等于信源熵。对当
9、随即变量X和Y相互独立时，I（X； Y）=H（X）。错10、信源熵具有严格的下凸性。错11、平均互信息量I（X； Y）对于信源概率分布p（xi）和条件概率分布p（yj/xi）都具有凸函数性。 对12、m阶马尔可夫信源和消息长度为m的有记忆信源，其所含符号的依赖关系相同。 错13、利用状态极限概率和状态一步转移概率来求m阶马尔可夫信源的极限熵。 对14、N维统计独立均匀分布连续信源的熵是N维区域体积的对数。 对15、一维高斯分布的连续信源，其信源熵只与其均值和方差有关。 错16、连续信源和离散信源的熵都具有非负性。 错17、连续信源和离散信源都具有可加性。 对18、连续信源和离散信源的平均互信息
10、都具有非负性。 对19、定长编码的效率一般小于不定长编码的效率。 对20、若对一离散信源（熵为H（X）进行二进制无失真编码，设定长码子长度为K，变长码子平均长度为，一般K。 错21、信道容量C是I（X； Y）关于p（xi）的条件极大值。 对22、离散无噪信道的信道容量等于log2n，其中n是信源X的消息个数。 错23、对于准对称信道，当时，可达到信道容量C。错24、多用户信道的信道容量不能用一个数来代表。 对25、多用户信道的信道容量不能用一个数来代表，但信道的信息率可以用一个数来表示。错26、高斯加性信道的信道容量只与信道的信噪有关。 对27、信道无失真传递信息的条件是信息率小于信道容量。对
11、28、最大信息传输速率，即：选择某一信源的概率分布（p（xi），使信道所能传送的信息率的最大值。 错29、对于具有归并性能的无燥信道，当信源等概率分布时（p（xi）=1/n），达到信道容量。 错30、求解率失真函数的问题，即：在给定失真度的情况下，求信息率的极小值。对31、信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就越小，获得的信息量就越小。 错32、当p（xi）、p（yj/xi）和d（xi，yj）给定后，平均失真度是一个随即变量。 错33、率失真函数对允许的平均失真度具有上凸性。对34、率失真函数没有最大值。 错35、率失真函数的最小值是0。对36、率失真函
12、数的值与信源的输入概率无关。错37、信源编码是提高通信有效性为目的的编码。 对38、信源编码通常是通过压缩信源的冗余度来实现的。 对39、离散信源或数字信号的信源编码的理论基础是限失真信源编码定理。 错40、一般情况下，哈夫曼编码的效率大于香农编码和费诺编码。 对41、在编m（m2）进制的哈夫曼码时，要考虑是否需要增加概率为0的码字，以使平均码长最短。 对42、游程序列的熵（“0”游程序列的熵与“1”游程序列的熵的和）大于等于原二元序列的熵。 错43、在游程编码过程中，“0”游程和“1”游程应分别编码，因此，它们的码字不能重复。 错44、L-D编码适合于冗余位较多和较少的情况，否则，不但不能压
13、缩码率，反而使其扩张。 对45、狭义的信道编码既是指：信道的检、纠错编码。 对46、对于BSC信道，信道编码应当是一对一的编码，因此，消息m的长度等于码字c的长度。 错47、等重码和奇（偶）校验码都可以检出全部的奇数位错。 对48、汉明码是一种线性分组码。对49、循环码也是一种线性分组码。 对50、卷积码是一种特殊的线性分组码。 错设的取值受限于有限区间a,b，则X服从均匀分布时，其熵达到最大； 如X的均值为，方差受限为，则X服从高斯分布时，其熵达到最大。 2信息论不等式：对于任意实数，有，当且仅当时等式成立。 3设信源为X=0，1，P（0）=1/8，则信源的熵为比特/符号，如信源发出由m个“
14、0”和（100-m）个“1”构成的序列，序列的自信息量为比特/符号。 4离散对称信道输入等概率时，输出为等概分布。 5根据码字所含的码元的个数，编码可分为定长编码和变长编码。 6设DMS为，用二元符号表对其进行定长编码，若所编的码为000，001，010，011，100，101，则编码器输出码元的一维概率0.747,0.253。 二、简答题（30分）设信源为，试求（1）信源的熵、信息含量效率以及冗余度； 求二次扩展信源的概率空间和熵。 解： （1）（2）二次扩展信源的概率空间为： XX1/163/163/169/16什么是损失熵、噪声熵？什么是无损信道和确定信道？如输入输出为，则它们的分别信道
15、容量为多少？答：将H（X|Y）称为信道的疑义度或损失熵，损失熵为零的信道就是无损信道，信道容量为logr。 将H（Y|X）称为信道的噪声熵，噪声熵为零的信道就是确定信道，信道容量为logs。 信源编码的和信道编码的目的是什么？答：信源编码的作用： （1）符号变换：使信源的输出符号与信道的输入符号相匹配； （2）冗余度压缩：是编码之后的新信源概率均匀化，信息含量效率等于或接近于100%。 信道编码的作用：降低平均差错率。 什么是限失真信源编码？答：有失真信源编码的中心任务：在允许的失真范围内把编码的信息率压缩到最小。 三、综合题（20+15+15）设随机变量和的联合概率空间为定义一个新的随机变量
16、(普通乘积)计算熵H（X），H（Y），H（Z），H（XZ），H（YZ），以及H（XYZ）； 计算条件熵H（X|Y），H（Y|X），H（X|Z），H（Z|X），H（Y|Z），H（Z|Y），H（X|YZ），H（Y|XZ）以及H（Z|XY）； 计算平均互信息量I（X； Y），I（X：Z），I（Y：Z），I（X； Y|Z），I（Y； Z|X）以及I（X：，Z|Y）。 解：（1）XY0101/83/81/213/81/81/21/21/2（2）XZ0101/201/213/81/81/27/81/8YZ0101/201/213/81/81/27/81/8(3)设二元对称信道的输入概率分布分别为，转移矩阵为，求信道的输入熵，输出熵，平均互信息量； 求信道容量和最佳输入分布； 求信道剩余度。 解：（1）信道的输入熵； 2）最佳输入分布为，此时信道的容量为(3)信道的剩余度： 设有，其转移矩阵为，若信道输入概率为，试确定最佳译码规则和极大似然译码规则，并计算出相应的平均差错率。 解： 最佳译码规则：，平均差错率为1-1/4-1/6-1/8=11/24； 极大似然规则：，平均差错率为1-1/4-1/8-1/8=1/2。 7