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1、 2019-2020 学年广东省华南师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版一、单选题1已知全集，则 等A C B U= 0,1,2,3 ,集合A = 0,1,2 ,集合B = 0,2,3U于ABC1 2,3 0,1,2DF【答案】A【解析】解：因为 U= 0,1,2,3 ,集合A = 0,1,2 ,集合B = 0, 2,3C B = 1U故=1A C BU12函数 的值域是（ ）y =2 +1xA1,+)BC(-,1D(0, +)(0,1【答案】B【解析】根据倒数性质求值域.【详解】1因为 ，所以2 +111,选B.0 xx2 +1【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题.
2、3下列函数中，定义域是 且为增函数的是（ ）RABCy=D=y xln xy = e-x= x3y第 1 页 共 18 页 【答案】B【解析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.【详解】1对于 ，A x，是 上的减函数，不合题意；Ry= e =-x e 对于 ， 是定义域是 且为增函数，符合题意；y = x3RB( )对于 ， ，定义域是 ，不合题意；y = ln x0,+C对于 ， ，定义域是 ，但在 上不是单调函数，不y = xRRD合题，故选B.【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.4下列各不等式中成立的是（ ）
3、ABCDlog 1.011.90.6 0.61?.6 0.92.53-0.1-0.20.33.12【答案】C【解析】本题考查指数函数，对数函数的单调性及应用.函数 是增函数， 函数 是减函数，y = 0.6y =1.9x1.92.5 1;0.6 0.6 ;y =1.6y = 0.9-0.1-0.2x0.3x数， 所以 ；0.9 0.93.13.1函数 是增函数， 故选Cy = log xlog 1.01 0;225函数( )()的图象过定点（ ）y = 3+ log 3x -2 a 0,a 1a2A11( )1, 3B( )CD0,1, 0,333【答案】C第 2 页 共 18 页 ( ),【
4、解析】根据对数函数 =log 恒过 令 计算即yx1,03x - 2 =1a可.【详解】令 有 .代入 得( ) .3+log 3-2 = 33x - 2 =1=1=1=xxya( )()的图象过定点( ).1, 3故函数y = 3+ log 3x -2 a 0,a 1a故选：C【点睛】本题主要考查了对数函数过定点的问题,属于基础题型.log x,( x 0)6已知函数，则 （ ）f f (1)=f (x) = 23 ,( x 0)x13A0B1C3D【答案】B【解析】【详解】log x,( x 0)因为，所以 f (1)= f (0) =1.f (x) = 2f3 ,( x 0)x故选：B.
5、7函数 ( ) log (4) 的单调递增区间为( )f x =x-212( )0,+ ?AB( )C( )D( )-,-2-,02,+【答案】D【解析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可【详解】由 可得 或 ，x 22 - 4 0x( )函数 的定义域为f x( ) ( )-,-2 2,+( )( ) ( )-,-2设 ，则 在 上单调递减，= x2 -4t xt x第 3 页 共 18 页 又函数 = log 为减函数，yt12( )( )( )4 在 上单调递增，-,-2函数logf x =x2-12( )( )-,-2函数 的单调递增区间为 f
6、x故选D【点睛】（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于( )( )函数 来讲，它的单调性依赖于函数 和函数( )y = f g xy= f t( )的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数t = g x( )( )( )( )为增函数；否则函数 为减函数y = f g xy = f g x（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误( )认为函数的单调递增区间为 -,08设 ( )在 上的奇函数， ( ) ( )，当 时，+ 2 = - f x0 1xf xf xR( )f x = x( )，则 等于（ ）f 5.5A5.5B0.5CD-0.5-5.5【答案】B( ) (
7、 ) ( )将 中的自变量变【解析】利用奇偶性与f x + 2 = - f xf5.5换到 中再求解即可.0 x 1【详解】( ) ( ) (5.5)= - f (3.5)= f (1.5)= - f (-0.5).由得f x + 2 = - f xf( ).- f (-0.5) = f (0.5) = 0.5又 为奇函数故f x故选：B【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,需要根据题意将自变量根据性质变换到已知解析式的定义域内.第 4 页 共 18 页 属于中等题型.9已知实数 且 ，则在同一直角坐标系中，函数a 0 a 1( ) ( ) ( )，的图象可能是（ ）f x =
8、x x 0g x = log xaaBCD【答案】D【解析】根据幂函数与对数函数的图像分情况判断即可.【详解】由题,当 时,( ) ( )为增函数且图像往上凸,f x x x 00 a 0aa 1( )g x = log x( ). .为增函数且过 无对应选项1,0a故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数与幂函数的图像,属于基础题型.第 5 页 共 18 页 10f(x)是R 上的偶函数，f(x2)f(x)，当0x时1 ，f(x)x ，则函数yf(x)|log x|的零点个数为( )25A4B5C8D10【答案】B( )【解析】由题意得函数 的周期为2，再结合函数为偶f x( )( )函数可画
9、出函数 的图象，然后根据函数 的图象和f xf x函数 的图象的公共点的个数进行判断即可y = log x5【详解】f(x2)f(x)，( )函数 的周期为2f x( )由题意可得，f x = log x5( )在同一坐标系内画出函数 和 的图象，如下y = f xy = log x5图，由图象得，两函数图象有5 个交点，所以函数yf(x)|log x|共有5 个零点5故选B【点睛】本题考查函数的性质和函数零点的综合，解题的关键是将问题转化为函数图象公共点的个数问题出处理，画图时要结合函数的性质求解，不要忘了函数的奇偶性和周期性的第 6 页 共 18 页 应用11对于函数 ( )和 ( )，设
10、a( ) ，bx | f x = 0( ) ，x | g x = 0f xg x( ) ( )若存在 ， ，使得a b ，则称 与 互为“零点相-1f xg xab( )( )邻函数”若函数与3互为“零f x = e 1 + x - 2 g x = x2 -ax-a +x-点相邻函数”，则实数a 的取值范围为（ ） 2,4 77 D2,3ABC2,333【答案】D【解析】先得出函数 （ ） + 2 的零点为 1再f x e 1 xxx设 （ ） +3 的零点为，根据函数 （ ）g x x2 ax a f xe 1+x2 与 （ ） +3 互为“零点关联函数”，g x x2 ax ax利用新定义
11、的零点关联函数，有|1|1，从而得出 （ ）g x +3 的零点所在的范围，最后利用数形结合法x2 ax a求解即可【详解】函数 （ ） + 2 的零点为 1f x e 1 xxx设 （ ） +3 的零点为，g x x2 ax a若函数 （ ） + 2 与 （ ） +3 互为“零f x e 1 xg x x2 ax ax点关联函数”，根据零点关联函数，则|1|1，02，如图第 7 页 共 18 页 由于g（x）x axa+3 必过点A（1，4），2( ) g 0 0( )g 2 0( ) ( )g 0 g 2 0故要使其零点在区间0，2上，则 或， D 0a0 22解得2a3，故选D【点睛】本
12、题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用二、填空题12如果奇函数 （ ）在3,7上是增函数且最小值是 5，f x那么 （ ）在-7,-3上是_.f x减函数且最小值是-5； 减函数且最大值是-5；增函数且最小值是-5； 增函数且最大值是-5【答案】第 8 页 共 18 页 【解析】由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果【详解】奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，则若奇函数 （ ）在区间3，7上是增函数且最小值为5，f x那么 （ ）在区间7，3上是增函数且最大值为5f x故答
13、案为：【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数的对称性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题( )( )( )已知幂函数 的图像经过点 ，则 的值等于413f x3, 3f_.【答案】2( )( )f x = xa( )f 4【解析】设幂函数即可.,再代入点 进而求得 与3, 3 a【详解】1( )f x = xa设幂函数,则a.故.( )f x x123 = 3 a =2所以.( )1f 4 = 4 = 22故答案为：2【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式与求值,属于基础题型.( )( )，则_f x =14已知f x + = x2 + 2x + 21【答案】2 +1x【
14、解析】令 得 ，可得 ( ) ( ) ( ) ，t = x +1x = t -1f t = t -1+ 2 t -1 + 2 = t +122第 9 页 共 18 页 从而可得到所求的函数解析式.【详解】由题意 ，得 ，x = t -1t = x +1( )f x +1 = x因为2x + 2，2 +则 ( ) ( ) ( ) ，f t = t -1+ 2 t -1 + 2 = t +122( )2 +1.，故答案为 f x = x2 +1x【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一
15、定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.( )( )的定义域是_15函数【答案】f x = x - 2 + lg 1+ x x x 2【解析】根据函数解析式的特征得到关于自变量 的不等x式组，解不等式组可得结果【详解】 -2 0x要使函数有意义，需满足 ，解得 ，x 21+ x 0 所以函数的定义域为 x x 2 故答案为 x x 2【点睛】第 10 页 共 18 页 求函数的定义域时，要根据函数解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后即可得到
16、所求的定义域，特别注意要把定义域写成集合或区间的形式16已知 ( )是定义在 上的偶函数，且当 时，x 0f xR- 21( ) ( )f t + a - f t -1 0( ) x ，若对任意实数 ，都有恒t ,2f x =12x +成立，则实数 的取值范围是a( ) ( )-,-3 0,+【答案】- 21【解析】试题分析：当 时， ( ) x( )在 f xx 0f x=1-x +1x +1( )( ) ( )f t + a - f t -1 0( ) ( )得，f t + a f t -1上单调递增，由又0,+( ) ( )( )f x是定义在 上的偶函数，R，则 ，t+ a t -1f
17、 t + a f t -11( )两边平方得对任意实数 都有t ,22a + 2 t + a -1 0221恒成立， 对任意实数 都有( ) ( )f t + a - f t -1 0t ,22( )恒成立，则2a + 2 t + a -1 021( )2a + 2 + a -1 022+ a 02a，则实数 的取值a2a o或a 0a2 2a + 2 + a -1 02范围是【考点】恒成立问题【思路点睛】利用奇偶性、单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（轴对称函数）与单调性综合街函数不等式和比较大小本题中，函数为偶函数，且给出了当 时的x 0解析式，从而可以判断出单调性，然后利用函数的偶函数
18、( ) ( )f -x = f x的性质，即可得到一个不等式组，解不等式组第 11 页 共 18 页 即可得到所求答案三、解答题-113 ( )17计算：-3 + ( ) -5 - 33+ log 4p0log 3 58 823 - 2【答案】3【解析】根据指数幂以及对数的运算求解即可.【详解】( )12 22 2原式=1+-3- + =1+ 2 + 3 -3- += 32 - 33 33 3【点睛】本题主要考查了指数幂以及对数的运算.属于基础题型.18已知集合， | 2m-1 x m+1.B x=A = x x2 - x -12 0（1）当 时，求集合 ；m = -3A B（2）当 时，求实
19、数 的取值范围.B Am【答案】（1） 2 ( )；（ ）A B = x | -3 x -2-1,+【解析】(1)根据集合的基本运算求解即可.(2)分 和 两种情况讨论求解即可.B = B 【详解】A = x | -3 x 4（1）当 时,B = x | -7 x -2 A B = x | -3 m +1m 2第 12 页 共 18 页 2m -1 m +1,2m -1 -3,m +1 4,当 时,有,即.-1 m 2B 综上所述,所求实数 的取值范围是( ).-1,+m【点睛】本题主要考查了集合间的基本运算,同时也考查了根据集合的关系求参数的问题,属于中等题型.( )已知定义在 上的偶函数
20、，当 时，( ) x ；19y = f xx 0f x=Rx +1( )（ ）求函数 的表达式；1f x( ) )（ ）判断函数 在 上的单调性，并用单调性定义2f x0,+证明.x, x 0 +1( ) )0,+【答案】（1）( )x ；（ ）函数 在 上单2f x = f xx, x 0 1 -x调递增，理由见解析【解析】(1)根据偶函数的性质求解当 时的解析式即可.x x121212【详解】（1）因为 为 上的偶函数 设 则有( ),-x 0x 0f xRx, x 0, x 0-xx +1故 时,有 ( ) ( ),故( )=xx x-=12(1)(2)12x1212+1 x +1 x
21、+1 x +11212第 13 页 共 18 页 ),所以因为 ,x x 0,+ x x1212,( )( ) , ( ) ( )x - x 0 x +1 x +1 0f x f x121212( ) )函数 在 上单调递增f x0,+【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求解函数解析式的方法以及根据定义求解函数单调性的问题,属于中等题型.某种树木栽种时高度为 米 为常数 ，记栽种 年A x)20(A9A( )( )f x后的高度为 ，经研究发现， 近似地满足 ( ) ，f xf x =a + btx1( )a b=其中 ， ， 为常数， ，已知 ，栽种三(=34x N)f 0 At年后该树木的高度
22、为栽种时高度的 倍3（）求 ， 的值；a b（）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的倍 参考数据： ， (5lg2 = 0.3010lg3 = 04771)【答案】（） ， ；（）5 年.a =1 b = 8( )( )f 0 = A f 3 = 3A【解析】 由 及 联立解方程组可得；()( ) 解不等式 ，利用对数知识可得()f x 5A【详解】9A9A ( ) ， ( ) ，() f x =f 0 = A a + b = 9 a + btx9Aa + b( )又 ，即 ，f 3 = 3A= 3A a + t b = 33a + t b3联立 解得 ， ，a =1 b = 89A1
23、( ) 由 得 ( ) ，由 得 ，()()f x =f x 5At x1+8t10x1，xlgt lg = -110-1-133x = 4.981lgtlg4 0.6020- lg43第 14 页 共 18 页 本题考查了函数解析式的求解及对数的运算，考查了函数的实际应用问题，属于中档题已知函数 是偶函数f(x) log (4 1) kx(k R)x443，若函数 与 的图象有且f(x) g(x)ax41【答案】（1）k .（2）3(1，)2【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)f(x)，x444 1log 2kx，即x2kx 对一切xR 恒成立，kx41 .2(2)函数f(x)
24、与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程143log (4 1) xlogx有且只有一个实根，化简x44 a214得方程2 a2 a 有且只有一个实根令t2 0，xxx23x4则方程(a1)t at10 有且只有一个正根2333443142第 15 页 共 18 页 综上，实数a 的取值范围是3(1， ) 在区间 上有最大值22已知函数2,3g(x) = ax2 - 2ax +1+ b(a 0)g(x)和最小值 设.41f(x) =x（ ）求 的值1a,b 在 上有解 求实数2,4 ,xk（ ）若不等式2f (log x) - 2k log x 022的取值范围;2（ ）若3有三个不同的实数
25、解 求实数,f( 2 -1) + k-3k = 0x2 -1x的取值范围.k【答案】（1）.（2） （3）( -, 1 (0, +)a =1,b = 0【解析】(1)由函数,所以 在区间g(x)b a ag(x) = a(x -1)2 +1+ - , 0(2) =1g上是增函数,故,由此解得 的值;、a b2,3g(3) = 41(2)由(1)可得,所以 ( )在f (x) = x + - 2log x - 2k log x 0 x 2, 4fx221上有解,等价于在 上有解, 即log x +- 2 2k log xx 2, 4log x222121在 上有解, 令,则2k -+1x 2,
26、4t =( )log xlog xlog2x222,即可求得 的取值范围;2k t2 - 2t +1k(3)原方程可化为,令 x 则2 -1 = t2 -1x2- (3k + 2) 2 -1 + (2k +1) = 0x,有两个不同的实数解 ,其中,t tt (0, +) t -(3k + 2)t + (2k +1) = 0212,或,即可求得实数 的取值范围.0 t 10 0, 在区间 上是增函数, g(x)2,3第 16 页 共 18 页 (2) =1g故:,解得.=1,b = 0ag(3) = 41(2)由(1)可得,f (x) = x + - 2x( )在 上有解x 2, 4flog
27、x - 2k log x 0221等价于在 上有解x 2, 4log x +- 2 2k log xlog x22212即在 上有解x 2, 42k -+1( )log xlog x2221令t =,则2k t 2 12 - +tlog x21,故x 2,4t ,1212记j (t) = t - 2t +1, t 12 1 (t) =jmax 41的取值范围为-,k8(3)原方程可化为2 -1 - (3k + 2) 2 -1 + (2k +1) = 02xx令 则2 -1 = tt(0, +)x有两个不同的实数解t - (3k + 2)t + (2k +1) = 02t,t12其中记,或0 t
28、 10 0,解得则k 0h(1)= -k ,不等式组无实数解.或(1)= -k = 03k + 2h0 12第 17 页 共 18 页 实数 的取值范围为(0, +).k【点睛】本题考查根据函数零点求参数取值范围,解题关键是掌握利用零点存在的判定定理构建不等式求解,分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解,如果涉及由几个零点时,还需考虑函数的图像与参数的交点个数,考查了分析能力和计算能力.第 18 页 共 18 页(2) =1g故:,解得.=1,b = 0ag(3) = 41(2)由(1)可得,f (x) = x + - 2x( )在 上有解x 2, 4flog x - 2k log x 0
29、221等价于在 上有解x 2, 4log x +- 2 2k log xlog x22212即在 上有解x 2, 42k -+1( )log xlog x2221令t =,则2k t 2 12 - +tlog x21,故x 2,4t ,1212记j (t) = t - 2t +1, t 12 1 (t) =jmax 41的取值范围为-,k8(3)原方程可化为2 -1 - (3k + 2) 2 -1 + (2k +1) = 02xx令 则2 -1 = tt(0, +)x有两个不同的实数解t - (3k + 2)t + (2k +1) = 02t,t12其中记,或0 t 10 0,解得则k 0h(1)= -k ,不等式组无实数解.或(1)= -k = 03k + 2h0 12第 17 页 共 18 页 实数 的取值范围为(0, +).k【点睛】本题考查根据函数零点求参数取值范围,解题关键是掌握利用零点存在的判定定理构建不等式求解,分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解,如果涉及由几个零点时,还需考虑函数的图像与参数的交点个数,考查了分析能力和计算能力.第 18 页 共 18 页