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1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用课时规范训练 理 北师大版A级基础演练1(2014高考大纲全国卷)若向量a，b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2B.C1D.解析：利用向量的运算列式求解由题意知即将2得，2a2b20，b2|b|22a22|a|22，故|b|.答案：B2(2015高考重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A.B.C. D.解析：a(2ab)，a(2ab)0，2|a|2ab0，即2|a|2|a|b|cosa，b0.|b|4|a|，2|a|24|a|2cosa，b0，
2、cosa，b，a，b.答案：C3(2014高考重庆卷)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0C3 D.解析：因为a(k,3)，b(1,4)，所以2a3b2(k,3)3(1,4)(2k3，6)因为(2a3b)c，所以(2a3b)c(2k3，6)(2,1)2(2k3)60，解得k3.故选C.答案：C4(2015高考湖北卷)已知向量，|3，则_.解析：因为，所以()0，所以2|29，即9.答案：95(2016洛阳统考)若ABC的面积为2，且角B，则_.解析：依题意得acsin Bac2，ac8，cacos B8cos4.答案：46(2016杭州质检)
3、已知非零向量，和满足0，且，则ABC为_三角形解析：0，cos Bcos C.ABC为等腰三角形又，cos.ACB60，ABC为等边三角形答案：等边7已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|.解：(1)(2a3b)(2ab)61，解得ab6.cos ，又0，.(2)|ab|2a22abb213，|ab|.|ab|2a22abb237.|ab|.8已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp边长c2，角C，求ABC
4、的面积解：(1)证明：mn，asin Absin B，即ab，其中R是三角形ABC外接圆半径，ab.ABC为等腰三角形(2)由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)，Sabsin C4sin.B级能力突破1(2015厦门质检)已知点O，N，P在ABC所在的平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心解析：因为|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为三角形ABC的外心；由0，得，由中线的性质可知点N在
5、三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由，得0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心答案：C2(2015高考四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则()A20 B15C9 D6解析：如图所示，由题设知：，|2|AD|236169.答案：C3(2016辽宁五校联考)在ABC中，若()|2，则()AABC是锐角三角形BABC是直角三角形CABC是钝角三角形DABC的形状不能确定解析：依题意得，()()|2，即22|2，|2|2|2，CAAB，因此ABC是直角三角形答案：B4(
6、2014高考新课标全国卷)已知A，B，C为圆O上的三点 ，若()，则与的夹角为_解析：()，点O是ABC中边BC的中点，BC为直径，根据圆的几何性质有，90.答案：905. (2014高考江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_解析：由3，得，.因为2，所以2，即222.又因为225，264，所以22.答案：226(2016衡阳八中质检)已知点O是锐角ABC的外心，AB8，AC12，A.若xy，则6x9y_.解析：如图，设O点在AB，AC上的射影是点D，E，它们分别为AB，AC的中点，连接OD，OE.由数量积的几何意义，可得|32，|72，依题意有x2y64
7、x48y32，即4x3y2，xy248x144y72，即2x6y3，将两式相加可得6x9y5.答案：57已知向量a，b，c(1，1)，其中x.(1)求证：(ab)(ab)；(2)设函数f(x)(|ac|23)(|bc|23)，求f(x)的最大值和最小值解：(1)证明：ab，ab，(ab)(ab)22220.(ab)(ab)(2)ac，bc.|ac|232232cosx2sinx.|bc|232232cos2sin.f(x)(|ac|23)(|bc|23)4sinxcossin4(cos 2xsin x)4(12sin2xsin x)4(2sin2xsin x1)，当sin x时，y最大值4，当sin x1时，y最小值4(2111)8.6