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1、22.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质学习目标1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质知识链接1作函数图象的步骤为列表、描点、连线另外也可以采取图象变换法2指数函数yax(a0且a1)的图象与性质.a10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点过点(0,1)，即x0时，y1函数值的变化当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1单调性是R上的增函数是R上的减函数预习导引1对数函数的概念一般地，把函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)2对数函数的图象与性质a10a
2、1图象性质定义域(0，)值域R过定点过定点(1,0)，即x1时，y0函数值的变化当0x1时，y0当x1时，y0当0x1时，y0当x1时，y0单调性是(0，)上的增函数是(0，)上的减函数3.反函数对数函数ylogax(a0，且a1)与指数函数yax(a0，且a1)互为反函数.要点一对数函数的概念例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y3log2x；(2)ylog6x；(3)ylogx3；(4)ylog2x1.解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数(3)自变量在底数位置上，不是对数函数(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数规律方法判断一个
3、函数是对数函数必须是形如ylogax(a0且a1)的形式，即必须满足以下条件(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为()Aylog2x By2log4xCylog2x或y2log4x D不确定答案A解析设对数函数的解析式为ylogax(a0，且a1)，由题意可知loga42，a24，a2，该对数函数的解析式为ylog2x.要点二对数函数的图象例2如图所示，曲线是对数函数ylogax的图象，已知a取，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为()A.， B.，C.， D.，答案A解析方法一先
4、排c1，c2底的顺序，底都大于1，当x1时图低的底大，c1，c2对应的a分别为，.然后考虑c3，c4底的顺序，底都小于1，当x1时底大的图高，c3，c4对应的a分别为，.综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4的a值依次为，.故选A.方法二作直线y1与四条曲线交于四点，由ylogax1，得xa(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1，c2，c3，c4对应的a值分别为，故选A.规律方法函数ylogax(a0，且a1)的底数变化对图象位置的影响 观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x1的右侧，a1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0a1时a越小，图象向右越靠近x轴(2)左
5、右比较：比较图象与y1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大跟踪演练2(1)函数yloga(x2)1的图象过定点()A(1,2) B(2,1) C(2,1) D(1,1)(2)如图，若C1，C2分别为函数ylogax和ylogbx的图象，则()A0ab1B0ba1Cab1Dba1答案(1)D(2)B解析(1)令x21，即x1，得yloga111，故函数yloga(x2)1的图象过定点(1,1)(2)作直线y1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0ba1.要点三对数函数的定义域例3(1)函数f(x)lg(1x)的定义域是()A(，1) B(1，)C(1,1)(1，)
6、D(，)(2)若f(x)，则f(x)的定义域为()A. B.C.(0，) D.答案(1)C(2)C解析(1)由题意知解得x1且x1.(2)由题意有解得x且x0.规律方法求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式跟踪演练3求下列函数的定义域(1)ylog2(x24x5)；(2)y.解(1)要使函数有意义，需x24x50，即(x5)(x1)0，所以或所以x5，故所求函数的定义域为(，1)(5，)(2)要使函数有意义，需log0.5(4x3)0，
7、即log0.5(4x3)log0.51，故04x31，解得x1，故所求函数的定义域为.1下列函数是对数函数的是()Ayloga(2x) Bylog22xCylog2x1 Dylg x答案D解析选项A、B、C中的函数都不具有“ylogax(a0且a1)”的形式，只有D选项符合2函数f(x)lg(3x1)的定义域是()A(，) B(，)C(，) D(，1)答案D解析由可得x1.3函数yax与ylogax(a0，且a1)在同一坐标系中的图象形状可能是()答案A解析函数ylogax恒过定点(1,0)，排除B项；当a1时，yax是增函数，ylogax是减函数，当0a1时，yax是减函数，ylogax是增
8、函数，排除C项和D项，A项正确4若a0且a1，则函数yloga(x1)1的图象恒过定点_答案(2,1)解析函数图象过定点，则与a无关，故loga(x1)0，x11，x2，y1，所以yloga(x1)1过定点(2,1)5函数yln x的反函数是_答案yex解析由反函数的定义知xey，故反函数为yex.1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有ylogax(a0，且a1)这种形式2在对数函数ylogax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质3涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析一、基础达标1函数ylogax的图象如图所示，则a的
9、值可以是()A0.5 B2Ce D答案A解析函数ylogax的图象单调递减，0a1，只有选项A符合题意2函数f(x)lg(x1)的定义域为()A(1,4 B(1,4) C1,4 D1,4)答案A解析由解得1x4.3在同一坐标系中，函数ylog3x与ylogx的图象之间的关系是()A关于y轴对称 B关于x轴对称C关于原点对称 D关于直线yx对称答案B解析ylogxlog3x，函数ylog3x与ylogx的图象关于x轴对称4如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是()Aabc BcbaCcab Dacb答案D解析ylogax的图象在(0，)上是上升的，所以底数a1，函数ylogbx，yl
10、ogcx的图象在(0，)上都是下降的，因此b，c(0,1)，又易知cb，故acb.5已知函数f(x)那么f(f()的值为()A27 B. C27 D答案B解析f()log2log2233，f(f()f(3)33.6已知对数函数f(x)的图象过点(8，3)，则f(2)_.答案解析设f(x)logax(a0，且a1)，则3loga8，a.f(x)logx，f(2)log(2)log2(2).7求下列函数的定义域：(1)f(x)lg(x2)；(2)f(x)log(x1)(164x)解(1)要使函数有意义，需满足解得x2且x3.函数的定义域为(2,3)(3，)(2)要使函数有意义，需满足解得1x0或0
11、x4.函数的定义域为(1,0)(0,4)二、能力提升8设函数f(x)log2x的反函数为yg(x)，且g(a)，则a等于()A2 B2 C. D答案B解析函数f(x)log2x的反函数为y2x，即g(x)2x.又g(a)，2a，a2.9若函数f(x)loga(xb)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)axb的图象大致是()答案D解析由函数f(x)loga(xb)的图象可知，函数f(x)loga(xb)在(b，)上是减函数0a1且0b1.所以g(x)axb在R上是减函数，故排除A，B.由g(x)的值域为(b，)所以g(x)axb的图象应在直线yb的上方，故排除C.10设函数f(x)log
12、ax(a0且a1)，若f(x1x2x2 013)8，则f(x)f(x)f(x)的值等于_答案16解析f(x)f(x)f(x)f(x)logaxlogaxlogaxlogaxloga(x1x2x3x2 013)22loga(x1x2x3x2 013)2f(x1x2x3x2 013)，原式2816.11已知f(x)log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)f(2)，利用图象求a的取值范围解(1)作出函数ylog3x的图象如图所示(2)令f(x)f(2)，即log3xlog32，解得x2.由图象知：函数f(x)为单调增函数，当0a2时，恒有f(a)f(2)所求a的取值范围为(0,2)三、探究与创新12求y(logx)2logx5在区间2,4上的最大值和最小值解因为2x4，所以log2logxlog4，即1logx2.设tlogx，则2t1，所以yt2t5，其图象的对称轴为直线t，所以当t2时，ymax10；当t1时，ymin.13若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x(0，)时，f(x)lg(x1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象解f(x)为R上的奇函数，f(0)0.又当x(，0)时，x(0，)，f(x)lg(1x)又f(x)f(x)，f(x)lg(1x)，f(x)的解析式为f(x)f(x)的大致图象如图所示