2020-2021北京市通州区高三上学期期末数学试卷及答案.docx

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1、 通州区 20202021 学年第一学期高三年级摸底质量检测数学试卷2021 年 1 月考生须知1.本试卷分为两部分，共 4 页。总分为 150 分。考试时间为 120 分钟。2.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。3.在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。4.考试结束后，请将答题卡交回。第一部分 选择题（共 40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分. 在每个小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. A = 1,3,4，= 1,2,3,4,51已知集合U=，则AU 2,5 4,51,2,3,4,5D3,5AB的

2、准线方程是C= 4x2抛物线 y2= -2x = -1x =1A xBCD x = 2: xR x 0 ，则p， 2 是3已知命题 pxR x2 0，BxR ， x2 0$x R x b6已知 a，且111 1a b aba blog logDAB C a3b322 22高三数学摸底考试第1页（共 4 页） 4 3,-cos2 =7已知角a 的终边与单位圆交于点P，则a5 52425771625A -B -CD2525( )8在ABC= 2 AC = 3，= -3 3 ，则 AC- ll R中，AB，且AB ACAB的最，则小值是3A23 3B 3CD2 329如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离

3、水面5m，水面宽AB = 30m . 若水面下降5m水面宽是（结果精确到0.1m）（参考数值： 2 1.41，5 2.247 2.65， ）AB43.8m44.8mABC52.3mD53.0m10如图，等腰直角ABC 中， AC = BC = 2，点 为平面 ABC外一动点，满足PB AB= ，PPBA=，给出下列四个结论：2P存在点 ，使得平面PPAC 平面 PBCPAC 平面 PAB；存在点 ，使得平面PAB设PAC的面积为 ，则 的取值范围是 0,4 ；SS(C设二面角 -A PB C- 的大小为 ，则 的取值范围是aa0, .4其中正确结论是A BCD第二部分卷 非选择题（共 110

4、分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.1-i11复数（i 是虚数单位）的虚部是i12在( - 2)6的展开式中， x3的系数是x高三数学摸底考试第2页（共 4 页） ( )13在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 4,0 ，若以线段OA为直径的圆OA与直线 = 2 在第一象限交于点 ，则直线的方程是AByxB14某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第 个月的月平均n( )( )( )= Acos wn +j + k最高气温G n 可近似地用函数G n来刻画，其中正整数 表示n 1,12 ，例如n =1( ) 0,，j 0w月份且 n

5、1表示 月份， 和 是正整数，Ak统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：71该地区月平均最高气温最高的 月份与最低的 月份相差 摄氏度；301 月份该地区月平均最高气温为 摄氏度，随后逐月递增直到 月份达到最高；37每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同( )根据已知信息，得到G n 的表达式是_.x +4e, x 0,( )( ) ( )f x = f x，使得=x 0 x 015已知函数 f x e若存在 ，则x, x 0.1212x( )x f x 的取值范围是_.12三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程- A B

6、 C DDD 16（本题 13 分）如图，四棱柱 ABCD中，底面 ABCD为矩形，平面11111=1ABCD ， E ， F 分别是 BB ， DC 的中点， DA，11D1C1A1B1DC= DD = 2.F1E（）求证： EF 平面 ABCD；DCDC与平面 EAD 所成角的正弦值.（）求直线AB1高三数学摸底考试第3页（共 4 页） 17（本题 13 分）在锐角 ABC ABC的中 ，角 A，B ， 的对边分别为a ， ，c ，设Cb面积为 SABC ，已知c = 7 ，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，求a 与sin C的值.3 327= 3条件：b；条件： S=；条

7、件：cos B =14ABC注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分18（本题 14 分）某企业为了解职工A 款 APP 和 B 款 APP 的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：男职工女职工使用不使用48 人使用不使用80 人A 款 APPB 款 APP72 人60 人40 人84 人60 人36 人假设所有职工对两款 APP 是否使用相互独立.（）分别估计该企业男职工使用 A 款 APP 的概率、该企业女职工使用 A 款 APP 的概率；（）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2 人中使用 A 款 APP 的人数为 ，X求 的分布列及数学期望；X（）据电商行

8、业发布的市场分析报告显示，A 款 APP 的用户中男性占52.04 、女性占 47.96；B 款 APP 的用户中男性占38.92 、女性占61.08.试分析该企业职工使用 A 款 APP 的男、女用户占比情况和使用 B 款 APP 的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符.高三数学摸底考试第4页（共 4 页） 1( )= -1x19（本题 15 分）已知函数 f x.( )( )1, f 1处的切线方程；( )y = f x（）求曲线在点( ) ( )( )，当t 时，求 g x 零点的个数.= f x +t ln x1（）设函数 g xxy (b): + =1

9、a b 0的左、右顶点分别为点 A， B ，且2220（本题 15 分）已知椭圆Ca221AB = 4，椭圆C 离心率为 .2（）求椭圆C 的方程；0lCN（）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为 的直线 交椭圆 于 M ， 两点，直线 AM ，BN 的交于点 ，求证：点 在直线 x 上.= 4QQ221（本题 15 分）已知数列 ： a ， a ， ， （ n ）满足：A an12na=1；= 2（k=1， 2 ， ， n-1）. a1k+1ak(A ) = a + a + + a记 S.n12n( )S A（）直接写出的所有可能值；3( )S A 0a 0n（）证明：的充要条件是；n( )( )

10、S A 0S A的所有可能值的和.（）若，求nn高三数学摸底考试第5页（共 4 页） 通州区 2020-2021 学年第一学期高三年级摸底质量检测数学试卷参考答案及评分标准2021 年 1月一选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.题号答案12B34C5B6C7C89B10BADA二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.-1-160x + 2y - 4 = 013.11.12.5 1,12( )14. G n=15cosn +18，n 是正整数且n-4e2,0，15.66三解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.16（本题 13 分）解：（）证明：取C

11、D的中点G ，连接 FG ， BG . 1分1CC因为 F 是 DC 的中点，所以 FG=， FGCC .1z2111CC因为 E 是 BB 的中点，所以 EB=A1B1， EBCC .12F11EEB FG = EB所以 FG，.CDyGABx所以四边形 FGBE是平行四边形.所以 EFBG 5 6.分因为 EF 平面ABCD BG ，平面 ABCD，所以 EF 平面 ABCD.分（）因为底面 ABCD为矩形， DD 平面 ABCD，1 DC所以 DA，DD DA ，DD DC . 711高三数学摸底考试第6页（共 4 页） 分以点 D 为坐标原点，分别以直线 DA ，DC，DD为 ， ，z

12、 轴建立空间直角坐标系Dxyz .xy1 8分= DD = 2=1 DC，因为 DA，1( ) ( ) ( ) ( )D 0,0,0A 1,0,0 E 1,2,1 C 0,2,2， ，所以，.1( )= 1,0,0( )DE = 1,2,1( )DC = 0,2,2所以 DA，.1( )n = x, y, z设平面 EAD 的法向量为， DA = 0, DE = 0,x =0,n所以即 令y =1，则 z = -2.x + 2y + z = 0.n( )= 0,1,-2所以 n. 11分-22 2 510cos DC ,n = -.所以11010DC所以直线分与平面 EAD 所成角的正弦值.

13、1311017（本题 13 分）3 3解（一）：选择条件： = 3 ；条件：=.bSABC23 3因为 = 3 ，S=，b= 7c2ABC12bc3 3213 3所以sin =，即 3 7 sin =.AA2221所以sin =. 4A7分高三数学摸底考试第7页（共 4 页） 因为 ABC 是锐角三角形，2 7所以cos =. 7 10A7分2 77由余弦定理可得 = 9 + 7 - 23 7 a2.所以 = 2 . （负值舍去）a分csin A由正弦定理可得sin =.Ca3所以 sin =.C213 分3所以 = 2 ，sin =.aC27解（二）：选择条件： = 3 ；条件：cos =b

14、B147因为cos =，B143 2114所以sin =. 4B分csin B由正弦定理可得sin =.Cb3所以 sin =.C28 分7由余弦定理可得9 = 2+ 7 - 2 7 .aa14所以 = 2 . （负值舍去） 13a分3所以 = 2 ，sin =.aC23 327解（三）：选择条件：S=；条件：cos =B14ABC高三数学摸底考试第8页（共 4 页） 7因为cos =，B143 2114所以sin =. 3B分3 32因为 = 3 ，=，bSABC13 3213 21 3 3=所以sin =ac B，即 7 .a22142所以 = 2 . 7 10a分7由余弦定理可得 2 =

15、 4 + 7 - 22 7 .b14所以 = 3 . （负值舍去）b分csin B由正弦定理可得sin =.Cb3所以 sin =.C213 分3所以 = 2 ，sin =.aC218（本题 14 分）（）由所给数据可知，男职工使用 A 款 APP 的人数为72 ，用频率估计概率，可得男职工72 3使用京东 APP 的概率约为120 = 5 ；40 1同理，女职工使用 A 款 APP 的概率约为120 = 3 . 3分（） 的可能取值为0 ，1， 2 . 4X分2 2 4P X = 0 = =5 3 153 2 2 1 8P X =1 = + =5 3 5 3 153 1 1()( )()所以

16、；.P X = 2 = =5 3 5 7高三数学摸底考试第9页（共 4 页） 分所以 的分布列为X012X4815P1515 9分481 14的数学期望= 0 +1 + 2 =. 11XEX15155 15分72（）样本中，A 款 APP 的男、女用户为72 + 40 =112 （人），其中男用户占 64.3；11240女用户占 35.7.11260样本中，B 款 APP 的男、女用户为60 + 84 =144 （人），其中男用户占 41.7；女用户14484占 58.3.144所以该企业职工使用 B 款 APP 的情况与官方发布的男、女用户情况更相符. 14分19（本题 15 分）11( )

17、= -1x( )，所以 f x解：（）因为 f x.x2( )f 1 = 0 f，(1)1.所以( )( )y = f x( )1, f 1yx 1，即 x y1 0所以曲线在点处的切线方程是. 3分( ) ( )g x = f x +t ln x（）因为，1( )所以 g x( )x0= +t ln x -1 .x高三数学摸底考试第10页（共 4 页） 1 t tx 1所以分. 4g(x)x2xx2( )g(x) 0,+在0( ) 0当t 时， g x . 所以上单调递减.因为 g(1) 0，所以 g(x)有且仅有一个零点. 6分当0 t 1时，11.t(x) 0g (x) 0，得令 g，得

18、，令xxt0,11,+所以 g(x)在上单调递减，在 7 上单调递增.tt分因为 g(1) 0，0,1所以 g(x)在上有且仅有一个零点.8t分11111ge0，e因为 gg1 0，且tt1ttet1,tg(x ) 0.所以 x0，使得01,+所以 g(x) 在 上有且仅有一个零点.t0 t 1( )所以当分时，g x 有两个零点. 12高三数学摸底考试第11页（共 4 页） x 11( )时， g x当t.x2(x) 01，令 g (x) 0，得 x1.令 g，得 x( )(x) 0,11,+上单调递增.所以 g所以当 x在上单调递减，在1( )(1) 0.时， g x 取得最小值，且 g有

19、且仅有一个零点.所以 g(x) 14分01时，g(x) 有且仅有一个零点；当01时，g(x)有两个零点.综上所述，当t 或tt 15分20（本题 15 分）1AB = 4解：（）因为，椭圆C 离心率为 ，22a = 4,c 1= ,所以 解得 a = 4 ，b = 3 .22a 2= b + c.2a22x y22+ =1所以椭圆 C 的方程是3 分.4 3（）若直线l的斜率不存在时，如图，( )1,0=1.，所以直线l 的方程是 x因为椭圆C 的右焦点为3321,1,-所以点 M 的坐标是 ，点 N 的坐标是 .y2Q1M( )= x + 2所以直线 AM 的方程是 y，12OxA1B43(

20、 )= x - 2直线 BN 的方程是 y.N2高三数学摸底考试第12页（共 4 页） ( )4,3所以直线 AM ， BN 的交点Q 的坐标是.所以点Q 在直线 x= 4上. 5分若直线l 的斜率存在时，如图. 设斜率为k .y( )y = k x -1所以直线 的方程为l.QM( )y = k x -1 ,O1BxA4联立方程组x y22+ =1, 4 3N( )y消去 ，整理得3+ 4-8 + 4 -12 = 0k x k x k222. 6分( ) ( )D 0. 不妨设 M x, yN x , y显然，11228k4k -1222+ x =x x =所以 x，. 83+ 4k3+ 4

21、k122122分6yy ( )y =x + 24y=所以直线 AM 的方程是1. 令 x，得1 .x + 2x + 211y ( )2yy =x - 24y=直线 BN 的方程是2. 令 x，得2 . 10x - 2x - 222分( ) ( )6y2y6-1 2k x-1k x-=-所以121+2x + 2 x - 21x12x - 222( )( ) ( )( )6k x -1 x - 2 - 2k x + 2 x -1=1212( )( )x + 2 x - 212( )( ) ( )( )= 6k x -1 x - 2 - 2k x + 2 x -1分子1212高三数学摸底考试第13页

22、（共 4 页） () ()( )= 2k 3 x x - x - 2x + 2 - x x - x + 2x - 2 = 2k 2x x -5 x + x +8.1 2211 2121 212( )2 412k -58k3+ 4k 8 - 24 - 40 + 24 + 32 k k k22222= 2k -+8 = 2k3+ 4k3+ 4k222= 0. 15分所以点Q 在直线 x= 4上.21（本题 15 分）( )7 -5 -33 5 7-1， ，1， ， ， . 3S A-解：（）分的所有可能值是，3a 0n= 2（）充分性：若，即an-1.n= 2-1 -2 -4，-2所以满足an-1

23、，且前n 项和最小的数列是 ，2，n-1.n-2n()+ 2n-1a + a + a - 1+ 2+ 4+ 2所以n-212n1- 2 2n-2= -+ 2 =1.n-11- 2( )S A 0所以. 6n分( )S A 0a + a + + a 0.必要性：若，即12nna 0，与已知S A = a + a + a 1+ 2 + 4 + 2- 2 = -1 0所以. 8n分( )S A 0a 0n综上所述，的充要条件是.n高三数学摸底考试第14页（共 4 页） ( )S A 0a 0=2n-1（）由（）知，可得.所以a.nnn: a a1a2a1aa3-1 1-2 2-4，因为数列 A， ，

24、 ， （ n ）中 有 ， 两种， 有 ， 两种， 有n2n2422两种，a 有 2n-1两种，a 有 -，一种，n-2n-2n-1n: a a1a2所以数列 A， ， ， （ n ）有2个，且在这2n-1个数列中，每一个数列都n-1n2n-1可以找到前n 项与之对应项是相反数的数列.n所以这样的两数列的前 项和是22.n-1122 2 = 22 -2 .2n个数列的前 项和是所以这-1-1n-1nnn2( )S A22n-2所以的所有可能值的和是.n15 分高三数学摸底考试第15页（共 4 页）() ()( )= 2k 3 x x - x - 2x + 2 - x x - x + 2x -

25、2 = 2k 2x x -5 x + x +8.1 2211 2121 212( )2 412k -58k3+ 4k 8 - 24 - 40 + 24 + 32 k k k22222= 2k -+8 = 2k3+ 4k3+ 4k222= 0. 15分所以点Q 在直线 x= 4上.21（本题 15 分）( )7 -5 -33 5 7-1， ，1， ， ， . 3S A-解：（）分的所有可能值是，3a 0n= 2（）充分性：若，即an-1.n= 2-1 -2 -4，-2所以满足an-1，且前n 项和最小的数列是 ，2，n-1.n-2n()+ 2n-1a + a + a - 1+ 2+ 4+ 2所以

26、n-212n1- 2 2n-2= -+ 2 =1.n-11- 2( )S A 0所以. 6n分( )S A 0a + a + + a 0.必要性：若，即12nna 0，与已知S A = a + a + a 1+ 2 + 4 + 2- 2 = -1 0所以. 8n分( )S A 0a 0n综上所述，的充要条件是.n高三数学摸底考试第14页（共 4 页） ( )S A 0a 0=2n-1（）由（）知，可得.所以a.nnn: a a1a2a1aa3-1 1-2 2-4，因为数列 A， ， ， （ n ）中 有 ， 两种， 有 ， 两种， 有n2n2422两种，a 有 2n-1两种，a 有 -，一种，n-2n-2n-1n: a a1a2所以数列 A， ， ， （ n ）有2个，且在这2n-1个数列中，每一个数列都n-1n2n-1可以找到前n 项与之对应项是相反数的数列.n所以这样的两数列的前 项和是22.n-1122 2 = 22 -2 .2n个数列的前 项和是所以这-1-1n-1nnn2( )S A22n-2所以的所有可能值的和是.n15 分高三数学摸底考试第15页（共 4 页）