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1、3. 3.2几何概型及均匀随机数的产生一、教材分析 1.几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型,其概率计算原理通俗、简单,对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积.2.如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个,并且每个结果发生的可能性相等,那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置,将随机事件转化为几何问题,即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率.二、教学目标(1)正确理解几何概型的概念;(2)掌握几何概型的概率公式;(3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型;(4)了解均匀随机数的概念;(5)掌握利用计算器(计算机)产生均
2、匀随机数的方法;(6)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题三、教学重点难点1、几何概型的概念、公式及应用;2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中四、学情分析 五、教学方法1自主探究,互动学习2学案导学:见后面的学案。3新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习六、课前准备1、通过对本节知识的探究与学习,感知用图形解决概率问题的方法,掌握数学思想与逻辑推理的数学方法;2、教学用具:投灯片,计算机及多媒体教学七、课时安排:1课时七、教学过程1、创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有
3、限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8:00至9:00之间的任何一个时刻;往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点这些试验可能出现的结果都是无限多个。2、基本概念:(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;(2)几何概型的概率公式:P(A)=;(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等3、例题分析:课本例题略例1 判下列试验中事件A发生的概度是古典概型,还是几何概型。(1)抛掷两
4、颗骰子,求出现两个“4点”的概率;(2)如课本P132图33-1中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。解:(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有66=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型例2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发
5、往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于10分钟的概率分析:假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解:设A=等待的时间不多于10分钟,我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于50,60这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =,即此人等车时间不多于10分钟的概
6、率为小结:在本例中,到站等车的时刻X是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X服从0,60上的均匀分布,X为0,60上的均匀随机数练习:1已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率。2两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2m的概率解:1由几何概型知,所求事件A的概率为P(A)= ;2记“灯与两端距离都大于2m”为事件A,则P(A)= =例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?分析:石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机
7、的而40平方千米可看作构成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率。解:记“钻到油层面”为事件A,则P(A)= =0.004答:钻到油层面的概率是0.004例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少?分析:病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫克种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。解:取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P(A)= =0.01答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01例5 取一根长度为3m的绳子,拉直后在任
8、意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大?分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍0,3内的任意数,并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应0,3上的均匀随机数,其中取得的1,2内的随机数就表示剪断位置与端点距离在1,2内,也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的1,2内的随机数个数与0,3内个数之比就是事件A发生的概率。解法1:(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND(2)经过伸缩变换,a=a1*3(3)统计出1,2内随机数的个数N1和0,3 内随机数的个数N(4)计算频率fn(A)=即为概率P(
9、A)的近似值解法2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度0,3(这里3和0重合)转动圆盘记下指针在1,2(表示剪断绳子位置在1,2范围内)的次数N1及试验总次数N,则fn(A)=即为概率P(A)的近似值小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法2用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能很大;解法1用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识例6 在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,
10、求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率 分析:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M,求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率解:(1)用计算机产生一组0,1内均匀随机数a1=RAND(2)经过伸缩变换,a=a1*12得到0,12内的均匀随机数(3)统计试验总次数N和6,9内随机数个数N1(4)计算频率记事件A=面积介于36cm2与81cm2之间=长度介于6cm与9cm之间,则P(A)的近似值为fn(A)=八、反思总结,当堂检测。九、发导学案、布置预习。完成本节的课后练习及课后延伸拓展作业。设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提
11、高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。十、板书设计十一、教学反思本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。 1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例;2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量(如概率
12、值、常数 )有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量。 在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习,也希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步!十二、学案设计(见下页)3.3.2几何概型及均匀随机数的产生课前预习学案一、预习目标1. 了解几何概型的概念及基本特点;2. 掌握几何概型中概率的计算公式;3. 会进行简单的几何概率计算二、预习内容1. 基本事件的概念: 一个事件如果 事件,就称作基本事件.基本事件的两个特点:10.任何两个基本事件是 的;20.任何一个事件(除不可能事件)都可以 . 2. 古典概型的定义:古典概型有两个特征:10.试验中
13、所有可能出现的基本事件 ;20.各基本事件的出现是 ,即它们发生的概率相同具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型. 3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件,而事件A恰包含其中的m个基本事件,则事件A的概率P(A)定义为: 。问题情境:试验取一根长度为的绳子,拉直后在任意位置剪断 试验射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色奥运会的比赛靶面直径为,靶心直径为运动员在外射箭假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的 问题:对于试验:剪得两段的长都不小于的概率有多大? 试验:射中黄心的概率为多少?新知生成:1.几何概型的概念:2
14、.几何概型的基本特点:3.几何概型的概率公式:三、提出疑惑同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1. 了解几何概型的概念及基本特点;2. 掌握几何概型中概率的计算公式;3. 会进行简单的几何概率计算学习重难点:重点:概率的正确理解难点:用概率知识解决现实生活中的具体问题。二、学习过程例题学习:例1判下列试验中事件A发生的概度是古典概型,还是几何概型。(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;(2)如课本P135图中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。例2
15、某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于10分钟的概率例3在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?例4在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少?例题参考答案:例1分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。解:(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有66=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;(2)游戏中指针指向B区域时有无限
16、多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型例2分析:假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解:设A=等待的时间不多于10分钟,我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于50,60这一时间段内,因此由几何
17、概型的概率公式,得P(A)= =,即此人等车时间不多于10分钟的概率为小结:在本例中,到站等车的时刻X是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X服从0,60上的均匀分布,X为0,60上的均匀随机数例3分析:石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的, 而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率。解:记“钻到油层面”为事件A,则P(A)= =0.004答:钻到油层面的概率是0.004例4分析:病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫克种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。
18、解:取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P(A)= =0.01答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01(三)反思总结(四)当堂检测1在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是( )A0.5 B0.4 C0.004 D不能确定2平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率3某班有45个,现要选出1人去检查其他班的卫生,若每个人被选到的机会均等,则恰好选中学生甲主机会有多大?4如图3-18所示,曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A,直线x=1、直线
19、y=1、x轴围成一个正方形,向正方形中随机地撒一把芝麻,利用计算机来模拟这个试验,并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。参考答案:2aroM1C(提示:由于取水样的随机性,所求事件A:“在取出2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004)2解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M,如图所示,这样线段OM长度(记作OM)的取值范围就是o,a,只有当rOMa时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A的概率就是P(A)=3提示:本题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请按照下面的步骤独立完
20、成。(1)用145的45个数来替代45个人;(2)用计算器产生145之间的随机数,并记录;(3)整理数据并填入下表试 验次 数50100150200250300350400450500600650700750800850900100010501出现的频数1出现的频率(4)利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。4解:如下表,由计算机产生两例01之间的随机数,它们分别表示随机点(x,y)的坐标。如果一个点(x,y)满足y-x2+1,就表示这个点落在区域A内,在下表中最后一列相应地就填上1,否则填0。xy计数0.5988950.94079400.5122840.11896110.49684
21、10.78441700.1127960.69063410.3596000.37144110.1012600.65051210.9473860.90212700.1176180.30567310.5164650.22290710.5963930.9696950课后练习与提高1已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率 2两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2m的概率 。3在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?4某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台
22、报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率。5.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?下课啦,咱们来听个小故事吧:活动目的:教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的,每个人都要保护它,做到节约每一滴水,造福子孙万代。活动过程:1.主持人上场,神秘地说:“我让大家猜个谜语,你们愿意吗?”大家回答:“愿意!”主持人口述谜语:“双手抓不起,一刀劈不开,煮饭和洗衣,都要请它来。”主持人问:“谁知道这是什么?”生答:“水!”一生戴上水的头饰上场说:“我就是同学们猜到的水。听大家说,我的用处可大了,是真的吗?”主持人:我宣布:“水”是万物之源主题
23、班会现在开始。 水说:“同学们,你们知道我有多重要吗?”齐答:“知道。”甲:如果没有水,我们人类就无法生存。小熊说:我们动物可喜欢你了,没有水我们会死掉的。花说:我们花草树木更喜欢和你做朋友,没有水,我们早就枯死了,就不能为美化环境做贡献了。主持人:下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话,水的用处真叫大;洗衣服,洗碗筷,洗脸洗手又洗脚,煮饭洗菜又沏茶,生活处处离不开它。栽小树,种庄稼,农民伯伯把它夸;鱼儿河马大对虾,日日夜夜不离它;采煤发电要靠它,京城美化更要它。主持人:同学们,听完了这个快板,你们说水的用处大不大?甲说:看了他们的快板表演,我知道日常生活种离不了水。乙说:看了表演后,我知道
24、水对庄稼、植物是非常重要的。丙说:我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人:水有这么多用处,你们该怎样做呢?(1)(生):我要节约用水,保护水源。(2)(生):我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对,以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。(3)(生):前几天,我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目,很受教育,同学们看得可认真了,知道了我们北京是个缺水城市,我们再不能浪费水了。(4)(生):我要用洗脚水冲厕所。3.主持人:大家谈得都很好,下面谁想出题考考大家,答对了请给点掌声。(1)(生):小明让爸爸刷车时把水龙头开小点,请回答对不对。(2)(生):小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉,留冲厕所用。(3
25、)一生跑上说:主持人请把手机借我用用好吗?我想现在就给姥姥打个电话,告诉她做饭时别把淘米水到掉了,用它冲厕所或浇花用。(电话内容略写)(4)一生说:主持人我们想给大家表演一个小品行吗?主持人:可以,大家欢迎!请看小品这又不是我家的大概意思是:学校男厕所便池堵了,水龙头又大开,水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所,看见后又皱眉又骂,但都没有关水管,嘴里还念念有词,又说:“反正不是我家的。”旁白:“那又是谁家的呢?”主持人:看完这个小品,你们有什么想法吗?谁愿意给大家说说?甲:刚才三个同学太自私了,公家的水也是大家的,流掉了多可惜,应该把水龙头关上。乙:上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人
26、:我们给他鼓鼓掌,今后你们发现水龙头没关会怎样做呢?齐:主动关好。小记者:同学们,你们好!我想打扰一下,听说你们正在开班会,我想采访一下,行吗?主持人:可以。小记者:这位同学,你好!通过参加今天的班会你有什么想法,请谈谈好吗?答:我要做节水的主人,不浪费一滴水。小记者:请这位同学谈谈好吗?答:今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条,这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者:你们谈得很好,我的收获也很大。我还有新任务先走了,同学们再见!水跑上来说:同学们,今天我很高兴,我“水伯伯”今天很开心,你们知道了有了我就有了生命的源泉,请你们今后一定节约用
27、水呀!让人类和动物、植物共存,迎接美好的明天!主持人:你们还有发言的吗?答:有。生:我代表人们谢谢你,水伯伯,节约用水就等于保护我们人类自己。动物:小熊上场说:我代表动物家族谢谢你了,我们也会保护你的!花草树木跑上场说:我们也不会忘记你的贡献!水伯伯:(手舞足蹈地跳起了舞蹈)同学们的笑声不断。主持人:水伯伯,您这是干什么呢?水伯伯:因为我太高兴了,今后还请你们多关照我呀!主持人:水伯伯,请放心,今后我们一定会做得更好!再见!4.主持人:大家欢迎老师讲话!同学们,今天我们召开的班会非常生动,非常有意义。水是生命之源,无比珍贵,愿同学们能加倍珍惜它,做到节约一滴水,造福子孙后代。5.主持人宣布:“
28、水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果: 此次活动使学生明白了节约用水的道理,浪费水的现象减少了,宣传节约用水的人增多了,人人争做节水小标兵活动目的:教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的,每个人都要保护它,做到节约每一滴水,造福子孙万代。活动过程:1.主持人上场,神秘地说:“我让大家猜个谜语,你们愿意吗?”大家回答:“愿意!”主持人口述谜语:“双手抓不起,一刀劈不开,煮饭和洗衣,都要请它来。”主持人问:“谁知道这是什么?”生答:“水!”一生戴上水的头饰上场说:“我就是同学们猜到的水。听大家说,我的用处可大了,是真的吗?”主持人:我宣布:“水”是万物之源主题班会现在开始
29、。 水说:“同学们,你们知道我有多重要吗?”齐答:“知道。”甲:如果没有水,我们人类就无法生存。小熊说:我们动物可喜欢你了,没有水我们会死掉的。花说:我们花草树木更喜欢和你做朋友,没有水,我们早就枯死了,就不能为美化环境做贡献了。主持人:下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话,水的用处真叫大;洗衣服,洗碗筷,洗脸洗手又洗脚,煮饭洗菜又沏茶,生活处处离不开它。栽小树,种庄稼,农民伯伯把它夸;鱼儿河马大对虾,日日夜夜不离它;采煤发电要靠它,京城美化更要它。主持人:同学们,听完了这个快板,你们说水的用处大不大?甲说:看了他们的快板表演,我知道日常生活种离不了水。乙说:看了表演后,我知道水对庄稼、植
30、物是非常重要的。丙说:我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人:水有这么多用处,你们该怎样做呢?(1)(生):我要节约用水,保护水源。(2)(生):我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对,以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。(3)(生):前几天,我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目,很受教育,同学们看得可认真了,知道了我们北京是个缺水城市,我们再不能浪费水了。(4)(生):我要用洗脚水冲厕所。3.主持人:大家谈得都很好,下面谁想出题考考大家,答对了请给点掌声。(1)(生):小明让爸爸刷车时把水龙头开小点,请回答对不对。(2)(生):小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉,留冲厕所用。(3)一生跑上说:主持人请把手机借我用用好吗?我想现在就给姥姥打个电话,告诉她做饭时别把淘米水到掉了,用它冲厕所或浇花用。(电话内容略写)(4)一生说:主持人我们想给大家表演一个小品行吗?主持人:可以,大家欢迎!请看小品这又不是我家的大概意思是:学校男厕所便池堵了,水龙头又大开,水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所,看见后又皱眉又骂,但都没有关水管,嘴里还念念有词,又说:“反正不是我家的。”旁白:“那又是谁家的呢?”主持人:看完这个小品,你们有什么想法吗?谁愿意给大家说说?