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1、第三章 函数的应用本章教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方面.学生学习函数的应用,目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题.通过函数的应用,对完善函数的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的
2、学习热情.在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查的重点.本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”,从而提高自己的数学能力.因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律.本章教学时间约需9课时，具体分配如下(仅供参考)：3.1函数与方程约3课时3.2函数模型及其应用约4课时实习作业约1课时本章复习约1课时3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点整体设计教学分析
3、函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性
4、质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.课时安排2课时教学过程第1课时 方程的根与函数的零点导入新课思路1.(情景导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲).请问：整场足球比赛出现几次“比分
5、相同”的时段?学生思考或讨论回答：三次:(1)开场;(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段;(3)由落后到领先必经过“平分”时段.教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”,函数值有“负”“正”“零”,函数图象与足球比赛一样跌宕起伏.由此导入课题,为后面学习埋好伏笔.思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h=20t-5t2,问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h=0，求方程20t-5t2=0的根,得t=4秒.如图3-1-1-1.图3-1-1-1思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨
6、论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题求方程x2-2x-3=0的根，画函数y=x2-2x-3的图象.求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x2-2x+1的图象.求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?归纳函数零点的概念.怎样判断函数是否有零点？函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答
7、不准确的学生提示引导考虑问题的思路:问题:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象(图3-1-1-2).问题:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3-1-1-3).问题:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3-1-1-4).问题:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.问题:对于其他函数这个结论正确吗？问题:函数的零点是一个实数.问题:可以利用“转化思想”.问题:足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：方程的两个实数根为-1
8、，3.方程的实数根为1.方程没有实数根.方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0);b.当=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0);c.当0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象
9、与x轴有交点函数y=f(x)有零点.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间-2,1上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间2,4同样如此.可以发现，f(-2)f(1)0,函数y=x2-2x-3在区间(-2，1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)f(4)4.(2)若函数有三个零点，则a=4.(3)函数有四个零点,则0a0,所以一元二次方程2x2-3x-2=0有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法二:因为一元二次方程2x2-3x-2=0可化为(2x+
10、1)(x-2)=0,所以一元二次方程2x2-3x-2=0有两个不相等的实根x1=2,x2=.所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法三:因为函数f(x)=2x2-3x-2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方,即f(0)=-20,所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.如图3-1-1-6.图3-1-1-7点评：判断函数零点个数可以结合函数的图象.方法：零点函数方程的根两图象交点.数学思想：转化思想和数形结合思想.例2若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a的取值范围.活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写
11、的正确的答案).教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.如果用求根公式与判别式来做，运算量很大,能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象中抽出与方程的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察分析.解：设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线,如图3-1-1-8：图3-1-1-8因为f(x)=0的两根分别在区间(-2，0)、(1，3)内，所以即故所求a的取值范围是-12a0.变式训练关于x的方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,求实数a的取值范围.解：设f(x)=x2-ax+a2-7,图象为开口向上的抛物线
12、(如图3-1-1-9).因为方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,所以函数f(x)=x2-ax+a2-7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)=x2-ax+a2-7的图象与x轴的两个交点在点(2，0)的两侧.只需f(2)0,即4-2a+a2-70,所以-1a3.图3-1-1-9思路2例1若方程2ax2-x-1=0在(0，1)内有解，求实数a的取值范围.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：有解包括有一解和有两解，要分类讨论.用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径.有两种情况：a.a=0;b.a0,0.解：令f(x)=2ax
13、2-x-1，(1)当方程2ax2-x-1=0在(0，1)内恰有一个解时，f(0)f(1)0或a0且=0,由f(0)f(1)0,得(-1)(2a-2)1.由=0,得1+8a=0,a=方程为x2-x-1=0,即x=-2(0,1)(舍去).综上可得a1.(2)当方程2ax2-x-1=0在(0，1)内有两个解时，则或容易解得实数a不存在.综合(1)(2),知a1.变式训练若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，求实数a的取值范围.解：(1)当a=0时，x=0满足题意.(2)当a0时，设f(x)=ax2+3x+4a.方法一:若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，则0a.综上(1)(2),得0a.方
14、法二:若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，则解得00),方程f(x)-x=0的两个根为x1、x2,满足0x1x2.(1)当x(0,x1)时，求证：xf(x)x1；(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，求证：x0.活动：根据方程与函数关系，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为方程f(x)-x=0的两个根为x1、x2，可考虑把f(x)-x设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明:(1)x1、x2是方程f(x)-x=0的两个根，且0x1x20,即f(x)-x0.又f(x)-x=a(x1-x)(x2-x)a(x1-x)=x1-
15、x,即f(x)-xx1-x,故0f(x)-xx1-x,即xf(x)x1.(2)f(x)-x=ax2+(b-1)x+c,且f(x)-x=0的两个根为x1、x2,二次函数f(x)-x的对称轴为x=.=.又由已知，得x0=，=x0+.又x20.故=x0+x0,即x0.变式训练1.已知二次函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且其两零点分别为x1、x2,求x1+x2.解：对任意x都有f(3-x)=f(3+x)，函数f(x)的图象上有两点(3-x,y)、(3+x,y)关于x=3对称.二次函数f(x)的对称轴为x=3.x1、x2为二次函数f(x)的两个零点，x1+x2=6.2.若函数f(x)满足f(
16、3-x)=f(3+x)，且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和.解：同理函数f(x)的对称轴为x=3，3(x1+x2)=18.点评：二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a,两个根为x1、x2,则二次函数解析式为f(x)=a(x-x1)(x-x2).二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数f(x)的对称轴为x=.总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握.知能训练讨论函数y=ex+4x-4的零点的个数.活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.(1)利用f(a)f(b)0及函数的单调性.
17、(2)作出y=ex和y=4-4x的图象，把函数y=ex+4x-4的零点的个数转化为方程ex=4-4x根的个数，再转化为上述两函数图象交点的个数.解：(方法一)利用计算机作出x，f(x)的对应值表：x01f(x)-32.71828由表和图可知，f(0)0,则f(0)f(1)0，这说明f(x)在区间(0,1)内有零点,由于函数在定义域(-,+)内是增函数，所以它仅有一个零点.(方法二)作出y=ex和y=4-4x的图象(图3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为1.图3-1-1-10总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程
18、;(2)画图象;(3)利用f(a)f(b)0，得m4.综上，要使P和Q同时成立，只需解得实数m的取值范围是(4,8.2.如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答.利用函数图象进行探索分析:有没有零点？零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间-3,3上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图3-1-1-11).图3-1-1-11 图3-1-1-12(2)可能有一个零点如图(图3-1-1-12).(3)可能有两个零点如图(图3
19、-1-1-13).图3-1-1-13 图3-1-1-14(4)可能有三个零点如图(图3-1-1-14).(5)可能有n(nN*)个零点,图略.点评：在区间-3,3上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习兴趣.课堂小结本节学习了:零点的概念;零点的判断方法;利用函数的单调性证明零点的个数;零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本P88练习1.设计感想本节以事例导入,该事例是学生很感兴趣的话题,发人深思而紧贴本节主题,为后面讲解埋好了伏笔.因为二次函数、二次方程永远是高考的重点,所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了
20、有关二次函数的零点和二次方程的根的问题.本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结,还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高.另外,本节目的明确、层次分明、难度适中,对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展,希望大家喜欢.(设计者：赵冠明)下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上
21、场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个
22、快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：
23、小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了
24、，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来
25、说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非
26、常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就
27、是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说
28、水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？