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1、 2019-2020 学年度(上)高二期中考试数学试卷(理科)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1将一个骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则两数之和是 3 的倍数的概率是（ ）19161413ABCD2. 一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上 60,得到一组新数 据,则所得新数据的平均数和方差分别为(A. 57.2 3.6 B. 57.2 56.43. 某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为 0.03,丙级品的概率为 0.01,则抽查一件产品抽得正品的概率为()C. 62.8 63.6D
2、. 62.8 3.6)A. 0.094已知命题的是 (B. 0.98C. 0.97D. 0.96p；命题 (0, ) ，tan sin 则下列命题为真命题:p: $x (- , 0) , 2 b0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F ,F .若 F F 是|AF |,|F B|的等比中项，则此椭圆的离D. 45x2y2+ =1a b29. 椭圆2121112心率为（）3512ABCD23510. 阅读程序框图,运行相应的程序,输出 S 的值为()A. 15B. 105C. 245D. 945x2y2+=1的焦点分别为 F , FF , F，P 三点恰好能构11已知椭圆，P 是椭圆
3、上一点，若连接16 251212成直角三角形，则点 P 到 y 轴的距离是（）1653 1616A. 3B.C. 或D.5 53x22y22+=1 (a b 0)的右顶点，B，C 在椭圆 E 上，若四边形 OABC12如图 ，点 A 为椭圆 E：aby为平行四边形，且OAB=30，则椭圆 E 的离心率为（）CB2 2522 352 23OA xA.B.C.D.3二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13. 一枚均匀的硬币连续掷三次,则至少出现一次正面向上的概率是14若不等式| x -1| a |成立的充分条件是0 x b0）的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与椭圆a b
4、22C 相交于 A、B 两点若AF3FB，则 k_三、解答题17(本小题满分 10 分)12 0且c 1y = log x为减函数命题 q ：当 x ，2 时，函数已知 c，设命题 p ：函数c 1 1f (x) = x + 恒成立如果命题“ p q”为真命题，“ p q”为假命题，求实数c 的取值范围x c18. (本小题满分 12 分)+ 2ax + b2 0设有关于 x 的一元二次方程 x2(1)若 a 是从集合 A=xZ|0x3中任取一个元素，b 是从集合 B=xZ|0x2中任取一个元+ 2ax + b2 0 恰有两个不相等实根的概率;素，求方程 x2(2) 若 a 是从集合 A=x|
5、0x3中任取一个元素，b 是从集合 B=x|0x2中任取一个元素，求上述方程有实根的概率19. (本小题满分 12 分)已知长为 1 2的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，P 是 AB 上一点，且2AP =PB ，求点 P 的轨迹 C 的方程220(本小题满分 12 分)学校从参加高二年级期中考试的学生中抽出 50 名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为 100 分)，数学成绩分组及各组频数如下：40,50)，2；50,60)，3；60,70)，14；70,80)，15；80,90)，12；90,100,4(1)在给出的样本频率分布表中，求 A,B,C
6、,D 的值；(2)估计成绩在 80 分以上(含 80 分)学生的比例；(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在90,100的学生中选两位同学，共同帮助成绩在40,50)中的某一位同学已知甲同学的成绩为 42 分，乙同学的成绩为 95 分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率样本频率分布表如下：分组频数40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100合计20040063028030B008CD21. (本小题满分 12 分) x22y22+=1(a b 0)F (3,0)2F已知椭圆 C：的右焦点，过 的直线交椭圆 C 于 A，B
7、 两点，ab2且 M（1，-1）是线段 AB 的中点。(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 F 是椭圆的左焦点，求的面积。1122. (本小题满分 12 分)y+如图，椭圆的一个焦点是bF（1，0），O 为坐标原点.（1）已知椭圆短轴的两个三等分点 M，N 与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动，则有|OA| +|OB| |AB| ,222求 a 的取值范围. 高二数学（理）答案一、选择题题号答案12345678910B11B12DDDDDAADAB二、填空题713.14 3,+)151216.28三、解答题1
8、7. 【解答】：若命题p 为真命题，则0c若命题q 为真命题，则x ，2 时，min1xc112+ 2(当且仅当x =1时取最小值）而x，xc有已知得，命题p，q 中有且只有一个真命题，有两种情况：10 1p 真q 假时，21实数c 的取值范围是0 1218.【 解答】: (1)由题意知a 取集合0，1，2，3中任一个元素，b 取集合0，1，2中任一个元素，a，b 取值的所有情况是:(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为+
9、 2ax + b = 012. 记“方程x2恰有两个不相等的实根”为事件A， 其等价于ab. 而当ab 时，a，2b 取值的情况有(1，0)， (2，0)，(2，1)， (3，0)，(3，1)，(3，2)，即A 包含的基本事件数为6，6 1+ 2ax + b = 0恰有两个不相等实根的概率P(A)= = .所以方程x2212 2+ 2ax + b = 0x + 2ax + b = 0有实根(2)设事件B 为“方程x2有实根”当a0，b0 时，方程222需满足ab试验的全部结束所构成的区域为(a，b)|0a3，0b2构成事件B 的区域为(a，b)|0a3，0b2，ab（如答图 1 所示的阴影部分
10、）.因此所求的概率为 P(B)132 - 22232=32答图1 A(x , 0) B(0 , y )19【解答】：设P(x,y)，= ( - , ) ，AP x x y= (- , - )PBx y y0000222+1AP =PB ，(x - x , y)=x y y(- , - ) = -， y = ( 2 +1)yxx20202002+12| AB |= 2 +1 +y =( 2 +1) ， (-) + ( 2 +1)y = ( 2 +1)，x0222x2220x2所以点 P 的轨迹方程为 + y =12220.【解答】：(1)A=12 ； B=024 ； C=50 ； D=1 (2)
11、估计成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生比例为024+008=032(3)成绩在40,50)内有 2 人，记为甲、A，成绩在90,100内有 4 人，记为乙、B、C、D则“二帮一”小组有以下 12 种分组办法：甲乙 B，甲乙 C，甲乙 D，甲 BC，甲 BD，甲 CD，A 乙 B，A 乙 C，A乙 D，ABC，ABD，ACD其中甲、乙两同学被分在同一小组有 3 种办法：甲乙 B，甲乙 C，甲乙 D所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为3 1P 12 421.【解答】：（1） （2）由（1）可知直线 AB：x = 2y + 3，x =2y + 3322y + 4y - 3 = 0y
12、+ y = -2, y y = -由+ 2 -18 = 0 ， 得2，xy22121 2又|F F |=2c=61 211= | F F | y - y |= | F F | (y + y ) - 4y y = 3 10所以S222DF1AB121212121 222、（本小题满分 12 分）【解答】：()设 M，N 为短轴的两个三等分点，MNF 为正三角形，所以33 2bOF =MN ,1=,解得b 3. a = b +1 = 4,2222 3x2y2椭圆方程为6 分4 3(x , y ), B(x , y ).() 设A()当直线 AB与x轴重合时，1122OA2+ OB2= 2a , A
13、B = 4a (a 1),22228 分因此，恒有OA + OB AB .222xy22= my +1,代入 + =1,()当直线 AB 不与 x 轴重合时，设直线 AB 的方程为： x整理得a2b22b mb - a b222 2(a + b m )y + 2b my + b - a b = 0, y + y = -, y y =22222222因 恒 有+ b m222212a2212a + b mOA2+ OB AB 2 ，所以 AOB恒为钝角.即OA OB = (x , y ) (x , y ) = x x + y y 0211221 21 2x x y y= (my +1)(my +
14、1)+ y y = (m +1)y y + m(y + y ) +1+恒成立.2121212121212(m +1)(b - a b )2b m222222=-+1a + b ma + b m22222210 分-m a b + b - a b + a2222222= 0-m a b + b - a b + a a + b - a b恒成立，即又a，所以对2222222222222222 2对m R 恒成立,当m R时 ，m a b 最小值为 0，所以2a + b - a b 0，a b a2 0,b 0,a 0 ,解得a 或a ,2综合（i）(ii)，a的取值范围为(1+ 5,+) .12
15、分2A(x , 0) B(0 , y )19【解答】：设P(x,y)，= ( - , ) ，AP x x y= (- , - )PBx y y0000222+1AP =PB ，(x - x , y)=x y y(- , - ) = -， y = ( 2 +1)yxx20202002+12| AB |= 2 +1 +y =( 2 +1) ， (-) + ( 2 +1)y = ( 2 +1)，x0222x2220x2所以点 P 的轨迹方程为 + y =12220.【解答】：(1)A=12 ； B=024 ； C=50 ； D=1 (2)估计成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生比例为024+0
16、08=032(3)成绩在40,50)内有 2 人，记为甲、A，成绩在90,100内有 4 人，记为乙、B、C、D则“二帮一”小组有以下 12 种分组办法：甲乙 B，甲乙 C，甲乙 D，甲 BC，甲 BD，甲 CD，A 乙 B，A 乙 C，A乙 D，ABC，ABD，ACD其中甲、乙两同学被分在同一小组有 3 种办法：甲乙 B，甲乙 C，甲乙 D所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为3 1P 12 421.【解答】：（1） （2）由（1）可知直线 AB：x = 2y + 3，x =2y + 3322y + 4y - 3 = 0y + y = -2, y y = -由+ 2 -18 = 0 ，
17、 得2，xy22121 2又|F F |=2c=61 211= | F F | y - y |= | F F | (y + y ) - 4y y = 3 10所以S222DF1AB121212121 222、（本小题满分 12 分）【解答】：()设 M，N 为短轴的两个三等分点，MNF 为正三角形，所以33 2bOF =MN ,1=,解得b 3. a = b +1 = 4,2222 3x2y2椭圆方程为6 分4 3(x , y ), B(x , y ).() 设A()当直线 AB与x轴重合时，1122OA2+ OB2= 2a , AB = 4a (a 1),22228 分因此，恒有OA + O
18、B AB .222xy22= my +1,代入 + =1,()当直线 AB 不与 x 轴重合时，设直线 AB 的方程为： x整理得a2b22b mb - a b222 2(a + b m )y + 2b my + b - a b = 0, y + y = -, y y =22222222因 恒 有+ b m222212a2212a + b mOA2+ OB AB 2 ，所以 AOB恒为钝角.即OA OB = (x , y ) (x , y ) = x x + y y 0211221 21 2x x y y= (my +1)(my +1)+ y y = (m +1)y y + m(y + y ) +1+恒成立.2121212121212(m +1)(b - a b )2b m222222=-+1a + b ma + b m22222210 分-m a b + b - a b + a2222222= 0-m a b + b - a b + a a + b - a b恒成立，即又a，所以对2222222222222222 2对m R 恒成立,当m R时 ，m a b 最小值为 0，所以2a + b - a b 0，a b a2 0,b 0,a 0 ,解得a 或a ,2综合（i）(ii)，a的取值范围为(1+ 5,+) .12 分2