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1、 安徽省阜阳市临泉县 2020-2021 学年九年级上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1抛物线 y=x 2x+2 的顶点坐标为（）2A（1，1）B（1，1）C（1，3）D（1，3）2在 RtDABC = 90 ,中， CAC =1,BC = 3，则的正切值为（ ）B13103 1010A3BCD10a b=3已知（a0，b0），下列变形错误的是（）2 3a 2b3=AB2a=3bCD3a=2bb 3a 24某学校要种植一块面积为 100 m 的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪2的一边长为 （单位：m）随另一边长 （单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）y
2、xABCDDABC中， D 是/ / ,边上的点， DE BC AD= 9,= 3,= 6，则 AC 的5在DBAEAB长为（ ） A6BC8D96已知ABCABC，AD 和 AD是它们的对应中线，若 AD10，AD6，则ABC 与ABC的周长比是（A3：5 B9：257）C5：3D25：97如图，在54 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1 ，DABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC的值为（ ）4334345ABCD58从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球运动时间t (单位： )s之间的函数关系如图所示下列结论：小球在空中经过的路程是40m；小球抛出
3、 3= 30m t =1.5s时， 其秒后，速度越来越快；小球抛出3秒时速度为0；小球的高度h中正确的是( )A9如图，在DABC中，D 在 AC 边上，延长交 BC 于 E，则 BE：ECBCDAD：D C1：2 ，O 是 BD 的中点，连接 AO 并（）A1：2B1：3C1：4D2：310如图，点P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点，过点P 垂直于 AC 的直线交菱形 ABCD 的边于 M、N 两点设AC2，BD1，APx，AMN 的面积为 y，则 y关于 x 的函数图象大致形状是() BD二、填空题+b =14，则a-b11若 : = 3: 4 ，且aa b的值是_DABC
4、DDACB上，请再添加一个适当的条件，使 ADC 与12如图，在中，点 D 在AB相似，那么要添加的条件是_(只填一个即可)13如图，点 A，B，C 在O 上， A=40 度， C=20 度，则 B=_度14在 ABC 中，ABC=90，已知 AB=3，BC=4，点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交直线 AB 于点 P，当 PQB 为等腰三角形时，线段 AP 的长为_k15如图，矩形的顶点 A，C 在反比例函数 = ( 0, 0)的图象上，若点 AABCDykxx的坐标为(3, 4)， AB2， AD x 轴，则点C 的坐标为_/ /=16如图，在ABC 中，点 D
5、E 分别在 ABAC 边上，DEBC，ACD=B，若 AD=2BD，BC=6.则线段 CD 的长为_ 三、解答题12-1 -8 + 4cos 45 - (2019 - )0p .17计算：18周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点 ，在他们所在的岸边选择了点 ，使得与ABAB河岸垂直，并在 点竖起标杆 BC，再在AB 的延长线上选择点 竖起标杆 DE，使得点B D与点 、 共线C AE已知： ， ，测得 1 ， 1.5 ，BD8.5 测量示意图CB AD ED AD BC m DEmm如图所示请根据相关测量信息，求河宽 AB的顶
6、点坐标分别为O(0,0), A(1,2),B(3,1)（每19如图，在平面直角坐标系中，DOAB个方格的边长均为1 个单位长度）.DOAB90DD（1）将以点O为旋转中心，逆时针旋转 度得到 OA B ，请画出 OA B ；1111（2）请以点O为位似中心，画出DOAB的位似三角形 OA B ，使相似比为D2 :1.22 20如图，在淮河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度 =1: 3的山坡CF ，点C 与i点 在同一水平面上，CF 与 AB 在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼 AB 的高度，B10在坡底C 处测得楼顶 A的仰角为45 ，然后沿坡面CF 上行了 米到达点 D 处，此时在 D 处
7、测得楼顶 A的仰角为30，求楼 AB 的高度（. 结果保留整数）（参考数3 1.7）6821黄山景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为 元，当销售单价定为 元时，每10天可以销售200 件.市场调查反映：销售单价每提高1 元，日销量将会减少 件.物价部6门规定：销售单价不低于 元，但不能超过12 元，设该纪念品的销售单价为 （元），xy日销量为 （件）.y（1）直接写出 与 的函数关系式x.（2）求日销售利润w （元）与销售单价 （元）的函数关系式 并求当 为何值时，日x.x销售利润最大，最大利润是多少？8C(0,-2)= ax2 - 2ax + c-22如图，抛物线 y的图象经过点，顶点 D
8、 的纵坐标为，3A, B两点.x与 轴交于（1）求抛物线的解析式.（2）连接 AC, E为线段 AC 上一点，当 AOC AEB 时，求点 E 的坐标.D D23如图，四边形 ABCD中，ABD = BCD = 90 , DB（1）求证： BD2 = AD CD ；, BM / /CD.平分 ADC （2）求证：点是的中点；ADM= 6, AD = 8（3）若CD，求的长.MN 参考答案1A【解析】分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可详解：y=x -2x+2=（x-1） +1，22顶点坐标为（1，1）故选 A点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐
9、标的方法是解题的关键2B【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可【详解】解：在 RtABC 中，C=90，AC=1，BC=3，1ACB 的正切值为= ，BC 3故选 B.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键3B【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解【详解】a b解：由得，3a=2b，2 3A、由等式性质可得：3a=2b，正确；B、由等式性质可得 2a=3b，错误；C、由等式性质可得：3a=2b，正确；D、由等式性质可得：3a=2b，正确；故选 B 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积4C【详解
10、】由草坪面积为 100m2，可知 x、y 存在关系 y=，然后根据两边长均不小于 5m，可得 x5、y5，则 x20，故选 ：C5C【分析】先利用比例性质得到 AD：AB=3：4，再证明ADEABC，然后利用相似比可计算出AC 的长【详解】解：解：AD=9，BD=3，AD：AB=9：12=3：4，DEBC，ADEABC，3AD AE= ，AB AC 4AE=6，AC=8，故选 C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质
11、时主要利用相似比计算线段的长6C【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比【详解】 ABCABC，AD 和 AD是它们的对应中线，AD10，AD6，ABC 与ABC的周长比AD：AD10：65：3故选 C【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题7D【分析】 ABD，然后在 Rt ACD 中即可求出过C 作CDsin BAC于 D ，首先根据勾股定理求出AC的值【详解】 AB 于 D ，则ADC=90如图，过C 作CD，ACAC=AD2+ CD2 = 3 + 4 522CD 4=AC 5 sin BAC=故选 D【点睛】本题考查了勾股定理的运
12、用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键8D【分析】根据函数的图象中的信息判断即可【详解】由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故错误；小球抛出 3 秒后，速度越来越快；故正确；小球抛出 3 秒时达到最高点即速度为 0；故正确；( )= a t -3 + 402设函数解析式为：h， 409( )O 0,0( )0 = a 0 -3 2 + 40把代入得，解得a= -，40( )2= -t -3 + 40 ，函数解析式为h9409( )h = 30 代入解析式得，30 = -t -3 + 40，2把= 4.5 t =1.5或解得：t，= 30mt =1.5s 4.5s或 ，故错误；小球
13、的高度h故选 D时，【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意9B【分析】过 O 作 BC 的平行线交 AC 与 G，由中位线的知识可得出 AD：DC1：2 ，根据已知和平行D GGC，AG：GC2：1，AO：OF2：1线分线段成比例得出 AD，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF：FC的比【详解】/ /BC解：如图，过 O 作OGO 是 BD 的中点，G 是 DC 的中点，交 AC 于 G，又 AD：D C1：2 ，ADD GGC，AG：G C2：1，AO：O E2：1，S ：S 2DAOBDBOES S，S 2S，又 BOOD，设DBOEDAOBS2S
14、，S 4S，DAODDABDAD：DC1：2，S2S 8S，S7S，DBDCDABD四边形CDOES 9S，S 3S，DAECDABE BE S=EC S3S 1=DABEDAEC9S 3故选 B【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式10C【解析】AMN 的面积= APMN，通过题干已知条件，用x 分别表示出 AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0x1；（2）1x2；解：（1）当 0x1 时，如图，在菱形 ABCD 中，AC=2，BD=1，AO=1，且 ACBD；MNAC，MNBD；AMNABD，=，即
15、， =，MN=x；y= APMN= x2（0x1）， 0，函数图象开口向上；（2）当 1x2，如图， 同理证得，CDBCNM，=，即=y=APMN= x（2-x），y=- x2+x；- 0，函数图象开口向下；综上答案 C 的图象大致符合故选 C本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想11-2【分析】根据比例的性质得到 3b=4a，结合 a+b=14 求得 a、b 的值，代入求值即可【详解】解：由 a：b=3：4 知 3b=4a，4a所以 b=，34aa + =143所以由 a+b=14 得到：，解得 a=6所以 b=8，所以 a-b=6-8=-2
16、故答案为：-2【点睛】a c考查了比例的性质，内项之积等于外项之积若 = ，则 ad=bc.b dACD = ABC ADC = ACB或12 【解析】【分析】DADC D已知与 ACB 的公共角相等，根据两角对应相等的两个三角形相似再添加一组对应角相等即可.【详解】解：DAC = CAB（公共角）ACD = ABC （或ADC = ACB）DACD DABC（两角对应相等的两个三角形相似）ACD = ABC ADC = ACB或故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.1360【分析】如图，连接 OA，根据等腰三角形的性质得到OAC=C=20，根
17、据等腰三角形的性质解答即可【详解】如图，连接 OA，OA=OC，OAC=C=20，OAB=OAC+BAC=20+40=60，OA=OB，B=OAB=60，故答案为 60【点睛】本题考查了圆的性质的应用，熟练掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键 514 或 63【解析】【分析】当PQB 为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论:当点 P 在线段 AB 上时，如图 1所示由三角形相似（AQPABC）关系计算 AP 的长；当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如图 2 所示利用角之间的关系，证明点 B 为线段 AP的中点，从而可以求出 AP【详解】解:在 RtABC 中， =3， =4，由
18、勾股定理得： =5.AB BCACQPB 为钝角，当PQB 为等腰三角形时，当点 在线段 上时，如题图 1 所示：PABQPB 为钝角，当PQB 为等腰三角形时，只可能是 = ，PB PQ由(1)可知,AQPABC，PA PQ=AC BC3- PB PB4,=,PB = ，解得：即5434 5= AB - PB = 3- = ； AP3 3当点 在线段P的延长线上时，如题图 2 所示：ABQBP 为钝角，当PQB 为等腰三角形时，只可能是 = .PB BQBP BQ BQP P = ， = ，BQP + AQB = 90 ,A + P = 90 ，AQB= ，A = ，BQ AB = ，点 为
19、线段AB BP中点，APB =2 =23=6.AP AB5综上所述,当PQB 为等腰三角形时, 的长为 或 6.AP3 5故答案为 或 6.3【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型15(6, 2)【分析】根据矩形的性质和 A点的坐标，即可得出C 的纵坐标为 2，设C(x,2) ，根据反比例函数图= 6，从而得出C 的坐标为(6, 2)象上点的坐标特征得出 = 2 = 3 4 ，解得 xkx【详解】点 A的坐标为(3, 4)=2， AB，B(3,2)，四边形是矩形，ABCD AD / /BC，AD / /xBC
20、/ /x 轴，C 点的纵坐标为 2，轴，设C(x,2)，k矩形的顶点 A，C 在反比例函数 =ABCDy(k 0,x 0)的图象上，x k = 2x = 3 4 ，x = 6，C(6,2)， 故答案为(6, 2)【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得 的纵坐标为 2 是解题的C关键162 6【分析】设 AD2x，BDx，所以 AB3x，易证ADEABC，利用相似三角形的性质可求出AE 2=DE 的长度，以及，再证明ADEACD，利用相似三角形的性质即可求出得出AC 3AD AE DE=AC AD CD，从而可求出 CD 的长度【详解】设 AD2x，BDx，AB3x，D
21、EBC，ADEABC，DE AD AE=BC AB AC，DE 2x=，63xAE 2=DE4，AC 3ACDB，ADEB，ADEACD，AA，ADEACD，AD AE DE=AC AD CD，设 AE2y，AC3y，AD 2y=，3y ADAD 6 y， 2y4=，6yCDCD2 6 ，故填：2 6 .【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型172【分析】先化简绝对值、二次根式、计算零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得【详解】1-1 - 2 8 + 4cos 45 - (2019 - )0p212解：原式=1- 2 2 + 4
22、-122=1- 2 + 2 2 -1= 2【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值、零指数幂、二次根式的性质及三角函数值18河宽为 17 米【解析】【分析】由题意先证明ABCADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB 的长.【详解】CBAD，EDAD，CBAEDA90，CABEAD，ABCADE， AD DE=AB BC，又AD=AB+BD，BD=8.5，BC1，DE1.5，AB +8.5 1.5=，AB1AB17，即河宽为 17 米【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.19（1）见详解；（2）见详解.【分析】（1）根据旋转的规律，将
23、点 A、B 围绕 O 逆时针旋转 90，得到 A 、B ，连接 O、A 、B1111即可；（2）连接 OA 并延长到 A ，使 OA =2OA，连接 OB 并延长到 B ，使 OB =2OB，然后顺次2222连接 O、A 、B 即可；22【详解】解：（1）如图，OA B 即为所求作三角形；11（2）如图，OA B 即为所求作三角形；22【点睛】本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键 2024 米【分析】1DE由 i=EC=，DE +EC =CD ，解得 DE=5m，EC=5 3 m，过点 D 作 DGAB 于 G，过2223点C作CHD
24、G于H，则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，证得AB=BC，AG设 AB=BC=xm，则 AG=（x-5）m，DG=（x+5 3 ）m，在 RtADG 中，=tanADG，DG代入即可得出结果【详解】1DEEC解：在 RtDEC 中，i=，DE +EC =CD ，CD=10，2223DE +（3 DE =10）2，22解得：DE=5（m），EC=5 3 m，过点 D 作 DGAB 于 G，过点 C 作 CHDG 于 H，如图所示：则四边形 DEBG、四边形 DECH、四边形 BCHG 都是矩形，ACB=45，ABBC，AB=BC，设 AB=BC=xm，则 AG=（x-5）
25、m，DG=（x+5 3 m） ，AGDG在 RtADG 中，=tanADG，x -53=，x + 5 33解得：x=15+53 24 ，答：楼 AB 的高度为 24 米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键( )x ，x=12 时，日销售利润最大，最= -10 -17 +1210= -10x + 28021（1） y；（2）w2大利润 960 元【分析】（1）根据题意得到函数解析式；（2）根据题意得到 w=（x-6）（-10x+280）=-10（x-17） +1210，根据二次函数的性质即可2得到结论【详解】= 200 -10(x -8) =
26、-10x + 280解：（1）根据题意得， y，y= -10x + 280y x故 与 的函数关系式为；( )= (x - 6)(-10x + 280) = -10 x -17 +1210（2）根据题意得，w-10 0,6 x 12217 当 xx时， w 随 的增大而增大，=12= 960当 x时，w，最大答：当 为12 时，日销售利润最大，最大利润960元.x【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键283241 8E(- ,- )5 5= (x -1) -y = x - x - 2
27、；（2）22（1） y2或22333【分析】（1）将点 C、D 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；2S25 585AC-（2）当AOCAEB 时， AOC = = ，求出 y =，即可求出点 ES416E AB AEB坐标.【详解】 c = -223= -2 a=解：（1）由题可列方程组：8 ，解得：，a - 2a + c = -3c2824= (x -1) -y = x - x - 2；抛物线解析式为： y或2223333（2）由题，AOC=90，AC= 5 ，AB=4，-k + b=0k = -2设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，则，解得， b = -2b = -2直线 AC 的解析
28、式为：y=-2x-2，当AOCAEB 时，2S25 5 AC AOC = =，S416 AB AEB165SAOC=1，SAEB=，1168- AB|y |= ，AB=4，则 y =，2E5E51585-则点 E（，）.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、三角形相似、图形的面积计算等4 723（1）见解析；（2）见解析；（3） MN =5【分析】AD BD=BD CD（1）通过证明ABDBCD，可得，可得结论；（2）通过 BM/ /CD和相似得出MBD=MDB，在利用同角的余角相等得出A=ABM，由等腰三角形的性质可得结论；（3）由平行线的性质可证MBD=BDC，
29、即可证 AM=MD=MB=4，由 BD =ADCD 和勾2BM MN 2=股定理可求 MC 的长，通过证明MNBCND，可得.CD CN 3【详解】解：（1）证明：DB 平分ADC，ADB=CDB，且ABD=BCD=90， ABDBCD，AD BD=BD CD，BD =ADCD2（2）证明： BM/ /CD，MBD=BDC，MBC=90，MDB=CDB，MBD=MDB，MB=MD，MBD+ABM=90，ABM=CBD，CBD=A，A=ABM，MA=MB，MA=MD，即 M 为 AD 中点；（3）BMCDMBD=BDCADB=MBD，且ABD=90BM=MD，MAB=MBABM=MD=AM=4B
30、D =ADCD，且 CD=6，AD=8，2BD =48，2BC =BD -CD =12222MC =MB +BC =28222MC=2 7，BMCDMNBCNDBM MN 2=CD CN 3，且 MC=2 7， 4 75 MN.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求 MC 的长度是本题的关键ABDBCD，AD BD=BD CD，BD =ADCD2（2）证明： BM/ /CD，MBD=BDC，MBC=90，MDB=CDB，MBD=MDB，MB=MD，MBD+ABM=90，ABM=CBD，CBD=A，A=ABM，MA=MB，MA=MD，即 M 为 AD 中点；（3）BMCDMBD=BDCADB=MBD，且ABD=90BM=MD，MAB=MBABM=MD=AM=4BD =ADCD，且 CD=6，AD=8，2BD =48，2BC =BD -CD =12222MC =MB +BC =28222MC=2 7，BMCDMNBCNDBM MN 2=CD CN 3，且 MC=2 7， 4 75 MN.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求 MC 的长度是本题的关键