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1、章末综合测评(一)平面向量及其应用(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1向量a(2，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A6B5C1D6A由向量数量积公式知，(2ab)a(3,0)(2，1)6.2设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，则向量a，b的夹角为()A150B120 C60D30B设向量a，b夹角为，|c|2|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos ，则cos ，又0，180，120.故选B3已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab与a共线，则ab的值为()A1B
2、2 C3D4Aab(3，k2)，ab与a共线，3k(k2)0，解得k1.4在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b2c2a2bc，则sin(BC)的值为()A B C DB由b2c2a2bc，得cos A，则sin(BC)sin A.5已知点A，B，C满足|3，|4，|5，则的值是()A25B25 C24D24A因为|2|291625|2，所以ABC90，所以原式()0225.6已知A(7,1)，B(1,4)，直线yax与线段AB交于点C，且2，则实数a等于()A2B1 C DA设C(x，y)，则(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得C(3,3)，又C在直线yax上，所以3a
3、3，a2.7如图，在ABC中，若，则的值为()A B C DB，()，又，.8已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则的取值范围是()A1,0B1,2C1,3D1,4C建立如图所示坐标系，设M(x，y)，其中A(1，1)，B(1，1)，易知x2y21，而(1x，1y)(1x，1y)x2(y1)21，若设E(0，1)，则|21，由于0|2，所以|21的取值范围是1,3，故选C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是()A|a
4、b|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2ACD|ab|a|b|cosa，b|a|b|，故A正确；由向量的运算法则知C，D正确；当ba0时，|ab|a|b|，故B错误故选ACD10在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，a2，c2，则角C的大小是()A BC DBD由正弦定理可得，所以sin Csin A，而ac，所以AC，所以C，故C或.11已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足B，acb，则()A2B3C DACB，acb，(ac)2a2c22ac3b2，由余弦定理可得，a2c22accos b2，联立，可得2a25
5、ac2c20，即2520，解得2或.故选AC12点P是ABC所在平面内一点，满足|2|0，则ABC的形状不可能是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形ACDP是ABC所在平面内一点，且|2|0，|()()|0，即|，|，两边平方并化简得0，A90，则ABC一定是直角三角形故选ACD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13与向量a(1,2)平行，且模等于的向量为_(1,2)或(1，2)因为所求向量与向量a(1,2)平行，所以可设所求向量为(x,2x)，又因为其模为，所以x2(2x)25，解得x1.因此所求向量为(1,2)或(1，2)14已知向量
6、a(m,2)，b(1，n)(n0)，且ab0，点P(m，n)在圆x2y25上，则mn_，|2ab|_.(本题第一空2分，第二空3分)3因为向量a(m,2)，b(1，n)(n0)，且ab0，P(m，n)在圆x2y25上，解得m2，n1，即mn213.2ab(3,5)，|2ab|.15在ABC中，SABC(a2b2c2)，b1，a，则c_.1SABCabsin C，absin C(a2b2c2)，a2b2c22absin C由余弦定理得，2abcos C2absin C，tan C1，C45，c1.16如图所示，半圆的直径AB2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，
7、则()的最小值是_因为点O是AB的中点，所以2，设|x，则|1x(0x1)，所以()22x(1x)2.所以当x时，()取到最小值.四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求|ab|；(2)求向量a在向量ab方向上的投影解(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.因为|a|4，|b|3，所以ab6，所以|ab|.(2)因为a(ab)|a|2ab42610，所以向量a在向量ab方向上的投影为.18(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，|2
8、|2，OAB，(1，)(1)求点B，C的坐标；(2)求证：四边形OABC为等腰梯形解(1)连接OB(图略)，设B(xB，yB)，则xB|cos(OAB)，yB|sin(OAB)，(1，)，B，C.(2)证明：，3，.又易知OA与BC不平行，|2，四边形OABC为等腰梯形19(本小题满分12分)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，casin Cccos A(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.解(1)由casin Cccos A，及正弦定理得sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面积Sbcsi
9、n A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.20(本小题满分12分)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值解(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由得，cos cos()，由0，得0.又0，故.代入sin sin 1，得sin sin ，而，所以，.21(本小题满分12分)如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一
10、点，xy.(1)若，求x，y的值；(2)若3，|4，|2，且与的夹角为60时，求的值解(1)，即2，即x，y.(2)3，33，即43，O.x，y.()2242429.22(本小题满分12分)如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5 n mile，与小岛D相距为3 n mile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角，且sin A.(1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；(2)记小岛D对小岛B与C的视角为，小岛B对小岛C与D的视角为，求sin(2)的值解(1)sin A，且角A为钝角，cos A.在ABD中，由余弦定理得：AD2AB22ADA
11、Bcos ABD2.AD2522AD5(3)2AD28AD200.解得AD2或AD10(舍)小岛A与小岛D之间的距离为2 n mile.A，B，C，D四点共圆，角A与角C互补sin C，cos Ccos(180A)cos A.在BDC中，由余弦定理得：CD2CB22CDCBcos CBD2，CD2522CD5(3)2CD28CD200，解得CD2(舍)或CD10.S四边形ABCDSABDSBCDABADsin ACBCDsin C5251031518.四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile.(2)在BDC中，由正弦定理得：sin .DC2DB2BC2，为锐角，cos .又sin()sin(180C)sin C，cos()cos(180C)cos C.sin(2)sin()sin cos()cos sin().